經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)2 復(fù)習(xí)題

1、2021/6/161._)(2)()() 1 (的一般表達(dá)式為則：的原函數(shù)，是函數(shù)若函數(shù)xFxxfxF由原函數(shù)的定義有：解：,2)(2xxCxCxxF22,)(正確的答案為：填空題不定積分的計(jì)算. 3dxxabx22)2(求不定積分Cxabdxxaxabdxxabx)ln(2)(222222222解：2021/6/162dxxab22)3(求不定積分Caxabaxdaxabdxxabarctan)()(11222解：dxx44sin11) 1 (計(jì)算定積分：40)sin(11sin11dxxx解：原式40sin11sin11dxxx402sin12dxx2021/6/16340402tan2s

2、ec2xxdx2)0(1)2(2101adxxxxaa計(jì)算定積分：adxxxxxxx021012101)(1)(1解：原式aadxxxdxxx02021212adxxx0221)1 ()1ln()1ln(202axa為自然數(shù)）計(jì)算定積分：nadxxxxxaan,0(1sin22)3(222anndxxxxxxxxx0222222)(1)sin()()(221sin22解：原式2021/6/164不定積分的應(yīng)用. 4, 0)0(),()(R) 1 (Rkgbxax且元單位：函數(shù)是已知某產(chǎn)品的邊際收益._)(xR則：),()()()2(為常數(shù)時(shí)刻的變化率為在已知某產(chǎn)品產(chǎn)量函數(shù)babattQttQ.

3、_)(, 0)0(tQQ則：且CxbaxdxbxadxxRxR22)()()(解：00)0(CR由：22)(xbaxxRCbttadtbatdttQtQ22)()()(解：00)0(CQ由：bttatQ22)(2021/6/165),0, 0()()3(為常數(shù)時(shí)的邊際成本為已知某產(chǎn)品在產(chǎn)量為baxbaxCx._)(,)0(0 xLLL則：且),0, 0()()4(為常數(shù)時(shí)的邊際利潤為已知某產(chǎn)品在產(chǎn)量為babxaxLx._)(,)0(0 xCCC則：且CxbaxdxxbadxxCxC2)()()(解：00)0(CCCC由：02)(CxbaxxCCxbaxdxbxadxxLxL22)()()(解：

4、00)0(LCLL由：022)(LxbaxxL2021/6/166)0()1(adxeax計(jì)算廣義定積分：abbbaxbbaxbeeedxelim)(limlim解：原式ae)0()2(adxeax計(jì)算廣義定積分：ddaadxdadxdeeedxelim)(limlim解：原式ae)0(11)3(2adxxa計(jì)算廣義定積分：daxdxxdaddaddarctanlimarctan)(arctanlim11lim2解：原式aarctan27、廣義定積分的計(jì)算、廣義定積分的計(jì)算2021/6/167)0(11)4(2adxxa計(jì)算廣義定積分：)0(11)5(2adxx計(jì)算廣義定積分：)arctan(

5、arctanlim)(arctanlim11lim2abxdxxbbabbab解：原式aabbarctan2arctanarctanlimbbaadxxdxxdxxdxx0202002211lim11lim1111解：原式)(arctanlim)(arctanlim00bbaaxxbabaarctanlimarctanlim2021/6/168不定積分的性質(zhì)：. 2哪些不一定成立？定成立？，下列等式中，哪些一對任意常數(shù)kdxxfkdxxkf)()() 1 ( 若時(shí)，成立。時(shí)，不成立；解：不一定成立，當(dāng)00kk選擇題CxFdxxxf)(sin)(sincos)15()(sincos)(sin(s

6、in)(sin(xxfxxFCxF解：成立)成立由定積分的定義知等式2021/6/169CxFdxxxf)(cos)(cossin)16()(cossin)(cos(cos)(cos(xxfxxFCxF解：不成立)不成立由定積分的定義知等式CxFdxxxf)1 ()1 (2)17(22.解：成立2、定積分的性質(zhì)、定積分的性質(zhì)一定成立？哪些一定成立？哪些不中，為任意常數(shù)，下列等式連續(xù)，設(shè)kxFxgxf)(),(),(bababadxxgdxxfdxxgxf)(2)()(2)() 1 (2021/6/1610).(定積分的性質(zhì)解：一定成立bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()()2

7、().22,(10210102101010dxxdxdxxxdxxdxxdxx但例如：解：不一定成立)0)()()()()()3(babababadxxgdxxgdxxfdxxgxf).,(212121202020 xdxxdxdxxxxdxxdxdxxx但例如：解：不一定成立2021/6/1611xdttft02_)()(1 (xadttf_)()(2(2_)()(3(xadttfbxdttf_)()(4(badttf_)()(5(.()(, 0), 0)()6(）的原函數(shù)的是不是下列函數(shù)中，上連續(xù)，對在設(shè)xfxxfxadttfA)()(bxdttfB)()(2)(21)(xadttftCb

