壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題

1、2021年12月14日第第1010章章 壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題 莊莊 茁茁 蒙民偉科技大樓蒙民偉科技大樓N501N501室室6278301462783014，TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA

2、UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY返回返回返回總目錄返回總目錄TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYOFPFPcrFP nst=1.8工作工作安全因數(shù)為安全因數(shù)為83411502276PPcrwrcrw.FFnTSINGHUA UNIVERSITY在如圖所示的結(jié)構(gòu)中，梁在如圖所示的結(jié)構(gòu)中，梁AB為為No.l4普通熱軋工普通熱軋工字鋼，字鋼，CD為圓截面直桿，其直徑為為圓截面直桿，其直徑為 d20 mm，二者材料，二者材料均為均為 Q235鋼。結(jié)構(gòu)受力如圖所示

3、，鋼。結(jié)構(gòu)受力如圖所示，A、C、D三處均為球鉸三處均為球鉸約束。若已知約束。若已知FP25 kN，l11.25 m，l20.55 m， s235 MPa。強(qiáng)度安全因數(shù)。強(qiáng)度安全因數(shù)n ns s1.451.45，穩(wěn)定安全因數(shù)，穩(wěn)定安全因數(shù) n n stst1.81.8。此結(jié)構(gòu)是否安全？此結(jié)構(gòu)是否安全？ TSINGHUA UNIVERSITY在給定的結(jié)構(gòu)中有兩個(gè)構(gòu)件：在給定的結(jié)構(gòu)中有兩個(gè)構(gòu)件：梁梁AB，承受，承受拉伸與彎曲拉伸與彎曲的組合作用，屬于的組合作用，屬于強(qiáng)度問(wèn)題強(qiáng)度問(wèn)題；桿桿CD承受承受壓縮壓縮載荷，屬于載荷，屬于穩(wěn)穩(wěn)定問(wèn)題定問(wèn)題。 3max1( sin30 )25kN 100 51 2

4、5m15.63kN m.MFl3NPcos3025kN 10cos3021 65kN.xFF 梁梁AB在截面在截面C處彎矩最大，該處橫截面為危險(xiǎn)截面，處彎矩最大，該處橫截面為危險(xiǎn)截面，其上的彎矩和軸力分別為其上的彎矩和軸力分別為 TSINGHUA UNIVERSITY3max1( sin30 )25kN 100 51 25m15.63kN m.MFl3NPcos3025kN 10cos3021 65kN.xFF由型鋼表查得由型鋼表查得No.14普通熱軋工字鋼的參數(shù)為普通熱軋工字鋼的參數(shù)為 Wz =102 cm3=102 103 mm3；A21.5 cm221.5 102 mm2由此得到由此得到

5、梁內(nèi)最大應(yīng)力梁內(nèi)最大應(yīng)力42239333maxmax10mm1052110N652110mm1010210mN6315.AFWMNxzTSINGHUA UNIVERSITY3max1( sin30 )25kN 100 51 25m15.63kN m.MFl3NPcos3025kN 10cos3021 65kN.xFF 由此得到由此得到梁內(nèi)最大應(yīng)力梁內(nèi)最大應(yīng)力42239333maxmax10mm1052110N652110mm1010210mN6315.AFWMNxzMPa2 .163Pa102 .1636TSINGHUA UNIVERSITY由此得到由此得到梁內(nèi)最大應(yīng)力梁內(nèi)最大應(yīng)力maxmax

6、163 2MPa.NxzMFWAQ235鋼的許用應(yīng)力鋼的許用應(yīng)力 MPa1621.45MPa235ssn maxmax略大于略大于 ，但，但 ，在工程上認(rèn)為是安全的。在工程上認(rèn)為是安全的。 max100%0.7%5%TSINGHUA UNIVERSITY 由平衡方程求得壓桿由平衡方程求得壓桿CD的軸向壓力的軸向壓力 因?yàn)槭菆A截面桿因?yàn)槭菆A截面桿，故慣性半徑故慣性半徑 kN2530sin2PPNFFFCD5 mm4IdiATSINGHUA UNIVERSITY 又因?yàn)閮啥藶榍蜚q約束，又因?yàn)閮啥藶榍蜚q約束， 1.0，所以，所以 kN2530sin2PPNFFFCD5 mm4IdiA101110m1

