11-1反常積分概念

1、數(shù)學(xué)分析電子教案數(shù)學(xué)分析電子教案熱烈歡迎各位朋友使用該課件！廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)分析電子教案數(shù)學(xué)分析電子教案數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 廣州大學(xué)袁文俊、尚亞東廣州大學(xué)袁文俊、尚亞東數(shù)學(xué)分析電子教案數(shù)學(xué)分析電子教案第十一章反常積分11.3 瑕積分的性質(zhì)與收斂判別數(shù)學(xué)分析電子教案數(shù)學(xué)分析電子教案一一、 引例引例二、無窮限的廣義積分二、無窮限的廣義積分三、無界函數(shù)的廣義積分三、無界函數(shù)的廣義積分 數(shù)學(xué)分析電子教案數(shù)學(xué)分析電子教案一一. 引入引入例：曲邊梯形”的面積。，右邊所圍成的“開口軸及直線求曲線1,12xxxy0 xy1b2x1y 解解：由于這個(gè)圖形不是封閉的 曲邊梯形,而在x軸的正方 向是開口

2、的，即這是的積 分區(qū)間為1，），bxdxxAbbb1111, 1121的面積為則故顯然當(dāng)b改變時(shí)，曲邊梯形的面積也隨之改變，1)11 (lim1lim21bdxxbbbb時(shí)，即故則所求曲邊梯形的面積為1數(shù)學(xué)分析電子教案數(shù)學(xué)分析電子教案二、無窮限的廣義積分二、無窮限的廣義積分.定義定義1:設(shè)函數(shù) f (x)在區(qū)間a, +)上連續(xù), 取b a,如果極限babdxxf)(lim存在,則稱此極限為函數(shù) f (x)在無窮區(qū)間a, +)上的廣義積分, 記作 即 ,)(adxxfbabadxxfdxxf)(lim)(1)數(shù)學(xué)分析電子教案數(shù)學(xué)分析電子教案這時(shí)也稱廣義積分 收斂; 若上述極限不存在, 就稱廣義積

3、分 發(fā)散, 這時(shí)記號(hào) 不再表示數(shù)值了。adxxf)(adxxf)(adxxf)(例如：bbdxxdxx020211lim11bbx0arctanlimbbarctanlim2oyxb211xy1數(shù)學(xué)分析電子教案數(shù)學(xué)分析電子教案類似地, 設(shè)函數(shù) f (x)在區(qū)間(, b上連續(xù), 取a 0.如果極限 badxxf)(lim0存在,則稱此極限為函數(shù) f (x)在(a, b上的廣義積分. 即仍然記作,)(badxxfbabadxxfdxxf)(lim)(0(4)這時(shí)也稱廣義積分 收斂. 如果上述極限不存在, 就稱廣義積分 發(fā)散.badxxf)(badxxf)(數(shù)學(xué)分析電子教案數(shù)學(xué)分析電子教案類似地,

4、設(shè)函數(shù) f (x)在區(qū)間a, b)上連續(xù), 而在點(diǎn) b 的左鄰域內(nèi)無界, 取 0. badxxf)(lim0存在,則定義如果極限 babadxxfdxxf)(lim)(0(5)否則, 就稱廣義積分 發(fā)散.badxxf)(數(shù)學(xué)分析電子教案數(shù)學(xué)分析電子教案設(shè)函數(shù) f (x)在區(qū)間a, b上除點(diǎn)c (a c b)外連續(xù), 而在點(diǎn) c 的鄰域內(nèi)無界, 如果兩個(gè)廣義積分 bccadxxfdxxf)()(與都收斂, 則定義bccabadxxfdxxfdxxf)()()(bccadxxfdxxf)(lim)(lim00(6)否則, 就稱廣義積分 發(fā)散.badxxf)(數(shù)學(xué)分析電子教案數(shù)學(xué)分析電子教案)0(

5、:4022axadxa計(jì)算廣義積分例2201lim:xaax因?yàn)榻馑? x=a為被積函數(shù)的無窮間斷點(diǎn). 于是:aaxadxxadx0220022lim acaxarcsinlim0acaa0arcsinlim021arcsinoyxaa a1221xay圖5-7-1數(shù)學(xué)分析電子教案數(shù)學(xué)分析電子教案 . :5112的收斂性討論廣義積分例xdx,0 1 , 11)(:2外連續(xù)上除在積分區(qū)間被積函數(shù)解xxxf且201limxx由于01200121lim 1dxxdxx101limx) 11(lim0112012. , 發(fā)散所以廣義積分發(fā)散即廣義積分xdxxdx數(shù)學(xué)分析電子教案數(shù)學(xué)分析電子教案 )(

