根式的運(yùn)算技巧

1、根式的運(yùn)算平方根與立方根一、知識(shí)要點(diǎn)1、平方根：、定義：如果x2=a，則x叫做a的平方根，記作“”（a稱為被開(kāi)方數(shù)）。、性質(zhì)：正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。、算術(shù)平方根：正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作“”。2、立方根：、定義：如果x3=a，則x叫做a的立方根，記作“”（a稱為被開(kāi)方數(shù)）。、性質(zhì)：正數(shù)有一個(gè)正的立方根；0的立方根是0；負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根。3、開(kāi)平方（開(kāi)立方）：求一個(gè)數(shù)的平方根（立方根）的運(yùn)算叫開(kāi)平方（開(kāi)立方）。二、規(guī)律總結(jié)：1、平方根是其本身的數(shù)是0；算術(shù)平方根是其本身的數(shù)是0和1；立方根是其本身的數(shù)是0和±1。2、每

2、一個(gè)正數(shù)都有兩個(gè)互為相反數(shù)的平方根，其中正的那個(gè)是算術(shù)平方根；任何一個(gè)數(shù)都有唯一一個(gè)立方根，這個(gè)立方根的符號(hào)與原數(shù)相同。3、本身為非負(fù)數(shù)，即0；有意義的條件是a0。4、公式：()2=a（a0）；=（a取任何數(shù)）。5、非負(fù)數(shù)的重要性質(zhì)：若幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于0，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)都為0（此性質(zhì)應(yīng)用很廣，務(wù)必掌握）。例1 求下列各數(shù)的平方根和算術(shù)平方根（1） ；（2）； （3）； 例2 求下列各式的值（1）； （2）； （3）； （4）.（5），（6），（7）（8）例3、求下列各數(shù)的立方根： 343； ； 0.729二、巧用被開(kāi)方數(shù)的非負(fù)性求值. 大家知道，當(dāng)a0時(shí)，a的平方根是±，即a是非負(fù)

3、數(shù).例4、若求yx的立方根.練習(xí)：已知求的值.三、巧用正數(shù)的兩平方根是互為相反數(shù)求值. 我們知道，當(dāng)a0時(shí)，a的平方根是±，而例5、已知：一個(gè)正數(shù)的平方根是2a-1與2-a，求a的平方的相反數(shù)的立方根.練習(xí)：若和是數(shù)的平方根，求的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算術(shù)平方根的最小值求值.我們已經(jīng)知道,即a=0時(shí)其值最小,換句話說(shuō)的最小值是零.例4、已知：y=,當(dāng)a、b取不同的值時(shí)，y也有不同的值.當(dāng)y最小時(shí),求ba的非算術(shù)平方根.練習(xí)：1、若一個(gè)數(shù)的平方根是，則這個(gè)數(shù)的立方根是（ ）A2 B2 C4 D4 2、144的算術(shù)平方根

4、是 ，的平方根是 ； 3、若的平方根是和，則= 4、= ， 的立方根是 ；5、7的平方根為 ，= ；6、一個(gè)數(shù)的平方是9，則這個(gè)數(shù)是 ，一個(gè)數(shù)的立方根是1，則這個(gè)數(shù)是 ；7、平方數(shù)是它本身的數(shù)是 ；平方數(shù)是它的相反數(shù)的數(shù)是 ；8、當(dāng)x= 時(shí)，有意義；當(dāng)x= 時(shí)，有意義；9、若，則x= ；若，則n= ；10、若，則x= ；若，則x ；11、的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為b,則a=_, b=_ 12、解方程： （2）（3 ） （4） 13、已知，求xyz的值。14、若，求的值15、已知：2的平方根是±2,2+7的立方根是3，求2+2的平方根16、若，求xy的值。二次根式一、知識(shí)點(diǎn)1.二次根式

