一元二次函數(shù)總結(jié)(1)

1、一元二次函數(shù)的圖象定義:一般地，如果y ax2 bx c（a,b,c是常數(shù)，a 0）,那么y叫做x的一元 次函數(shù).其中，x是自變量，a,b,c分別是函數(shù)表達(dá)式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系 數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。、一元二次函數(shù)y= ax2 + bx + c （ a+ 0 ）的圖象（其中a,b,c均為常數(shù)）1 .當(dāng)a>0時(shí)函數(shù)圖象開口向上；對(duì)稱軸為x=-2a/b,有最小值且為（4ac b2）/4a；當(dāng) xC （ -oo , - 2a/b時(shí)遞減；當(dāng) xC -2a/b, +oo）時(shí)遞增;圖z2 .當(dāng)a< 0時(shí)函數(shù)圖象開口向下；對(duì)稱軸為x=-2a/ b,有最大值且為（4ac- b2）/4a； 當(dāng)x C （

2、-oo ,- 2a/b時(shí)遞增；當(dāng)x C - 2a/b,十）時(shí)遞減;曼下載 收藏 2.A= b2 4acx軸有兩個(gè)交點(diǎn)；x軸只有一個(gè)交點(diǎn);x軸沒有交點(diǎn)。(力 A =0(5)三、拋物線y ax bxc中,a，b，c的作用a決定開口方向及開口大小，這與 y ax2中的a完全一樣.例1:畫出y；x2 yx2 y 2x2的圖象當(dāng)4>0時(shí)，函數(shù)圖象與 當(dāng)4=0時(shí)，函數(shù)圖象與 當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)圖象與 （如下圖所示）y1 2 x22y 2x歸納:般地，拋物線y ax2的對(duì)稱軸是y軸，頂點(diǎn)是原點(diǎn)，當(dāng)a0時(shí)，拋物線的開口向上，頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)，a越大，拋物線的開口越??；當(dāng)a 0時(shí), 拋物線的開口向

3、下，頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)，a越大，拋物線的開口越大。(2) b和a共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置1 C1例2:回出二次函數(shù)y (x 1)2, y (x 1)2的圖象，考慮他們的開口萬向、2 2y 2（x 1）2y 2（x 1）2i可以看出，拋物線y ：(x 1)2的開口向下，對(duì)稱軸是進(jìn)過點(diǎn)(-1,0)且與x軸 垂直的直線，記為x=-1,頂點(diǎn)是(-1,0);拋物線y 1 (x 1)2的開口向下，對(duì)稱軸是x=1,頂點(diǎn)是(1,0)。1例3:回出函數(shù)y -(x 1)2 1的圖象，指出它的開口萬向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)。拋物線y1x2經(jīng)過怎樣的變換可以得到拋物線 y 1(x 1)2 1?1拋物線y 1(x 1)2

4、1的開口萬向向下、對(duì)稱軸是x=-1 ,頂點(diǎn)是(-1,-1)。把拋物線y1x2向下平移1個(gè)單位，冉向左平移 2個(gè)單位，就得到拋物線2y (x 1)2 1。歸納：一般地，拋物線y a(x h)2 k與y ax2形狀相同，位置不同。把拋物 線y ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到拋物線 y a(x h)2 k。平移的 方向、距離要根據(jù)h, k的值來決定。拋物線y a(x h)2 k有如下特點(diǎn)：(1)當(dāng)a 0時(shí)，拋物線的開口向上；當(dāng)a 0時(shí)，拋物線的開口向下；(2)對(duì)稱軸是直線x=h；5(3)頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h, k)19例4:回出y x2 6x 21的圖象212歸納：一般地，可以用配方法求拋物線

5、y ax2 bx c(a 0)的頂點(diǎn)與對(duì)稱軸2 ./ b、2 4ac b2y ax bx c a(x )2a 4a因此，拋物線y ax2 bx c的對(duì)稱軸是x,頂點(diǎn)坐標(biāo)是 2a4ac b2a4a2-).(2) c的大小決定拋物線y ax2 bxc與y軸交點(diǎn)的位置.當(dāng)x 0時(shí)，y c , 。拋物線y ax2 bx c與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0 , c):c 0 ,拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；c 0,與y軸交于正半軸；c 0,與y軸交于負(fù)半軸.以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，則(2) a,b同號(hào)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，反之，再y軸右側(cè)|x i-X2|= b 4ac ,與 y 軸交

6、點(diǎn)為(0,c)a同b2-4ac>0 , ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根b2-4ac<0, ax2+bx+c=0 無實(shí)根b2-4ac=0 , ax2+bx+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)根二.四、根的分布，根據(jù)函數(shù)圖象來判斷其所需要滿足的條件1 .若x<y< m(m為x軸上的一點(diǎn))，則需滿足：>0卜-2a/b<mLf(m) >02 .若m<x<y ( m為x軸上的一點(diǎn))，則需滿足：>0卜-2a/b>mLf(m) >03 .若x<m<y ( m為x軸上的一點(diǎn))，則需滿足：4 .若x,y ( m,n ) ( m,n為x

7、軸上的一點(diǎn))，則需滿足：>0/m< - 2a/b< nLf(m) >0,f(n) >05 .若m<x<n<y<p ( m,n,p為x軸上的一點(diǎn))，則需滿足：廠 f(m) >0H(n) <0Lf(p) >06 .若只有一根在(m,n )之間(m, n為x軸上的一點(diǎn))，則需滿足：= 0Lm< - 2a/b< n或 f(m) - f(n ) < 0廠 f(m) =0或Lm< 2a/b< ( n+m ) /2廠 f(n) =0(n + m ) /2< 2a/b< n五、二次函數(shù)由特殊到一般