7、05m55001P3.il這表明，壓桿這表明，壓桿CD為細(xì)長(zhǎng)桿，故需采用歐拉公式計(jì)算其臨界應(yīng)力為細(xì)長(zhǎng)桿，故需采用歐拉公式計(jì)算其臨界應(yīng)力。TSINGHUA UNIVERSITY kN2530sin2PPNFFFCD這表明，壓桿這表明，壓桿CD為細(xì)長(zhǎng)桿，故需采用歐拉公式計(jì)算其臨界應(yīng)力為細(xì)長(zhǎng)桿，故需采用歐拉公式計(jì)算其臨界應(yīng)力。410mm2011010GPa206423-292222crPcrdEAFkN825N108523.P110101 TSINGHUA UNIVERSITY kN2530sin2PPNFFFCD5 mm4IdiA這表明，壓桿這表明，壓桿CD為細(xì)長(zhǎng)桿，故需采用歐拉公式計(jì)算其臨界應(yīng)力

8、為細(xì)長(zhǎng)桿，故需采用歐拉公式計(jì)算其臨界應(yīng)力。22Pcrcr252 8kN4.EdFA 于是，壓桿的工作安全因數(shù)于是，壓桿的工作安全因數(shù) 8111225kNkN852stNPcrwcrw.nFFnCDTSINGHUA UNIVERSITY kN2530sin2PPNFFFCD22Pcrcr252 8kN4.EdFA 這一結(jié)果說(shuō)明，壓桿的穩(wěn)定性是安全的。這一結(jié)果說(shuō)明，壓桿的穩(wěn)定性是安全的。 8111225kNkN852stNPcrwcrw.nFFnCD上述兩項(xiàng)計(jì)算結(jié)果表明，整個(gè)結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和穩(wěn)定性都是安全的。上述兩項(xiàng)計(jì)算結(jié)果表明，整個(gè)結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和穩(wěn)定性都是安全的。 TSINGHUA UNIVERSIT

9、Y返回返回返回總目錄返回總目錄TSINGHUA UNIVERSITY st st 折折減減系系數(shù)數(shù)TSINGHUA UNIVERSITY st 折折減減系系數(shù)數(shù) stcrsstsstcrbstbnnnn，TSINGHUA UNIVERSITY st stcrsstsstcrbstbnnnn，TSINGHUA UNIVERSITY 承受軸向壓縮載荷的組合柱由兩根承受軸向壓縮載荷的組合柱由兩根No.32a 的普通熱軋槽鋼所組成，的普通熱軋槽鋼所組成，組合方式如圖所示。已知組合柱的總長(zhǎng)度組合方式如圖所示。已知組合柱的總長(zhǎng)度l8 m，柱的兩端均為球鉸，柱的兩端均為球鉸約束。兩根槽鋼通過(guò)若干連接板用鉚釘

10、連成一體，各連接板之間的距約束。兩根槽鋼通過(guò)若干連接板用鉚釘連成一體，各連接板之間的距離均為離均為a，鉚釘孔的直徑，鉚釘孔的直徑d17 mm。所有材料均為。所有材料均為Q235鋼，其許用應(yīng)鋼，其許用應(yīng)力力 160 MPa。 1、如果要使組合柱整體在各個(gè)方向上、如果要使組合柱整體在各個(gè)方向上都具有相同的臨界載荷，兩根槽鋼橫截面都具有相同的臨界載荷，兩根槽鋼橫截面外邊緣的距離外邊緣的距離b應(yīng)取多大？應(yīng)取多大？ 3、在許可載荷確定后，連接板之間的、在許可載荷確定后，連接板之間的距離距離a為多大，才能保證兩相鄰連接板之間為多大，才能保證兩相鄰連接板之間的單根槽鋼不發(fā)生局部失穩(wěn)？的單根槽鋼不發(fā)生局部失穩(wěn)