5、：式子（0）叫做二次根式。2.最簡(jiǎn)二次根式：必須同時(shí)滿足下列條件：被開(kāi)方數(shù)中不含開(kāi)方開(kāi)的盡的因數(shù)或因式； 被開(kāi)方數(shù)中不含分母； 分母中不含根式。3.同類二次根式：二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，若被開(kāi)方數(shù)相同，則這幾個(gè)二次根式就是同類二次根式。4.二次根式的性質(zhì)：（0）（0）0 （=0）；（1）（）2= （0）； （2）5.二次根式的運(yùn)算：二次根式的加減運(yùn)算： 先把二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，然后合并同類二次根式即可。二次根式的乘除運(yùn)算： =（0,b0）； 【例題講解】一、利用二次根式的雙重非負(fù)性來(lái)解題（a0），即一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)非負(fù)數(shù)。）例1 ：x取何值時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。

6、（1） （2） （3） (4).例2：若，則=_； 若，則 【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1、 下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A、； B、； C、； D、2、 若，則x的取值范圍是 3、 若，則x的取值范圍是 。4、 若是一個(gè)正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是_5、設(shè)m、n滿足，則= 。6、若三角形的三邊a、b、c滿足=0，則第三邊c的取值范圍是 7、若，且時(shí)，則（ ） A、 B、C、D、 二、利用二次根式的性質(zhì)=|a|=(即一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值)來(lái)解題【例題講解】例1 ：已知x，則（） A.x0B.x3.x3D.3x0例2 ：化簡(jiǎn)的結(jié)果為（ ） A、； B、；C、 D、【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1、

7、 已知a<b，化簡(jiǎn)二次根式的正確結(jié)果是（ ） A B C D2、 若化簡(jiǎn)|1-x|-的結(jié)果為2x-5則（ ） A、x為任意實(shí)數(shù) B、1x4 C、x1 D、x4 3、已知a，b，c為三角形的三邊，則= 4、化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ） A B C D5、 已知：=1，則的取值范圍是（ ）。 A、； B、； C、或1； D、 3、 二次根式的化簡(jiǎn)與計(jì)算（主要依據(jù)是二次根式的性質(zhì)：（）2=a（a0），即以及混合運(yùn)算法則）【例題講解】（一）化簡(jiǎn)與求值例1：把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：（1） （2） （3） （4） 例二：計(jì)算：2【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1、下列哪些是同類二次根式：（1），； （2） ，a2、計(jì)算下列各

8、題：（1）6 （2）；（3） （4） （5） 3、 已知，則x等于（ ） A4 B±2 C2 D±44、 （二）先化簡(jiǎn)，后求值： 1. 直接代入法：已知 求(1) (2) 2.變形代入法：（1）變條件：已知：，求的值。 .已知:x=，求3x25xy+3y2的值（2）變結(jié)論：1、設(shè)=a，=b，則= 。2、已知，求 。 3、已知，（1）求的值 （2）求的值 四、關(guān)于求二次根式的整數(shù)部分與小數(shù)部分的問(wèn)題1.估算2的值在哪兩個(gè)數(shù)之間（）A12 B.23 C. 34 D.452若的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則 3.已知9+的小數(shù)部分分別是a和b，求ab3a+4b+8的值4.若a，b

9、為有理數(shù)，且+=a+b，則b= .五、二次根式的比較大小（1） （2）5 （3）（4） 設(shè)a=, , 則（ ） A. B. C. D. 六、實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解： 9x25y2 4x44x21 x4+x26練習(xí)：1、若，則xy的值為（ ）A B C D2、若，則 3、計(jì)算：（1） （2 （3） （4）4、先將÷化簡(jiǎn)，然后自選一個(gè)合適的x值，代入化簡(jiǎn)后的式子求值。5、如圖，實(shí)數(shù)、在數(shù)軸上的位置，化簡(jiǎn) ：6、若，則的取值范圍是ABCD7、如圖，數(shù)軸上兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為1和，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)所表示的數(shù)是ABCD8、已知：，求的值。9、已知：為實(shí)數(shù)，且，化簡(jiǎn)：。10、已知11、先閱讀