8、adttfD)()().(2xfx答案：).(xf答案：).(22xxf答案：).(xf答案：. 0答案：2021/6/1612)()7(是下列結(jié)論中，不正確的的一個(gè)原函數(shù)是xtdtAxacoscos)(的一個(gè)原函數(shù)是xtdtBxacoscos)(的一個(gè)原函數(shù)是xtdtCaxcoscos)(的一個(gè)原函數(shù)是xtdtDaxcoscos)().(, 0)(Ddttfba正確的選擇為故解：因?yàn)椋?.(,coscosBxtdtxa正確的選擇為故解：因?yàn)椋?021/6/1613)()8( 下列結(jié)論中，正確的是的所有原函數(shù)是xtdtAxasinsin)(的一個(gè)原函數(shù)是xtdtBxasinsin)(的一個(gè)原函

9、數(shù)是xtdtCxasinsin)(的一個(gè)原函數(shù)是xtdtDaxsinsin)(不選；故的一個(gè)原函數(shù)只是解：因?yàn)椋?(,sinsinAxtdtxa等價(jià)，故都不選；故而)(),(,sinsinDBtdttdtaxxa)sin()(sin)(inxsxxtdtCxa實(shí)際上，下所以，正確的選擇只剩2021/6/1614200lim)9(xxdtextx求極限)(lim200 xxdtextx解：原式)00(21lim0 xexx)2() 1(lim0 xexx212lim0 xxe200) 1(coslim)10(xdttxx求極限)() 1(coslim200 xdttxx解：原式)00(21cos

10、lim0 xxx2021/6/1615200sinlim)11(xtdtxx求極限4020sinlim)12(xtdttxx求極限)2() 1(coslim0 xxx02sinlim0 xx)(sinlim200 xtdtxx解：原式xxx2sinlim021sinlim210 xxx)(sinlim4020 xtdttxx解：原式3204sinlimxxxx41sinlim410 xxx2021/6/16164、Newton-Leibnitz公式公式些成立？哪些不成立？連續(xù)，下列等式中，哪設(shè))(xF)()()() 1 (aFbFdxxFba.答案：成立)()()()2(aFbFxdFba.答

11、案：成立)()()()3(aFbFdxxFba.答案：不成立公式計(jì)算定積分利用LeibnitzNewton2021/6/1617公式，哪些不能用？下列積分中，哪些能用LeibnitzNewton2011)10(dxx2011)11(dxx20) 1)(1(1)12(dxxx).2 , 011(上連續(xù)在答案：能用x).2 , 011(上無界在答案：不能用x).2 , 0) 1)(1(1(上無界在答案：不能用xx2021/6/161842) 1)(1(1)13(dxxx).4 , 2) 1)(1(1(上連續(xù)在答案：能用xx0211)14(dxx).0 , 211(上無界在答案：不能用x0211)1

12、5(dxx).0 , 211(上連續(xù)在答案：能用x02) 1)(1(1)16(dxxx2021/6/1619).0 , 2) 1)(1(1(上無界在答案：不能用xx22) 1)(1(1)17(dxxx).2 , 2) 1)(1(1(上無界在答案：不能用xx2021/6/1620計(jì)算題)0,(1)5(22abadxxbxa求不定積分dxxbabdxxbaxbdxxbxa11)1 (122222解：Cxbabxarctan)(dxxxxsincos1cos2)6(2求不定積分Cxxdxxxdxxxxxcossin)sin(cossincossincos22解：原式2021/6/1621dxxxxs

13、incos1cos2)7(2求不定積分Cxxdxxxdxxxxxcossin)sin(cossincossincos22解：原式dxxxxsincossin21)8(2求不定積分Cxxdxxxdxxxxxcossin)sin(cossincossincos22解：原式dxxxxsincossin21)9(2求不定積分Cxxdxxxdxxxxxcossin)sin(cossincossincos22解：原式2021/6/1622)0(21)12(22BCdxCBxx求不定積分)()(111)(1222222BCBxdBCBxBCdxBCBx解：原式CBCBxBC22arctan1)0, 0()1

14、7(1nadxexbaxnn求不定積分Ceandueanduaneuuubaxun11)1(解：原式Ceanbaxn12021/6/1623)0, 0()sin()13(1nadxbaxxnn求不定積分)0, 0()cos()14(1nadxbaxxnn求不定積分Cuanuduanduanubaxuncos1sin1)1(sin解：原式Cbaxann)cos(1Cuanuduanduanubaxunsin1cos1)1(cos解：原式Cbaxann)sin(12021/6/1624), 0()()18(2為常數(shù)求不定積分adxbaxx1) 1(211ln2121)21(12CuaCuaduua