11、？ 2、當(dāng)距離、當(dāng)距離b的數(shù)值確定后，采用折減系的數(shù)值確定后，采用折減系數(shù)法求組合柱的許可壓縮載荷；數(shù)法求組合柱的許可壓縮載荷；TSINGHUA UNIVERSITY 因?yàn)榻M合柱兩端為球鉸約束，即端部因?yàn)榻M合柱兩端為球鉸約束，即端部在各個(gè)方向具有相同的壓縮。所以，本例在各個(gè)方向具有相同的壓縮。所以，本例中要求組合柱整體在各個(gè)方向上都具有相中要求組合柱整體在各個(gè)方向上都具有相同的臨界載荷，也就是要求組合柱的組合同的臨界載荷，也就是要求組合柱的組合截面對(duì)于所有形心軸具有相同的慣性矩，截面對(duì)于所有形心軸具有相同的慣性矩，為了滿足這一條件，橫截面對(duì)于通過(guò)形心為了滿足這一條件，橫截面對(duì)于通過(guò)形心的一對(duì)相

12、互垂直軸的慣性矩相等，即的一對(duì)相互垂直軸的慣性矩相等，即 zyII這就是確定兩根槽鋼橫截面外邊緣的距離這就是確定兩根槽鋼橫截面外邊緣的距離b條件。條件。 TSINGHUA UNIVERSITYzyII 又因?yàn)殂T釘孔對(duì)槽鋼局部橫截面的又因?yàn)殂T釘孔對(duì)槽鋼局部橫截面的削弱不影響穩(wěn)定臨界力，所以，計(jì)算慣削弱不影響穩(wěn)定臨界力，所以，計(jì)算慣性矩時(shí)可以不計(jì)及鉚釘孔的影響。于是，性矩時(shí)可以不計(jì)及鉚釘孔的影響。于是，根據(jù)慣性矩的移軸定理，可以寫(xiě)出：根據(jù)慣性矩的移軸定理，可以寫(xiě)出： 211212112yybIIzATSINGHUA UNIVERSITY 21121 =212112zyybIIIzA 由型鋼表查得由

13、型鋼表查得No.32a 普通熱軋槽鋼普通熱軋槽鋼橫截面的幾何性質(zhì)如下：橫截面的幾何性質(zhì)如下： 441211mm10.305mm14.87mm22.4 mmzyIIAz7737. 60 10101027737.60 100.305 1022.44.87 102b b289.6 mm TSINGHUA UNIVERSITY 首先，計(jì)算組合柱的長(zhǎng)細(xì)比。組合截首先，計(jì)算組合柱的長(zhǎng)細(xì)比。組合截面的慣性半徑面的慣性半徑 2121zzyzIIiiAA 72317.86 101.249 10 mm14.87 10zIA于是，組合柱的長(zhǎng)細(xì)比于是，組合柱的長(zhǎng)細(xì)比321 8 1064.11.249 10 yzyli

14、TSINGHUA UNIVERSITY于是，組合柱的長(zhǎng)細(xì)比于是，組合柱的長(zhǎng)細(xì)比 其次，根據(jù)長(zhǎng)細(xì)比確定折減系數(shù)。根據(jù)其次，根據(jù)長(zhǎng)細(xì)比確定折減系數(shù)。根據(jù)Q235鋼的折減系數(shù)與長(zhǎng)細(xì)比之間的關(guān)系，有：鋼的折減系數(shù)與長(zhǎng)細(xì)比之間的關(guān)系，有： 60,0.84270,0.789應(yīng)用直線內(nèi)插法，得到應(yīng)用直線內(nèi)插法，得到64.1時(shí)的折減系數(shù)時(shí)的折減系數(shù) 0.7890.8420.84264.1 600.8207060 321 8 1064.11.249 10 yzyliTSINGHUA UNIVERSITY應(yīng)用直線內(nèi)插法，得到應(yīng)用直線內(nèi)插法，得到64.1時(shí)的折減系數(shù)時(shí)的折減系數(shù) 0.7890.8420.84264.

