數(shù)學(xué)建模微分方程的應(yīng)用舉例

1、第八節(jié)數(shù)學(xué)建模一一微分方程的應(yīng)用舉例微分方程在物理學(xué)、力學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理科學(xué)等實(shí)際問題中具有廣泛的應(yīng)用，本節(jié)我 們將集中討論微分方程的實(shí)際應(yīng)用，尤其是微分方程經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 讀者可從中感受到應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的理論和方法解決實(shí)際問題的魅力內(nèi)容分布圖示衰變問題邏輯斯諦方程價(jià)格調(diào)整問題人才分配問題模型追跡問題返回內(nèi)容要點(diǎn)：一、衰變問題鐳、鈾等放射性元素因不斷放射出各種射線而逐漸減少其質(zhì)量，這種現(xiàn)象稱為放射性物dx用x表示該放射性物質(zhì)在時(shí)刻質(zhì)的衰變根據(jù)實(shí)驗(yàn)得知，衰變速度與現(xiàn)存物質(zhì)的質(zhì)量成正比 ，求放射性元素在時(shí)刻 t的質(zhì) 量.t的質(zhì)量，則 表示x在時(shí)刻t的衰變速度，于是 衰變dt速度與現(xiàn)存的質(zhì)量成正比”可

2、表示為(8.1)空一 kx.dt這是一個(gè)以x為未知函數(shù)的一階方程，它就是放射性元素 衰變的數(shù)學(xué)模型，其中k 0 是比例常數(shù)，稱為衰變常數(shù)，因元素的不同而異方程右端的負(fù)號(hào)表示當(dāng)時(shí)間 t增加時(shí)，質(zhì)量 x減少解方程（8.1）得通解x二Ce't.若已知當(dāng)t=t°時(shí)，x = x。，代入通解x二Ce»中可得C =xoe°to，則可得到方程（8.1）特解它反映了某種放射性元素衰變的規(guī)律.注：物理學(xué)中，我們稱放射性物質(zhì)從最初的質(zhì)量到衰變?yōu)樵撡|(zhì)量自身的一半所花費(fèi)的時(shí) 間為半衰期，不同物質(zhì)的半衰期差別極大如鈾的普通同位素（238U ）的半衰期約為50億年;通常的鐳（226 R

3、a）的半衰期是上述放射性物質(zhì)的特征，然而半衰期卻不依賴于該物質(zhì)的初始量，一克226 Ra衰變成半克所需要的時(shí)間與一噸226 Ra衰變成半噸所需要的時(shí)間同樣都是1600 年，正是這種事實(shí)才構(gòu)成了確定考古發(fā)現(xiàn)日期時(shí)使用的著名的碳-14測(cè)驗(yàn)的基礎(chǔ)二、邏輯斯諦方程：邏輯斯諦方程是一種在許多領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)模型，下面我們借助樹的增長(zhǎng)來建立該模型一棵小樹剛栽下去的時(shí)候長(zhǎng)得比較慢，漸漸地，小樹長(zhǎng)高了而且長(zhǎng)得越來越快，幾年不見，綠蔭底下已經(jīng)可乘涼了；但長(zhǎng)到某一高度后，它的生長(zhǎng)速度趨于穩(wěn)定，然后再慢慢降下來這一現(xiàn)象很具有普遍性現(xiàn)在我們來建立這種現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型如果假設(shè)樹的生長(zhǎng)速度與它目前的高度成正比，則顯然

4、不符合兩頭尤其是后期的生長(zhǎng)情形，因?yàn)闃洳豢赡茉介L(zhǎng)越快；但如果假設(shè)樹的生長(zhǎng)速度正比于最大高度與目前高度的差 則又明顯不符合中間一段的生長(zhǎng)過程折衷一下，我們假定它的生長(zhǎng)速度既與目前的高度又與最大高度與目前高度之差成正比設(shè)樹生長(zhǎng)的最大高度為H(m),在t(年)時(shí)的高度為h(t),則有dh(t)=kh(t)H -h(t)(8.2)dt其中k 0是比例常數(shù).這個(gè)方程為L(zhǎng)ogistic方程.它是可分離變量的一階常數(shù)微分方程下面來求解方程(8.2).分離變量得命Tkdt,兩邊積分dhh(H -h)二 kdt,1In h ln( H h) = kt C1, Hhk H tC1HeH -h= C2ekH,故所求

5、通解為C2HekHth(t1 C2ekHt1Ce°Ht '其中的C C-C1HC20是正常數(shù).函數(shù)h(t)的圖象稱為L(zhǎng)ogistic曲線.圖8-8-1所示的是一條典型的Logistic曲線，由于它的形狀，一般也稱為 S曲線.可以看到，它基本符合我們描述的樹的生長(zhǎng)情形.另外還可以算得叭 h(t) = H.這說明樹的生長(zhǎng)有一個(gè)限制，因此也稱為限制性增長(zhǎng)模式.注：Logistic的中文音譯名是“邏輯斯諦”.“邏輯”在字典中的解釋是“客觀事物發(fā)展 的規(guī)律性”，因此許多現(xiàn)象本質(zhì)上都符合這種S規(guī)律.除了生物種群的繁殖外，還有信息的傳播、新技術(shù)的推廣、傳染病的擴(kuò)散以及某些商品的銷售等.例如

