常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用論文

1、畢業(yè)論文論文題目：常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用 姓 名: 學(xué)科專業(yè):指導(dǎo)教師: 完成時間:常微分方程是數(shù)學(xué)理論（特別是微積分）聯(lián)系實際的重要工具，它不僅與兒 何學(xué)、力學(xué)、電子技術(shù)、自動控制、星際航行、甚至和化學(xué)、生物學(xué)、農(nóng)業(yè)以及 經(jīng)濟(jì)學(xué)都有著密切的聯(lián)系。本文結(jié)合實踐背景，建立數(shù)學(xué)模型，并利用所得結(jié)果 去解釋某些實際問題。關(guān)鍵字 常微分方程、人口預(yù)測模型、市場價格模型、混合溶液的數(shù)學(xué)模 型、震動模型第一章 人口預(yù)測模型第二章市場價格模型第三章混合溶液的數(shù)學(xué)模型第四章震動模型緒論當(dāng)我們描述實際對象的某些特性隨時間（或空間）而演變的過程、分析它的 變化規(guī)律、預(yù)測它的未來性態(tài)，研究它的控制手段時，通常

2、要建立對象的動態(tài)模 型。建模時首先要根據(jù)建模U的和對問題的具體分析作出簡化假設(shè)，然后按照對 象內(nèi)在的或可以類比的其他對象的規(guī)律列出微分方程，求出方程的解并將結(jié)果翻 譯回實際對象，就可以進(jìn)行描述、分析、預(yù)測或控制了。事實上在微分方程課程中，解所謂應(yīng)用題時我們遇到簡單的建立動態(tài)模型問 題，例如“一質(zhì)量為m的物體自高h(yuǎn)處自由下落，初速度是零，設(shè)阻力與下落速 度的平方成正比，比例系數(shù)為k,求下落速度隨時間的變化規(guī)律?！?乂如“容器 內(nèi)有鹽水100L,內(nèi)含鹽10kg,令以3L/min的速度從一管放進(jìn)凈水，以2L/min的 速度從另一管抽出鹽水，設(shè)容器內(nèi)鹽水濃度始終是均勻的，求容器內(nèi)含鹽量隨時 間變化規(guī)律

3、?！北疚挠懻摰氖浅Ｎ⒎址匠淘跀?shù)學(xué)建模中的應(yīng)用。第一章人口預(yù)測模型由于資源的有限性，當(dāng)今世界各國都注意有計劃地控制人口的增長，為了得 到人口預(yù)測模型，必須首先搞清影響人口增長的因素，而影響人口增長的因素很 多，如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的遷移、自然災(zāi)害、戰(zhàn)爭等 諸多因素，如果一開始就把所有因素都考慮進(jìn)去，則無從下手.因此，先把問題簡 化,建立比較粗糙的模型，再逐步修改，得到較完善的模型.例1(馬爾薩斯(Malthus)模型)英國人口統(tǒng)計學(xué)家馬爾薩斯(1766-1834) 在擔(dān)任牧師期間，查看了教堂100多年人口出生統(tǒng)計資料,發(fā)現(xiàn)人口出生率是一 個常數(shù)，于1789年在人口原理一書中

4、提出了聞名于世的馬爾薩斯人口模型， 他的基本假設(shè)是：在人口自然增長過程中，凈相對增長(出生率與死亡率之差) 是常數(shù)，即單位時間內(nèi)人口的增長量與人口成正比，比例系數(shù)設(shè)為，在此假設(shè)下, 推導(dǎo)并求解人口隨時間變化的數(shù)學(xué)模型.解 設(shè)時亥I打的人口為N，把N(/)當(dāng)作連續(xù)、可微函數(shù)處理(因人口總數(shù) 很大，可近似地這樣處理，此乃離散變量連續(xù)化處理)，據(jù)馬爾薩斯的假設(shè),在/到 / + A/時間段內(nèi)，人口的增長量為N(t + A/) - N(t) =,并設(shè)f =心時刻的人口為于是= %這就是馬爾薩斯人口模型,用分離變量法易求出其解為此式表明人口以指數(shù)規(guī)律隨時間無限增長.模型檢驗：據(jù)估計1961年地球上的人口總