15、1 600.8207060 于是，穩(wěn)定的許用應(yīng)力于是，穩(wěn)定的許用應(yīng)力 0.820 160131.2MPa st 據(jù)此得到組合柱的許可壓縮載荷據(jù)此得到組合柱的許可壓縮載荷 363P1131.22 4.87 101.278 10 N1.278 10 kNFAs t 363P1131.22 4.87 101.278 10 N1.278 10 kNFAs t以上計(jì)算，只考慮了穩(wěn)定問(wèn)題，沒(méi)有考慮鉚釘孔對(duì)槽鋼強(qiáng)度的影響。以上計(jì)算，只考慮了穩(wěn)定問(wèn)題，沒(méi)有考慮鉚釘孔對(duì)槽鋼強(qiáng)度的影響。 TSINGHUA UNIVERSITY3P11.278 10 kNF 以上計(jì)算，只考慮了穩(wěn)定問(wèn)題，沒(méi)有以上計(jì)算，只考慮了穩(wěn)定問(wèn)

16、題，沒(méi)有考慮鉚釘孔對(duì)槽鋼強(qiáng)度的影響?？紤]鉚釘孔對(duì)槽鋼強(qiáng)度的影響。 考慮到鉚釘孔對(duì)槽鋼強(qiáng)度的削弱，由考慮到鉚釘孔對(duì)槽鋼強(qiáng)度的削弱，由強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件 nFAP其中，其中，An為組合柱橫截面除去鉚釘孔的凈面積為組合柱橫截面除去鉚釘孔的凈面積 P23632224.87 102 17 91601.548 10 kN1.548 10 kNnFAAd 查型鋼表，查型鋼表，單根槽鋼單根槽鋼TSINGHUA UNIVERSITY3P11.278 10 kNF3P21.548 10 kNF 最后，組合柱的許可壓縮載荷為二者中的較小者，即最后，組合柱的許可壓縮載荷為二者中的較小者，即 3PP11.278 10 k

17、NFFTSINGHUA UNIVERSITY 連接板之間的那一段槽鋼，可以看成是兩端鉸支的壓桿，因此如果連接板連接板之間的那一段槽鋼，可以看成是兩端鉸支的壓桿，因此如果連接板之間的距離過(guò)大，則有可能在組合柱整體失穩(wěn)之前，兩相鄰連接板之間的單根之間的距離過(guò)大，則有可能在組合柱整體失穩(wěn)之前，兩相鄰連接板之間的單根槽鋼發(fā)生局部失穩(wěn)。槽鋼發(fā)生局部失穩(wěn)。 最優(yōu)的方案是，組合柱整體與局部具有相同的承受壓縮載荷的能力。這最優(yōu)的方案是，組合柱整體與局部具有相同的承受壓縮載荷的能力。這要求要求組合柱整體組合柱整體與與兩相鄰連接板之間的單根槽鋼兩相鄰連接板之間的單根槽鋼具有相同的長(zhǎng)細(xì)比：具有相同的長(zhǎng)細(xì)比：lTSI