15、duaubaxu解：原式1)() 1(211ln21122CbaxaCbaxadxex222)10(計(jì)算定積分：2020222) 2(duueudeuuxu解：原式20)(2dueuu2021/6/16252020)()(2dueuueuu)(2 22 2202202uueeduee) 1( 22edxxx10arctan)11(計(jì)算定積分：102arctan)21(xdxx解：原式102102)(arctan21arctan21dxxxxx21421410dx)0()1ln(2)12(0adxxxa計(jì)算定積分：adxxx02)1ln() 1(解：原式aadxxxxx0202 )1)ln(1(

16、)1ln() 1(2021/6/1626)0()1ln(2)13(20adxxxa計(jì)算定積分：adxxaa02) 1()1ln() 1()2()1ln() 1(022axxaaaaaa2)1ln() 1(22adxxx022)1ln() 1(解：原式aadxxxxx022022 )1)ln(1()1ln() 1(axdxaa0222)1ln() 1()()1ln() 1(0222axaa222)1ln() 1(aaa2021/6/16275、定積分的有用公式證明、定積分的有用公式證明00)()(,)(,0)1(aadxxfdxxfaaxfa上連續(xù)，證明：在區(qū)間設(shè)00)()()(aauxuduf

17、dxxf證明：00)()(aaduufduufadxxf0)(aaadxxfxfdxxfaaxfa0)()()(,)(,0)2(上連續(xù)，證明：在區(qū)間設(shè)證明題2021/6/1628）（證明：1)()()(00aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(aauxudufdxxf而：00)()(aaduufduuf）（2)(0adxxf00)()()() 1 ()2(aaaadxxfdxxfdxxf有：代入將aaadxxfxfdxxfdxxf000)()()()(2021/6/1629babadxxbafdxxfbaxfba)()(,)(,)3(上連續(xù)，證明：在區(qū)間為常數(shù)設(shè)abbaxbauuba

18、dufdxxbaf)()()(證明：右邊abduuf)(babadxxfduuf左邊)()(babadxxbafxfdxxfbaxfba)()(21)(,)(,)4(上連續(xù)，證明：在區(qū)間為常數(shù)設(shè)bababadxxfdxxfdxxf)()(21)(證明：2021/6/1630babadxxbafdxxf)()()3( 的結(jié)論利用bababadxxfdxxfdxxf)()(21)(有：babadxxbafdxxf)()(21badxxbafxf)()(2100)(sin2)(sin1 , 1)()5(dxxfdxxxfxf上連續(xù)，證明：在區(qū)間設(shè)2021/6/163111tantan0)6(4024

19、0nxdxxdxnnn，證明：對任意自然數(shù)0)(sin)4(dxxxf有：證明：利用結(jié)論dxxfxxxf)(sin()()(sin210dxxf0)(sin2402tantandxxxnn證明：左邊2021/6/1632402)tan1 (tandxxxn402sectanxdxxn)(tantan40 xxdn111tan401nnxn2021/6/16332021/6/1634),0, 0, 0)()(R) 1 (xbakgbxax元單位：函數(shù)是已知某產(chǎn)品的邊際收益產(chǎn)量所增加的收益。的基礎(chǔ)上增加求在產(chǎn)量kgkg100100萊布尼茲公式有：由牛頓解：問題等價(jià)于求),100()200(RR20

20、0100200100)()()100()200(dxbxadxxRRR元）(15000100)2(2001002baxbax)(15000100100100元為產(chǎn)量所增加的收益的基礎(chǔ)上增加答：在產(chǎn)量bakgkg),0, 0()()()2(babattQttQ時(shí)刻的變化率為在已知某產(chǎn)品產(chǎn)量函數(shù)點(diǎn)的總產(chǎn)量。點(diǎn)到求從168應(yīng)用題2021/6/1635萊布尼茲公式有：由牛頓解：問題等價(jià)于求),8 ()16(RQ168168)()() 8 ()16(dtbatdttQRQbabtta896)2(1682ba896168點(diǎn)的總產(chǎn)量為點(diǎn)到答：從),0, 0()()3(為常數(shù)時(shí)的邊際成本為已知某產(chǎn)品在產(chǎn)量為baxbaxCx所增加的成本。的基礎(chǔ)上增加求在產(chǎn)量300100萊布尼茲公式有：由牛頓解：問題等價(jià)于求),100()400(CC400100400100)()()100()400(dxxbadxxCRC2021/6/1636),0, 0()()4(為常數(shù)時(shí)的邊際利潤為已知某產(chǎn)品在產(chǎn)量為babxaxLx所增加的利潤。增加到求產(chǎn)量從dcbaxbax20300)2(400100萊布尼茲公式有：由牛頓解：問題等價(jià)于求),()(cLdLdcdcdxbxadxxLcLdL)()()()(bcdacdxbaxdc)(21)()2(222)(略