5、數(shù)為3.06xlO9,而在以后7年中,人口總數(shù)以每年2%的速度增長，這樣= 1961 ,=3.06x109 , r = 0.02，于是N(t) = 3.O6xlO9eo<,2(,-,96l>.這個公式非常準(zhǔn)確地反映了在17001961年間世界人口總數(shù).因為，這期間 地球上的人口大約每35年翻一番，而上式斷定34. 6年增加一倍（請讀者證明這 一點）.但是，后來人們以美國人口為例，用馬爾薩斯模型計算結(jié)果與人口資料比較, 卻發(fā)現(xiàn)有很大的差異，尤其是在用此模型預(yù)測較遙遠(yuǎn)的未來地球人口總數(shù)時，發(fā) 現(xiàn)更令人不可思議的問題，如按此模型計算，到2670年，地球上將有36 000億人 口.如果地球

6、表面全是陸地（事實上,地球表面還有80%被水覆蓋），我們也只得 互相踩著肩膀站成兩層了，這是非常荒謬的，因此，這一模型應(yīng)該修改.例2 （邏輯Logistic模型）馬爾薩斯模型為什么不能預(yù)測未來的人口呢？ 這主要是地球上的各種資源只能供一定數(shù)量的人生活，隨著人口的增加，自然資 源環(huán)境條件等因素對人口增長的限制作用越來越顯著，如果當(dāng)人口較少時，人口 的自然增長率可以看作常數(shù)的話，那么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量以后，這個增長率 就要隨人口的增加而減小.因此，應(yīng)對馬爾薩斯模型中關(guān)于凈增長率為常數(shù)的假 設(shè)進(jìn)行修改.1838年,荷蘭生物數(shù)學(xué)家韋爾侯斯特（Verhulst）引入常數(shù)N皿,用來表示自 然環(huán)境條件所能

7、容許的最大人口數(shù)（一般說來，一個國家工業(yè)化程度越高，它的生 活空間就越大，食物就越多，從而就越大），并假設(shè)將增長率等于+ -罟片， 即凈增長率隨著N的增加而減小，當(dāng)Nt Nnt時,凈增長率趨于零，按此假定建立人口預(yù)測模型.解山韋爾侯斯特假定,馬爾薩斯模型應(yīng)改為dNN 擊2丿N(2 = N°上式就是邏輯模型，該方程可分離變量，其解為,下面,我們對模型作一簡要分析.（1 ）當(dāng)f TOO, N（f） T N,n ,即無論人口的初值如何，人口總數(shù)趨向于極限值NQN 0,這說明N(t)是時間t的單調(diào)遞dN(2)當(dāng)OvN 心時，-d/增函數(shù);咗卜冷所以當(dāng)心時，護(hù)。普單增；當(dāng)川主時，密0,哎單減,

8、即人口增長率空由增變減,在業(yè)處最大,2d 廠drdr2也就是說在人口總數(shù)達(dá)到極限值一半以前是加速生長期，過這一點后，生長的速 率逐漸變小，并且遲早會達(dá)到零，這是減速生長期；(4)用該模型檢驗美國從1790年到1950年的人口，發(fā)現(xiàn)模型計算的結(jié)果 與實際人口在1930年以前都非常吻合，自從1930年以后，誤差愈來愈大，一個明 顯的原因是在20世紀(jì)60年代美國的實際人口數(shù)已經(jīng)突破了 20世紀(jì)初所設(shè)的極 限人口.曲此可見該模型的缺點之一是不易確定，事實上，隨著一個國家經(jīng)濟(jì) 的騰飛，它所擁有的食物就越豐富，N”的值也就越大;(5)用邏輯模型來預(yù)測世界未來人口總數(shù).某生物學(xué)家估計，廠= 0.029, 乂