6、流感的傳染、在任其自然發(fā)展(例如初期未引起人們注意)的階段，可以設(shè)想它的速度既正比于得病的人數(shù)又正比于未 傳染到的人數(shù).開始時(shí)患病的人不多因而傳染速度較慢；但隨著健康人與患者接觸，受傳染的人越來越多，傳染的速度也越來越快；最后，傳染速度自然而然地漸漸降低，因?yàn)橐呀?jīng)沒有多少人可被傳染了.下面舉兩個(gè)例子說明邏輯斯諦的應(yīng)用.人口阻滯增長(zhǎng)模型1837年，荷蘭生物學(xué)家 Verhulst提出一個(gè)人口模型= y(kby),y(to)=yo(8.3)dt其中k, b的稱為生命系數(shù).我們不詳細(xì)討論這個(gè)模型，只提應(yīng)用它預(yù)測(cè)世界人口數(shù)的兩個(gè)有趣的結(jié)果有生態(tài)學(xué)家估計(jì)k的自然值是0.029.利用本世紀(jì)60年代世界人口年

7、平均增長(zhǎng)率為2%以及1965年人口總數(shù)33.4億這兩個(gè)數(shù)據(jù)，計(jì)算得b=2,從而估計(jì)得：(1)世界人口總數(shù)將趨于極限107.6億.到2000年時(shí)世界人口總數(shù)為59.6億.后一個(gè)數(shù)字很接近 2000年時(shí)的實(shí)際人口數(shù)，世界人口在1999年剛進(jìn)入60億.新產(chǎn)品的推廣模型設(shè)有某種新產(chǎn)品要推向市場(chǎng)，t時(shí)刻的銷量為x(t),由于產(chǎn)品性能良dx好，每個(gè)產(chǎn)品都是一個(gè)宣傳品，因此，t時(shí)刻產(chǎn)品銷售的增長(zhǎng)率 竺，與x(t)成正比，同時(shí)，考 dt慮到產(chǎn)品銷售存在一定的市場(chǎng)容量dxN,統(tǒng)計(jì)表明與尚未購買該產(chǎn)品的潛在顧客的數(shù)量dtN -x(t)也成正比，于是有看x(N其中k為比例系數(shù).分離變量積分，x)(8.4)可以解得x

8、(t)=1 CeNt(8.5)dxdt。丘円色 Ck2N3eNt (CeNt _1)(1 CeNt)2罕0；當(dāng)dt2(1 Ce°Nt)2，dPdx時(shí)，則有 0,即銷量x(t)單調(diào)增加.當(dāng)x(tdt* N d x ,* Nx(t ) 時(shí)，20;當(dāng)x(t ) 時(shí)，即當(dāng)銷量達(dá)到最大需求量N的一半時(shí)，產(chǎn)品最為2 dt22暢銷，當(dāng)銷量不足N 半時(shí)，銷售速度不斷增大，當(dāng)銷量超過一半時(shí)，銷售速度逐漸減少.國(guó)內(nèi)外許多經(jīng)濟(jì)學(xué)家調(diào)查表明.許多產(chǎn)品的銷售曲線與公式(8.5)的曲線(邏輯斯諦曲線)十分接近.根據(jù)對(duì)曲線性狀的分析，許多分析家認(rèn)為，在新產(chǎn)品推出的初期，應(yīng)采用小批量 生產(chǎn)并加強(qiáng)廣告宣傳，而在產(chǎn)品用

9、戶達(dá)到 20%到80%期間，產(chǎn)品應(yīng)大批量生產(chǎn)；在產(chǎn)品用戶 超過80%時(shí)，應(yīng)適時(shí)轉(zhuǎn)產(chǎn)，可以達(dá)到最大的經(jīng)濟(jì)效益.三、價(jià)格調(diào)整模型在本章第一節(jié)例3已經(jīng)假設(shè)，某種商品的價(jià)格變化主要服從市場(chǎng)供求關(guān)系.一般情況下,商品供給量S是價(jià)格P的單調(diào)遞增函數(shù)，商品需求量Q是價(jià)格P的單調(diào)遞減函數(shù)，為簡(jiǎn)單起 見，分別設(shè)該商品的供給函數(shù)與需求函數(shù)分別為S(P)二a bP, Q(P)P(8.6)其中a,b,均為常數(shù)，且b . 0J . 0.當(dāng)供給量與需求量相等時(shí),由(8.6)可得供求平衡時(shí)的價(jià)格-a巳并稱為均衡價(jià)格.一般地說，當(dāng)某種商品供不應(yīng)求，即S ： Q時(shí)，該商品價(jià)格要漲，當(dāng)供大于求，即S Q時(shí)，該商品價(jià)格要落.因此，