10、下列的解答過(guò)程，然后作答：有這樣一類題目：將化簡(jiǎn)，若你能找到兩個(gè)數(shù)和，使且，則可變?yōu)?，即變成開(kāi)方，從而使得化簡(jiǎn)。例如： =，請(qǐng)仿照上例解下列問(wèn)題：（1） ； （2）二次根式運(yùn)算的技巧二次根式的運(yùn)算通常是根據(jù)其運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算的，但在計(jì)算過(guò)程中若能巧妙地運(yùn)用一些數(shù)學(xué)思想方法，可使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，易于計(jì)算。下面舉例說(shuō)明二次根式的運(yùn)算技巧：一、 巧移因式法例1、 計(jì)算分析：將根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)，然后用平方差公式計(jì)算比較簡(jiǎn)便，或先把化簡(jiǎn)，然后利用平方差公式計(jì)算解：原式= = =18-48 =-30二、 巧提公因數(shù)法例2、計(jì)算分析：2= 中有公因數(shù)，提出公因數(shù)后，可用平方差公式計(jì)算解：原式= = =

11、=（25-6） =19三、 公式法例3、計(jì)算分析：巧分組，出奇制勝，整式的乘法公式對(duì)二次根式的乘法也適用，本題用平方差公式來(lái)計(jì)算很簡(jiǎn)便解：原式= = = =四、 因式分解法例4、計(jì)算分析：本題若直接按乘除法則計(jì)算，顯然很麻煩，若適當(dāng)分解因式約去公因式，則運(yùn)算很簡(jiǎn)便解：原式= = =五、 拆項(xiàng)法例5、化簡(jiǎn)分析：本題若直接計(jì)算顯然很麻煩，若仔細(xì)觀察將分子拆項(xiàng)，則計(jì)算會(huì)很簡(jiǎn)便解：原式= = = =六、 配方法例6、計(jì)算分析：此題是雙二次根式的加減，必須把復(fù)合二次根式化為一般二次根式，可將根號(hào)里的式子化成完全平方式，使問(wèn)題便于計(jì)算解：原式= = =-5七、整體代入，別開(kāi)生面例5. 已知，求下列各式的值

12、。（1）（2）分析：根據(jù)x、y值的特點(diǎn)，可以求得，如果能將所求的值的式子變形為關(guān)于或xy的式子，再代入求值要比直接代入求值簡(jiǎn)單得多。解：因?yàn)樗裕?）（2）（也可以將變?yōu)閬?lái)求）八、巧換元，干凈利索例6. 計(jì)算分析：此算式中的兩個(gè)公式互為倒數(shù)，若設(shè)，則原式而原式解：設(shè)則所以原式例7. 計(jì)算分析：有兩種方法，一種換元，一種配方。解法1：設(shè)兩邊平方因?yàn)樗约唇夥?：原式所以遇到二次根式運(yùn)算一定認(rèn)真審題、仔細(xì)琢磨，能否找到運(yùn)算技巧，達(dá)到事半功倍效果二次根式的運(yùn)算測(cè)試題姓名 班級(jí) 學(xué)號(hào) 一選擇題（本題30分，每小題3分）：1化簡(jiǎn)(1)的結(jié)果是 ()A3 B3 C. D2計(jì)算(2)×的結(jié)果是 ()A11 B15 C21 D243計(jì)算(35)×(35)的結(jié)果是()A57 B57 C53 D534計(jì)算的結(jié)果是()A2 B4 C2 D45 ×()的值是_；6 化簡(jiǎn)：×()|3|_7計(jì)算÷的結(jié)果是_8、計(jì)算：_9、有下列計(jì)算：(m2)3m6；2a1；m6÷m2m3；×÷15；22314.其中正確的運(yùn)算有_10、計(jì)算：(1)(1)_二