9、當(dāng) 人口總數(shù)為3.06x10°時，人口每年以2%的速率增長，山邏輯模型得丄 =N dr I Nj即o.O2 = O.O29(i-竺凹,N皿丿從而得Nm =9.86xl0即世界人口總數(shù)極限值近100億.值得說明的是：人也是一種生物，因此，上面關(guān)于人口模型的討論，原則上也 可以用于在自然環(huán)境下單一物種生存著的其他生物，如森林中的樹木、池塘中的 魚等,邏輯模型有著廣泛的應(yīng)用.第二章市場價格模型對于純粹的市場經(jīng)濟(jì)來說，商品市場價格取決于市場供需之間的關(guān)系，市場 價格能促使商品的供給與需求相等(這樣的價格稱為(靜態(tài))均衡價格)也就是說, 如果不考慮商品價格形成的動態(tài)過程,那么商品的市場價格應(yīng)能

10、保證市場的供需 平衡，但是，實際的市場價格不會恰好等于均衡價格，而且價格也不會是靜態(tài)的， 應(yīng)是隨時間不斷變化的動態(tài)過程.例3試建立描述市場價格形成的動態(tài)過程的數(shù)學(xué)模型解 假設(shè)在某一時刻/,商品的價格為“，它與該商品的均衡價格間有差 別，此時，存在供需差，此供需差促使價格變動.對新的價格，乂有新的供需差，如 此不斷調(diào)節(jié)，就構(gòu)成市場價格形成的動態(tài)過程，假設(shè)價格p的變化率坐與需求dr和供給之差成正比，并記f(p,門為需求函數(shù)，g()為供給函數(shù)(為參數(shù))，于是p(0)=幾,其中幾為商品在時刻的價格，a為正常數(shù).若設(shè) /(/Ar) = -ap + b , g(p) = cp + ,則上式變?yōu)榕?-a(a

11、 + c)p + a(b - )，“(0)=內(nèi)，其中心人c,d均為正常數(shù),其解為下面對所得結(jié)果進(jìn)行討論：(1) 設(shè)萬為靜態(tài)均衡價格，則其應(yīng)滿足/(P") - g(p) = o,4即一 a p + b = c p + d、于是得鼻=口,從而價格函數(shù)p可寫為a+ c皿）=（00-萬）嚴(yán)5+萬，令r t*q,取極限得lim p（t） = p/>4-X這說明，市場價格逐步趨于均衡價格.乂若初始價格P占,則動態(tài)價格就維持在均衡價格萬上，整個動態(tài)過程就化為靜態(tài)過程；（2）由于半-幾）a（" + c）rg",at所以，當(dāng)Po >卩時，<0, p單調(diào)下降向卩靠攏

12、：當(dāng)Po < p時，>0, p d/d/單調(diào)增加向萬靠攏.這說明：初始價格高于均衡價格時，動態(tài)價格就要逐步降低, 且逐步靠近均衡價格;否則，動態(tài)價格就要逐步升高.因此，式在一定程度上反 映了價格影響需求與供給，而需求與供給反過來乂影響價格的動態(tài)過程，并指出 了動態(tài)價格逐步向均衡價格靠攏的變化趨勢.第三章混合溶液的數(shù)學(xué)模型例4設(shè)一容器內(nèi)原有100L鹽，內(nèi)含有鹽10kg,現(xiàn)以3L/min的速度注入質(zhì)量 濃度為0. 01kg/L的淡鹽水，同時以2L/min的速度抽出混合均勻的鹽水，求容器內(nèi) 鹽量變化的數(shù)學(xué)模型.解 設(shè)，時刻容器內(nèi)的鹽量為x(r)kg,考慮/到/ + d/時間內(nèi)容器中鹽的變