10、假設(shè)t時(shí)刻的價(jià)格P(t)的變化率與超額需求量 Q-S成正比，于是有方程dPkQ(P)-S(P)dt其中k .0,用來反映價(jià)格的調(diào)整速度.將(8.6)代入方程，可得dP “ f(Pe-P)(8.7)dt其中常數(shù)，=(b Jk0,方程(8.7)的通解為P(t)二 Fe Ce假設(shè)初始價(jià)格P(0) = Po，代入上式，得C二Po - Pe，于是上述價(jià)格調(diào)整模型的解為P(t)=Pe(Po-PDe由于 o知，t； 工:時(shí)，P(t) > Pe.說明隨著時(shí)間不斷推延，實(shí)際價(jià)格P(t)將逐漸趨近均衡價(jià)格.四、人才分配問題模型每年大學(xué)畢業(yè)生中都要有一定比例的人員留在學(xué)校充實(shí)教師隊(duì)伍，其余人員將分配到國(guó)民經(jīng)濟(jì)

11、其他部門從事經(jīng)濟(jì)和管理工作.設(shè)t年教師人數(shù)為x1 (t)，科學(xué)技術(shù)和管理人員數(shù)目為X2(t)，又設(shè)1外教員每年平均培養(yǎng)個(gè)畢業(yè)生，每年人教育、科技和經(jīng)濟(jì)管理崗位退休、死亡或調(diào)出人員的比率為 -(0 ： 1)表示每年大學(xué)生畢業(yè)生中從事教師職業(yè)所占比率(0 :： 一：1),于是有方程dX1 =：禺 _ X1(8.8)dt筠=：(1 一 : )x1 - x2(8.9)dt方程(8.8)有通解(8.10) 1 1右設(shè)xi (0)=冷，則G =,于是得特解Xiix°e(：)(8.11)將(8.11)代入(8.9)方程變?yōu)樾┵锛鏧2 = ： (1 _ - )x1)e dt求解方程(8.12)得通解

12、(8.12)X2=C2e_、t.(1 - -)x0e(；Jt(8.13)A _ R若設(shè)x2 (0) = x,則C2 = x： -x1,于是得特解X2x1x1e"(8.14)(8.11)式和(8.14)式分別表示在初始人數(shù)分別為X1(0),X2(0)情況，對(duì)應(yīng)于的取值，在t年教師隊(duì)伍的人數(shù)和科技經(jīng)濟(jì)管理人員人數(shù).從結(jié)果看出，如果取一：=1,即畢業(yè)生全部留在教育界，則當(dāng)tr 時(shí)，由于：；八必有Xt)而X2(t) 0,說明教師隊(duì)伍將迅速增加而科技和經(jīng)濟(jì)管理隊(duì)伍不斷萎縮，勢(shì)必要影響經(jīng)濟(jì)發(fā)展，反過來也會(huì)影響教育的發(fā)展.如果 將接近于零.則(t) > 0,同時(shí)也導(dǎo)致x2(t) > 0

13、,說明如果不保證適當(dāng)比例的畢業(yè)生充實(shí) 教師選擇好比率，將關(guān)系到兩支隊(duì)伍的建設(shè)，以及整個(gè)國(guó)民經(jīng)濟(jì)建設(shè)的大局 .五、追跡問題設(shè)開始時(shí)甲、乙水平距離為1單位，乙從A點(diǎn)沿垂直于OA的直線以等速向正北行走；甲 從乙的左側(cè)O點(diǎn)出發(fā)，始終對(duì)準(zhǔn)乙以 mv0(n 1)的速度追趕.求追跡曲線方程，并問乙行多 遠(yuǎn)時(shí)，被甲追到.建立如圖8-8-2所示的坐標(biāo)系，設(shè)所求追跡曲線方程為y二y(x).經(jīng)過時(shí)刻t,甲在追跡曲線上的點(diǎn)為P(x, y),乙在點(diǎn)B(1,v0t).于是有丄 a , v°t 一 ytan = y -,(8.15)1 -x由題設(shè)，曲線的弧長(zhǎng)OP為I 11 y 2 dx 二 nv0t,解出代入(8.15),得ndi+y%x.兩邊對(duì)x求導(dǎo)，整理得(1+ y*2.n這就是追跡問題的數(shù)學(xué)模型這是一個(gè)不顯含y的可降階的方程,設(shè)y = p(x), y ”二p ”，代入方程得(1 _X)pF= j1 + p2ndpdx1 p2 " n(1 x)兩邊積分，得ln( p . j p2)一丄 In |1 -x| ln |C1 |， np 、_1 p2Ci將初始條件y |x