定積分在高考中的常見題型

1、定積分在高考中的常見題型解法貴州省印江一中（ 555200） 王代鴻定積分作為導(dǎo)數(shù)的后續(xù)課程，與導(dǎo)數(shù)運算互為逆運算,也是微積分基本概念之一，同時為大學數(shù)學分析打下基礎(chǔ)。從高考題中來看，定積分是高考命題的一種新方向， 在高考復(fù)習中要求學生了解定積分的定義，幾何意義，掌握解決問題的方法。一、利用微積分基本定理求定積分1、微積分基本定理：一般地，如果f ( x) 是區(qū)間a, b上的連續(xù)函數(shù)，并且 F (x)f (x) ，那么bf ( X )dxF (a)F (b) .這個結(jié)論叫做微積分基本a定理（又叫牛頓 -萊布尼茲公式）。2、例題講義e12x)dx例 1、計算(x1解：因為（ ln xx2 )12

2、xx所以e12x)dx =（ ln xx2）|1e(ln e e2 ) (ln 1 12 )e2(x1【解題關(guān)鍵】：計算bf ( X )dx 的關(guān)鍵是找到滿足F ( x) f ( x) 的函數(shù)aF ( x) 。跟蹤訓練： 1 計算 02 (excos x)dx二、利用定積分的幾何意義求定積分。1、定積分的幾何意義 ：設(shè)函數(shù) y=f(x) 在 a, b 上 y=f(x) 非負、連續(xù)，由直線 x=a,x=b,精品文庫y=0 及曲線 y=f(x)所圍成的曲邊梯形面積bS= a f ( X )dx2、例題講義：例 2、求由曲線 y2x1 ，直線 yx2 及 y 軸所圍成的圖形的面積S等于 =_解： 聯(lián)

3、立方程組（如圖所示）yx1 解得 x4yx 1y3S =S AOBS曲邊梯形 OBCES曲邊梯形 BCD11 11）4）（=0x 1dx2x 1 (x 1)dx2331 x2= 1 （ 2 x 2x) |10 ( 2 x22 x) |142332= 83【解題關(guān)鍵】：將曲邊梯形進行分割成幾個容易求面積的圖形，再求面積和例 3、求42)2 dx 的值4 （- x0解：令 y4 (x 2)2 (y 0)則有 y24(x2)2(y0)及（ x2y2（4 y0）2）4（212右圖所以2)圓A01- xdxS2【解題關(guān)鍵】：將被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟悉的曲線方程，利用曲線圖形的特點求其定積分。歡迎下載2精品文庫

4、練習：由直線 x11，x=2，曲線 y2x及 x 軸所圍圖形的面積為 （）A.15B.17C.1D.2ln 2442ln 2三、利用變換被積函數(shù)求定積分1、從積分變量 x 分割的幾何圖形較多，不容易求其定積分時，就變換被積函數(shù)求其定積分。2、例題講義例 4、求拋物線 y2 2x 與 y x 4 直線所圍成的圖形的面積。解：方法 1 分割如右圖如圖所示 聯(lián)立方程組y22xyx4解得x 2 或 x 8 y 2 y 4SS曲邊梯形 OABS三角形 ABCS曲邊梯形 ODCS曲邊梯形 CDE22 x)dx12248(2xdx( 2x x 4)dx0204=18方法 2：由 y22x 得 xy2 ，2由 yx 4 得 xy44y2所以 S= -2( y42) dy18【解題關(guān)鍵】：改變被積函數(shù)求面積比分割求面積簡單四、定積分與幾何概型知識的交叉應(yīng)用例 5、如圖，四邊形 OACB是 AB=1,AD= 2 的歡迎下載3精品文庫矩形，陰影部分是由直線x=1 與拋物線 y22x 圍成的區(qū)域，在矩形ABCD內(nèi)（含邊界）任意取點，則這點取自陰影部分（含邊界）的概率是多少？解：如圖所示本題是古典概型S曲邊梯形 OBC212xdx02p12 23S矩形 ABCD【解題關(guān)鍵】：求曲邊梯形 OACBD 面積練習：設(shè)區(qū)區(qū)域 D( x, y) | 0x2, 1y3 ，在區(qū)域 D 內(nèi)任取一點