13、化情況，在/時間內(nèi)容器中鹽的改變量=注入的鹽水中所含鹽量一抽出的鹽水中所含鹽量 容器內(nèi)鹽的改變量為山，注入的鹽水中所含鹽量為0.01x3d/, I時刻容器內(nèi)溶液的質(zhì)量濃度為一，假設(shè)/到F + dF時間內(nèi)容器內(nèi)溶液的質(zhì)量濃度不 100+(3-2)/變(事實上，容器內(nèi)的洛液質(zhì)量濃度時刻在變，山于d/時間很短,可以這樣看)于是抽出的鹽水中所含鹽量為冊莎如，這樣即可列出方程cLv = 0.03d/-2A-d/>100 + /2x100 + /乂因為/ = o時，容器內(nèi)有鹽10kg,于是得該問題的數(shù)學(xué)模型為dx + ck2x100 + /= 0.03,x（0） = 10,這是一階非齊次線性方程的初

14、值問題,其解為x（r）= o.oi（ioo+r）+9xl04（100+77下面對該問題進(jìn)行一下簡單的討論，山上式不難發(fā)現(xiàn)：/時刻容器內(nèi)洛液的質(zhì) 量濃度為,、 M) 八小 9xl04p(f) = =0.01 +r,100+r(100+r)3且當(dāng)時，m)to.oi,即長時間地進(jìn)行上述稀釋過程，容器內(nèi)鹽水的質(zhì)量 濃度將趨于注入溶液的質(zhì)量濃度.溶液混合問題的更一般的提法是：設(shè)有一容器裝有某種質(zhì)量濃度的溶液，以 流量K注入質(zhì)量濃度為C勺溶液(指同一種類溶液，只是質(zhì)量濃度不同)，假定 溶液立即被攪勻，并以匕的流量流出這種混合洛液，試建立容器中質(zhì)量濃度與時 間的數(shù)學(xué)模型.首先設(shè)容器中溶質(zhì)的質(zhì)量為兀，原來的初

15、始質(zhì)量為X。, t二0時溶液的體 積為匕，在d/時間內(nèi)，容器內(nèi)溶質(zhì)的改變量等于流入溶質(zhì)的數(shù)量減去流出溶質(zhì)的 數(shù)量，即dx = CjVjdr 一 C2V2dt,其中C是流入溶液的質(zhì)量濃度，C?為f時刻容器中溶液的質(zhì)量濃 度，時花,于是，有混合溶液的數(shù)學(xué)模型滬CMc”2x(0) = x0 該模型不僅適用于液體的混合，而且還適用于討論氣體的混合.第四章振動模型振動是生活與工程中的常見現(xiàn)象.研究振動規(guī)律有著極其重要的意義.在自 然界中，許多振動現(xiàn)象都可以抽象為下述振動問題.例5設(shè)有一個彈簧，它的上端固定,下端掛一個質(zhì)量為加的物體，試研究其 振動規(guī)律.解假設(shè)（1）物體的平衡位置位于坐標(biāo)原點，并取x軸的正

16、向鉛直向下（見圖4）. 物體的平衡位置指物體處于靜止?fàn)顟B(tài)時的位置.此時，作用在物體上的重力與彈 性力大小相等，方向相反；（2）在一定的初始位移x0及初始速度下，物體離開平衡位置，并在平衡位 置附近作沒有搖擺的上下振動；（3）物體在I時刻的位置坐標(biāo)為x = A（r）,即t時刻物體偏離平衡位置的位移;（4）在振動過程中，受阻力作用.阻力的大小與物體速度成正比，阻力的方向 總是與速度方向相反，因此阻力為-力竺，力為阻尼系數(shù)；d/于一礙+蝕，（5）當(dāng)質(zhì)點有位移x（/）時,假設(shè)所受的彈簧恢復(fù)力是與位移成正比的，而恢 復(fù)力的方向總是指向平衡位置，也就是總與偏離平衡位置的位移方向相反，因此 所受彈簧恢復(fù)力為