18、NGHUA UNIVERSITY lllai64.11.064.125la由此解得相鄰連接板之間的距離由此解得相鄰連接板之間的距離 1603 mma 查型鋼表，查型鋼表，單根槽鋼單根槽鋼TSINGHUA UNIVERSITY返回返回返回總目錄返回總目錄TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 由于受壓桿的失穩(wěn)而使整個(gè)結(jié)構(gòu)發(fā)生坍塌，不僅會(huì)造由于受壓桿的失穩(wěn)而使整個(gè)結(jié)構(gòu)發(fā)生坍塌，不僅會(huì)造成物質(zhì)上的巨大損失，而且還危及人民的生命安全。在成物質(zhì)上的巨大損失，而且還危及人民的生命安全。在19世紀(jì)末，瑞士的一座鐵橋，當(dāng)一輛客車通過(guò)時(shí)，橋梁世紀(jì)末，瑞士的一座鐵橋，當(dāng)一輛客

19、車通過(guò)時(shí)，橋梁桁架桁架中的壓桿失穩(wěn)，致使橋梁發(fā)生災(zāi)難性坍塌，大約有中的壓桿失穩(wěn)，致使橋梁發(fā)生災(zāi)難性坍塌，大約有200人遇人遇難。加拿大和俄國(guó)的一些鐵路橋梁也曾經(jīng)由于壓桿失穩(wěn)而難。加拿大和俄國(guó)的一些鐵路橋梁也曾經(jīng)由于壓桿失穩(wěn)而造成災(zāi)難性事故。造成災(zāi)難性事故。 雖然科學(xué)家和工程師早就針對(duì)這類災(zāi)害進(jìn)行了大量的雖然科學(xué)家和工程師早就針對(duì)這類災(zāi)害進(jìn)行了大量的研究，采取了很多預(yù)防措施，但直到現(xiàn)在還不能完全制止研究，采取了很多預(yù)防措施，但直到現(xiàn)在還不能完全制止這種災(zāi)害的發(fā)生。這種災(zāi)害的發(fā)生。 TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYT

20、SINGHUA UNIVERSITY 兩端鉸支的壓桿，若兩端鉸支的壓桿，若在某一截面處開(kāi)一小孔，在某一截面處開(kāi)一小孔，對(duì)強(qiáng)度和穩(wěn)定性將會(huì)產(chǎn)生對(duì)強(qiáng)度和穩(wěn)定性將會(huì)產(chǎn)生什么影響？什么影響？ TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 分析：有幾種屈曲可能？每種情形下的歐拉分析：有幾種屈曲可能？每種情形下的歐拉臨界臨界應(yīng)力如何計(jì)算？應(yīng)力如何計(jì)算？TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSIT

21、YTSINGHUA UNIVERSITY 兩端球鉸約束的壓桿，橫截面有如下不同兩端球鉸約束的壓桿，橫截面有如下不同形式，請(qǐng)分析確定臨界應(yīng)力時(shí)，慣性矩形式，請(qǐng)分析確定臨界應(yīng)力時(shí)，慣性矩I I 應(yīng)該應(yīng)該怎樣確定？怎樣確定？TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿，其臨界載荷與桿長(zhǎng)平方成反比。因此，對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿，其臨界載荷與桿長(zhǎng)平方成反比。因此，減小壓桿長(zhǎng)度，可以顯著地提高壓桿的承載能力。在某些減小壓桿長(zhǎng)度，可以顯著地提高壓桿的承載能力。在某些情況下，通過(guò)改變結(jié)構(gòu)或增加支點(diǎn)可以達(dá)到情況下，通過(guò)改變結(jié)構(gòu)或增加支點(diǎn)可以達(dá)到減小壓桿長(zhǎng)度、減小壓桿長(zhǎng)度、提高壓桿承載能力的目的。提高壓桿承載能力的目的。 圖示的兩種桁架，其中的、桿均為壓桿，但是左圖示的兩種桁架，其中的、桿均為壓桿，但是左圖中、桿的長(zhǎng)度大于右圖中、桿的長(zhǎng)度。所以，圖中、桿的長(zhǎng)度大于右圖中、桿的長(zhǎng)度。所以，左圖中桁架的承載能力，要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于右圖中的桁架。左圖中桁架的承載能力，要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于右圖中的桁架。 TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA