第四章 大數(shù)定律與中心極限定理答案

1、第四章 大數(shù)定律與中心極限定理答案一、單項(xiàng)選擇1. 設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，且，相互獨(dú)立。令，則由中心極限定理知的分布函數(shù)近似于（ ）（A） （B） （C） （D）答案：D二、填空1. 設(shè)的期望和方差分別為和，則由切比雪夫不等式可估計 。答案：2設(shè)隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望分別為2和2，方差分別為1和4，而相關(guān)系數(shù)為0.5，則根據(jù)切比雪夫不等式，有_答案：3 已知隨機(jī)變量的均值=12，標(biāo)準(zhǔn)差=3，試用切比雪夫不等式估計落在6到18之間的概率為_與3到21之間解 由題意得，由切比雪夫不等式得4 已知隨機(jī)變量的均值=12，標(biāo)準(zhǔn)差=3，試用切比雪夫不等式估計落在3到21之間的概率為_解 由題意得，由切比雪夫

2、不等式得 5假定生男孩、生女孩的概率均為0.5，用切比雪夫不等式估計200個新生嬰兒中男孩在80個到120個之間的概率為_解 設(shè)表示在200個新生嬰兒中男孩的個數(shù), 則其中, 則由切比雪夫不等式得6用切比雪夫不等式估計下題的概率: 廢品率為0.03, 求1000個產(chǎn)品中廢品多于20個且少于40個的概率為_.答案：0.709 7用切比雪夫不等式估計下題的概率: 求200個新生嬰兒中, 男孩多于80個且少于120個的概率為_.(假定生女孩和生男孩的概率均為0.5.)答案： 0.8758 設(shè)隨機(jī)變量，由切比雪夫不等式可得 .答案：三、計算題1現(xiàn)有一批種子, 其中良種占, 今任取6000粒種子,試以0

3、.99的概率推斷在這6000粒種子中良種占的比例與的差是多少? 相應(yīng)的良種數(shù)在哪個范圍內(nèi)?解 用隨機(jī)變量表示第粒種子, 用表示第粒種子為良種,用表示第粒種子不是良種, 則是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列, 表示這6000粒種子中良種的粒數(shù),記, 則 則由獨(dú)立同分布的中心極限定理得根據(jù)題意,令.即有,查正態(tài)分布表得 ,并由 得 因此, 以0.99的概率推斷在這6000粒種子中良種占的比例與的差是0.0124.這時, 相應(yīng)的良種粒數(shù)在925粒到1015粒之間.2某單位有120個電話分機(jī)，每個分機(jī)有5%的時間使用外線，假設(shè)各分機(jī)使用外線與否是相互獨(dú)立的，試用中心極限定理計算，使用外線的分機(jī)個數(shù)在6個到

4、12個之間的概率. (已知)（8分）解：B(n,p), 其中 n=120, p=5% E=6, D=5.7, 由中心極限定理，得P（6<<12）=0.493963 3. （10分）一大批種子，良種占，從中任選5000粒。試計算其良種率與之差小于的概率。（用表示）解 設(shè)表示在任選5000粒種子中良種粒數(shù)，則，其中，則 ，由中心極限定理得，良種率與之差小于的概率為 4 已知生男孩的概率為 0.515, 求在10000個新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率.解 設(shè)為10000個新生嬰兒中男孩的個數(shù),則其中. 10000個新生嬰兒中女孩不少于男孩, 即 由De Movire-Laplace 中心

5、極限定理,得新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率5 試?yán)?1) 切比雪夫不等式; (2) 中心極限定理分別確定投擲一枚均勻硬幣的次數(shù), 使得出現(xiàn)”正面向上”的頻率在0.4到0.6之間的概率不小于0.9.解 設(shè)表示投擲一枚均勻硬幣n次出現(xiàn)”正面向上”的次數(shù), 則則其中, 則 (1) 利用切比雪夫不等式求解由此得(2) 利用中心極限定理求解由De Movire-Laplace 中心極限定理得, 近似服從正態(tài)即所以,由此得 查正態(tài)分布表得因此取6 設(shè)某保險公司的老年人壽保險一年有10000人參加,每人每年交40元. 若老人死亡, 公司付給家屬2000元. 設(shè)老人死亡率為0.017, 試求保險公司在這次保

6、險中虧本的概率.解 設(shè)為老人死亡人數(shù), 則其中 由題意,得保險公司在這次保險中虧本當(dāng)且僅當(dāng)即 由De Movire-Laplace 中心極限定理,得保險公司虧本的概率7 設(shè)某電話交換臺的呼叫次數(shù)服從泊松分布且每秒鐘平均被呼叫兩次, 試求在100秒內(nèi)被呼叫次數(shù)在180至220次之間的概率.解 設(shè)第秒鐘內(nèi)被呼叫的次數(shù)為由為服從參數(shù)為2的泊松分布, 且獨(dú)立同分布, 有為100秒鐘被呼叫的總次數(shù), 記，則由獨(dú)立同分布的中心極限定理,得所以在100秒內(nèi)被呼叫次數(shù)在180至220次之間的概率為8 拋擲一枚硬幣，以表示n次拋擲中出現(xiàn)正面的次數(shù)，問要拋擲多少次，才能以0.99的概率保證出現(xiàn)正面的頻率與概率的偏

7、差小于0.01？試分別用切比雪夫不等式及中心極限定理求出結(jié)果解 設(shè)表示在n次拋擲中出現(xiàn)正面的次數(shù), 則其中, 則 (1) 由切比雪夫不等式得(2) 利用中心極限定理求解由De Movire-Laplace 中心極限定理得, 近似服從正態(tài)即所以,由此得 查正態(tài)分布表得9設(shè)某廠的金屬加工車間有80臺機(jī)床，它們的工作是相互獨(dú)立的，設(shè)每臺機(jī)床的電動機(jī)都是2KW的，由于資料檢修等原因，每臺機(jī)床平均只有70%的時間在工作，試求要供應(yīng)這個車間多少KW電才能以0.99的概率保證此車間生產(chǎn)用電？解 設(shè)表示在80臺機(jī)床中正在工作的機(jī)床臺數(shù), 則其中則 設(shè)應(yīng)供應(yīng)這個車間 KW電才能以0.99的概率保證此車間生產(chǎn)用電

8、.由中心極限定理得, ，解得，因此至少應(yīng)供應(yīng)這個車間132 KW電才能以0.99的概率保證此車間生產(chǎn)用電.10抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個，則認(rèn)為這批產(chǎn)品不能接受應(yīng)該檢查多少個產(chǎn)品，可使次品率為10%的一批產(chǎn)品不被接受的概率達(dá)到0.9？解 設(shè)應(yīng)該檢查個產(chǎn)品設(shè)表示在被檢查的個產(chǎn)品中次品的個數(shù), 則其中 則 . 由中心極限定理得,.解得，因此至少應(yīng)檢查147個產(chǎn)品，才可使次品率為10%的一批產(chǎn)品不被接受的概率達(dá)到0.9.四、證明題1設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且每一隨機(jī)變量有有限的方差，設(shè)，試證，對，有或證 相互獨(dú)立， 由切比雪夫不等式，對，有兩邊夾， 。2試描述同分布的中心極限定理。并應(yīng)用同分布的中心極限定理證明 定理，即設(shè)是次貝努利試驗(yàn)中成功的次數(shù)，在每次試驗(yàn)中成功的概率為，試證，對，一致地有解：定理（同分布的中心極限定理） 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，服從同一分布，且有，則標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量之和的分布函數(shù)，對，一致地有 定理的證明