6、 :6baqaxdx證明廣義積分例當(dāng)q 1時(shí), 收斂; 當(dāng)q 1時(shí), 發(fā)散. 證: 當(dāng)q = 1時(shí) babaqaxdxaxdx )(baaxdx0limbaax)ln(lim0ln)ln(lim0ab數(shù)學(xué)分析電子教案數(shù)學(xué)分析電子教案當(dāng)q 1時(shí), baqaxdx)(baqaxdx)(lim0baqqax1)(lim10qqabq110)(11lim1 , 1 ,1)(1qqqabq因此, 當(dāng)q 1時(shí),廣義積分 收斂, qabq1)(1其值為 當(dāng)q 1時(shí), 廣義積分 發(fā)散. baqaxdx)(baqaxdx)(數(shù)學(xué)分析電子教案數(shù)學(xué)分析電子教案例例7 7 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分.ln21 xxdx

7、解解 21ln xxdx 210lnlim xxdx 210ln)(lnlim xxd 210)ln(lnlim x )1ln(ln()2ln(lnlim0 . 故原廣義積分發(fā)散故原廣義積分發(fā)散.數(shù)學(xué)分析電子教案數(shù)學(xué)分析電子教案.)0(110的收斂性討論瑕積分pdxxp例8.解解: ),10(1,ln, 1),1 (111110upupupdxxpp被積函數(shù) f在(0,1 上連續(xù),x = 0 是瑕點(diǎn).由于.且瑕積分收斂時(shí)故當(dāng)，p10;111lim11010upuppdxxdxx.1瑕積分發(fā)散于時(shí)當(dāng)，P數(shù)學(xué)分析電子教案數(shù)學(xué)分析電子教案.)1(3032 xdx1 x瑕點(diǎn)瑕點(diǎn)解解 3032)1( x

8、dx 103132)1()(xdx 1032)1( xdx 10032)1(limxdx3 3132)1( xdx 31032)1(lim xdx,233 3032)1( xdx).21(33 例例9 9 計(jì)算廣義積計(jì)算廣義積分分?jǐn)?shù)學(xué)分析電子教案數(shù)學(xué)分析電子教案注意注意 廣義積分與定積分不同，尤其是瑕積分，它與定廣義積分與定積分不同，尤其是瑕積分，它與定積分采用同一種表達(dá)方式，但其含義卻不同，遇到有積分采用同一種表達(dá)方式，但其含義卻不同，遇到有限區(qū)間上的積分時(shí)，要仔細(xì)檢查是否有瑕點(diǎn)。限區(qū)間上的積分時(shí)，要仔細(xì)檢查是否有瑕點(diǎn)。 廣義積分中，廣義積分中，N-L公式，換元積分公式、分部積公式，換元積分

9、公式、分部積分公式仍然成立，不過代入上、下限時(shí)代入的是極分公式仍然成立，不過代入上、下限時(shí)代入的是極限值。限值。數(shù)學(xué)分析電子教案數(shù)學(xué)分析電子教案如如 無窮限積分無窮限積分 aaFFdxxf)()()( bFbFdxxf)()()( aavduauvudv)(再如再如 瑕積分瑕積分)0()()( aFbFdxxfba)()0()(aFbFdxxfba bacabcdxxfdxxfdxxf)()()()() 0() 0()(aFcFcFbF babavduabuvudv0)(數(shù)學(xué)分析電子教案數(shù)學(xué)分析電子教案 02)1)(1(1無無關(guān)關(guān)并并求求其其值值與與 dxxxI 例例10 證明證明證證dxxxI 02)1)(1(1 dxxx 1012)1)(1(1 21II dxxxI 1021)1)(1(1 )1(tx 令數(shù)學(xué)分析電子教案數(shù)學(xué)分析電子教案dtttt 12)1)(1( 21III dxxxdxxxx 1212)1)(1(1)1)(1( 41112 dxx數(shù)學(xué)分析電子教案數(shù)學(xué)分析電子教案四四. 小結(jié)小結(jié)(1) 無窮積分和瑕積分的定義;(2) 無窮積分和瑕積分收斂與發(fā)散的定義;(3) 無窮積分的計(jì)算：(i).求出函數(shù)f(x)的原函數(shù)F(x)