8、，可分為以下幾種形式： y ax2 ； y ax2 k; y a x h 2 ； y a x h 2 k; y ax2 bx c.圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)2y ax當(dāng)a 0時(shí)開口向上當(dāng)a 0時(shí)開口問卜x 0(y 軸)(0,0)2y ax kx 0(y 軸)(0, k),2 y ax hx h(h,0),2.y a x h kx h(h, k)y ax2 bx cb x 2a/ b 4ac b2、 ( 2a' 4a )六、二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律：y=ax2 (a>0)的圖像7G*x軸翻折拋物線y=a(x-h) 2+k的圖像，可以由y=ax2得圖像移動(dòng)而得到。2

9、 ,y=-ax (a>0)的圖像當(dāng)h<0時(shí)，向左平移同個(gè)單位長度,當(dāng)h>0時(shí)，向右平移四個(gè)單位長度y=a (x-h) 2的圖像當(dāng)k>0時(shí)，向上平移圓個(gè)單位長度 當(dāng)k<0時(shí)，向下平移圓個(gè)單位長度y=a (x-h) 2-k 的圖像寫成一般形式y(tǒng)=ax2+bx+c 的圖像規(guī)律：在原有函數(shù)基礎(chǔ)上“ h值正右移，負(fù)左移，k值正上移，負(fù)下移”七、直線與拋物線的交點(diǎn)(或稱二次函數(shù)與一次函數(shù)關(guān)系)2(1) y軸與拋物線y ax bx c得交點(diǎn)為(0,C)(2)與y軸平行的直線x h與拋物線y ax2 bx c有且只有一個(gè)交點(diǎn)(h, ah 2 bh c).(3)拋物線與x軸的交點(diǎn)二

10、次函數(shù)y ax2 bx c的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2,是對(duì)應(yīng) 一元二次方程ax2 bx c 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次 方程的根的判別式判定： 有兩個(gè)交點(diǎn) 0 拋物線與x軸相交； 有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在x軸上)0拋物線與x軸相切； 沒有交點(diǎn) 0拋物線與x軸相離.(4)平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)同(3) 一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩 交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為 k ,則橫坐標(biāo)是ax2 bx c k的兩個(gè)實(shí)數(shù) 根.而根的存在情況仍如(3) 一樣由根的判別式判定。2(5) 次函數(shù)y kx nk 0的圖像l與二次函數(shù)y ax

11、 bx ca 0的圖 像G的交點(diǎn)，由方程組y kx 2 n的解的數(shù)目來確定：y ax2 bx c 程組有兩組不同的解時(shí)l與G有兩個(gè)交點(diǎn)； 程組只有一組解時(shí)l與G只有一個(gè)交點(diǎn)； 方程組無解時(shí)l與G沒有交點(diǎn).(6)拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線y ax2 bx c與x軸兩交點(diǎn)2為Ax/, Bx2。由于xi、X2是方程axbx c 0的兩個(gè)根，故由韋一 、一，b c達(dá)止理知：xi &-,xi x?-a a4cb2 4aca a aax2 bx c當(dāng)函數(shù)y的值A(chǔ)B x1 x2xix2 2. xi一2-； x24x1 x2八、二次函數(shù)與次方程的關(guān)系:次方程0 ax2 bx c就是二次函數(shù)

12、y為0時(shí)的情況.(2)二次函數(shù)y ax2 bx c的圖象與x軸的交點(diǎn)有三種情況：有兩個(gè)交點(diǎn)、 有一個(gè)交點(diǎn)、沒有交點(diǎn)；當(dāng)二次函數(shù)y ax2 bx c的圖象與x軸有交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)y 0時(shí)自變量x的值，即一元二次方程ax2 bx c 0 的根.當(dāng)二次函數(shù)y ax2 bx c的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則一元二次方程 22y ax bx c有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)y ax bx c的圖 象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則一元二次方程 ax2 bx c 0有兩個(gè)相等的實(shí) 數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)y ax2 bx c的圖象與x軸沒有交點(diǎn)時(shí)，則一元二次 方程ax2 bx c 0沒有實(shí)數(shù)根。例5:觀察函數(shù)y

13、x2 x 2, y x2 6x 9, y x2 x 1的圖象與x軸的交點(diǎn)，得出一元二次方程的根?？梢钥闯觯?1)拋物線y x2 x 2與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，他們的橫坐標(biāo)是-2,1.當(dāng)x去公共 點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，函數(shù)的值是0.由此得出方程x2 x 2 0的根是-2,1.(2)拋物線y x2 6x 9與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)，這點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3,當(dāng)x=3時(shí), 函數(shù)值是0.由此得出方程x2 6x 9 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根3。(3)拋物線y x2 x 1與x軸沒有公共點(diǎn)，可知，方程x2 x 1 0沒有實(shí)根。歸納：一般地，從二次函數(shù)y ax2 bx c的圖象可知，(1)如果拋物線y ax2 bx c與x軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)xO ,那么當(dāng)x x0及時(shí)方程ax2 bx c 0的一個(gè)根。(2)二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種：沒有公共點(diǎn)( b2 4ac 0),有一個(gè)公共點(diǎn)(b2 4ac 0),有兩個(gè)公共點(diǎn)(b2 4ac 0)。這