17、-匕，其中k為勁度系數(shù)；（6）在振動過程中受外力/的作 用.在上述假設(shè)下，根據(jù)牛頓第二定律得這就是該物體的強(qiáng)迫振動方程.由于方程中，/的具體形式?jīng)]有給出，所以，不能對式直接求解.下面我們分四種情形對其進(jìn)行討論.1. 無阻尼自由振動在這種情況下，假定物體在振動過程中，既無阻力、乂不受外力 作用此時方程變?yōu)榱? = co2,方程變?yōu)?m特征方程為才 +co2 =0,特征根為入乍=±i6W,m4- + kx=0 ,dr2So,通解為x = Cj sin cot + C2 coscot ,coscotJ =sin cot + lJc：+G或?qū)⑵鋵憺閤 = ylcf+cl=A(cos?sin

18、cot + sin (jpeoscot)=Asin(cot + cp)H111 A = Jc；+cf ,皿爐=,°，COS0= J 一JU + c；Jc：+c；這就是說，無阻尼自由振動的振幅A =、疋，頻率。=計均為常數(shù).2. 有阻尼自曲振動在該種情況下，考慮物體所受到的阻力，不考慮物體所受的外力.此時，方程變?yōu)閐2x f d.v r 小 m - + h + Ax = 0,dr drkh令- = 2J,方程變?yōu)閙md2.r - dx 丁 八+ 2 J + 6TX = 0,dL dr特征方程為/+2嬴+ /=0,特征根人.2=-HQ-/ 根據(jù)5與©的關(guān)系,乂分為如下三種情形：

19、(1) 大阻尼情形，5>0特征根為二不等實根,通解為工=C e(-s+Jy-e? ” + c &(-5+V 夕一e，)1(2) 臨界阻尼情形，j =特征根為重根，通解為x = (G + C2z)e"*這兩種情形，山于阻尼比較大，都不發(fā)生振動.當(dāng)有一初始擾動以后，質(zhì)點慢 慢回到平衡位置,位移隨時間/的變化規(guī)律分別如圖5和圖6所示.x(3) 小阻尼情形，5特征根為共輒復(fù)根，通解為X =尹(C sin、心一+ C2 sincd1-d2t將其簡化為x = sin(v2+ (p)H 中 A = JcJ+C,sin0 = :、cos0=加幅' Jc；+C； 7C12+C22

20、A e"隨時間/的增加而減小因此，這是一種衰減振動.位移隨時間/的變化規(guī)律見右圖7.3. 無阻尼強(qiáng)迫振動在這種悄形下，設(shè)物體不受阻力作用，其所受外力為簡諧 力/=?sin pt，此時，方程化為m - + kx = /sin pt, d廠密+沁5小d/-根據(jù)i"是否等于特征根ie,其通解分為如下兩種情形：（1）當(dāng)p豐3時，其通解為x = ! sin pt + C. sin cot + C7 coscot, q- p此時，特解的振幅為常數(shù)，但當(dāng)P接近于0時,將會導(dǎo)致振幅增大，發(fā)生 Q- _ /”類似共振的現(xiàn)象；（2）當(dāng)p = co時，其通解為x =1 cos pt + Cx s

21、in cot + Co cos cot,2p此時,特解的振幅卻隨時間的增加而增大,這種現(xiàn)象稱為共振,即當(dāng)外力的頻率P等于物體的固有頻率時,將發(fā)生共振.4. 阻尼強(qiáng)迫振動在這種情形下，假定振動物體既受阻力作用，乂受外力/（A）= /Hsinpr的作用,并設(shè)方程變?yōu)閐2xdF+ 2J + 6?2x = sin pt d/特征根兄=-5土co2-d/HO,則ip不可能為特征根,特解為x* = Asin pt + Bcos pf,> 2(<y2 _/?2)2 +4J2/?2_2妙(Q?_”2)2+4§2p2還可將其化為宀（宀于+4丹川宀心訕一切CM,由此可見，在有阻尼的情況下，將不會發(fā)生共振現(xiàn)象，不過，當(dāng)p = CD時,若3很小，則仍會有較大的振幅：若5比較大，則不會有