三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納與題型總結(jié)

1、三角函數(shù)1、角的概念的推廣：平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所的圖形。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫 正角，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角，一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，稱它形成一個(gè)零角。射線的起始位置稱為 始邊，終止位置稱為 終邊。2、象限角的概念：在直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與 X軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限的角。如果角的終邊在 坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限，稱作 軸線角。3、終邊相同的角的表示：(1) 終邊與 終邊相同(的終邊在 終邊所在射線上)2k (k Z),注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等【例1

2、】與角1825的終邊相同，且絕對(duì)值最小的角的度數(shù)是(2) 終邊與終邊共線(的終邊在終邊所在直線上)k (k Z).(3) 終邊與 終邊關(guān)于x軸對(duì)稱2k (k Z).(4) 終邊與 終邊關(guān)于y軸對(duì)稱2k (k Z).(5) 終邊與 終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱2k (k Z).(6) 終邊在x軸上的角可表示為：k ,k Z;終邊在y軸上的角可表示為：k ,k Z；2k終邊在坐標(biāo)軸上的角可表不為：,k Z.2【例2】的終邊與至的終邊關(guān)于直線 yx對(duì)稱，則=4 、與2的終邊關(guān)系：由 兩等分各象限、一二三四 ”確定.【例3】若 是第二象限角，則 一是第 象限角。25 .弧長公式：l | |R,扇形面積公式：S 2

3、-lR 2 | | R2, 1弧度(1rad) 57.3：.【例4】已知扇形AOB的周長是6cm,該扇形的中心角是 1弧度，求該扇形的面積。6、任意角的三角函數(shù)的定義設(shè)是任意一個(gè)角,P(x,y)是的終邊上的任意一點(diǎn)（異于原點(diǎn)）它與原點(diǎn)的距離是r那么siny,cos ry八x,-,x0, cot-(y0),xy【例5】（1）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(5, 12),則 sin cos 的值為(2)設(shè)是第三、四像限角，sin2m 34 m則m的取值范圍是(3)若回n_|cos 0，試判斷 cot(sinsin| cos |tan(cos )的符號(hào):正弦線MP“站在X軸上（起點(diǎn)在X軸上）余弦線OM“躺在X

4、軸上（起點(diǎn)是原點(diǎn)）”；7.三角函數(shù)線的特征是:正切線AT'站在點(diǎn)A（1,0）處（起點(diǎn)是A）” .三角函數(shù)線的重要應(yīng)用是比較三角函數(shù)值的大小和解三角不等式【例6】（1）若一80 ,則sin ,cos ,tan 的大小關(guān)系為 （2）若為銳角，則 ,sin ,tan 的大小關(guān)系為 (3)函數(shù)y <12cosx lg(2sinxd3)的定義域是 8.特殊角的三角函數(shù)值30°45°60°0°90°180°270°15°75°sin1V2y；32010-1娓V266衣2244cos氏V211010V66

5、6V222244tan.31<30/0r2-石2+v；3(1)平方關(guān)系：sin2cos21,1 tan2sec ,1 cot2csc2(2) 倒數(shù)關(guān)系： sin csc =1,cos sec =1,tan cot =1,/c、聲夾小乎方,sin . cos(3)商數(shù)關(guān)系：tan,cot cossin同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的主要應(yīng)用是，已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，求此角的其它三角函數(shù)值。在運(yùn)用平方關(guān)系解題時(shí)，要根據(jù)Hf口魚典建周邳二地I數(shù)網(wǎng)桌里,盡叫暇也生繾魚幽也圍，以便進(jìn)行定號(hào)；r I， - 4- - 在具體求三角函數(shù)值時(shí)，一般不需用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，而是先根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)

6、值的符號(hào)，再利用解直角三角形求出此三角函數(shù)值的絕對(duì)值?！纠?】(1)函數(shù)y sntaL 的值的符號(hào)為 cos cot(2)若 0 2x2 ,則使V1 sin2 2x cos2x成立的x的取值范圍是(3)已知sincos4 2m(一m 5 2(4)已知tantan 1則sn sin3cossin2sin cos 2 =(5)已知sin 200a ,則 tan160A、B、a1 a2cosC、1 a2D、1 a2(6)已知 f(cosx) cos3x ,貝U f (sin 30 )的值為k10.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式（一2）的本質(zhì)是:奇變偶不變（對(duì)k而言，指k取奇數(shù)或偶數(shù)），符號(hào)看像限（看原函數(shù)，同時(shí)可

7、把成是銳角）.誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值,其一般步驟：（1）負(fù)角變正角，再寫成2k+ ,02 ; （2）轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)。9【例8】(1) costan( 4(2)已知 sin(540)sin2164,貝U cos(5的值為270 )若為第二像限角，則sin(180)cos( 360 )211、兩角和與差的正弦、余弦、sincostantan 2【例9】（1）tan(180sincoscossin令sin 22sincoscos -sinsin令cos2cos正切公式及倍角公式cos2. 2sinc2/ / c . 22cos1 1 2sintan tan1 -Ltan tan2

8、tan1 tan2卜列各式中，值為1 ,-的是22 cos. 2 sin1+cos22_ 1 cos22A、sin15* cos15”B、22cos sin C、1212tan 2252hD、1 tan 22.5'1 cos3O(2)命題 P： tan( AB)0 ,命題 Q ： tan AtanB 0,則P是Q的（A、充要條件B、充分不必要條件C、必要不充分條件D、既不充分也不必要條件(3)已知 sin()coscos()sin 3 ,那么cos 2 的值為 5(4)sin10；r的值是sin80-nn a .3 一一(5)已知tan1100 a ,求tan500的值(用a表示)甲求

9、得的結(jié)果是 一二，乙求得1 ,3a的結(jié)果是L_a_，對(duì)甲、乙求得的結(jié)果的正確性你的判斷是2a12.三角函數(shù)的化簡、計(jì)算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu)。即首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心！第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通常 切化弦”；第三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)?；镜募记捎校?1)1角的拆與并 一變角技巧】巧變角(已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.例如： ()2()(),2 萬 萬【例10(1)已知tan(),2()(),等)，、2,、 1,、)-,tan( -)-,那么 tan( -)的值是(

10、2)已知02,且 cos( 一)1. ,、 2一 ,sin(一 ) 一923求 cos( )的值為(3)已知， 為銳角，sin x,cos y, cos( )則y與x的函數(shù)關(guān)系為 (2)三角函數(shù)名互化(切割化弦)，【例 11(1)求值 sin50：(1 J3tan10b=(2)已知 sin 8s1,tan( )2,求 tan( 2 )的值?1 cos23(3)(3)公式變形使用(tan tantan11 tan tan ?！纠?2(1)已知A、B為銳角,且滿足 tanAtanB tan A tan B 1 ,則 cos(A B)(2)設(shè) ABC 中，tan A tan BV3 /3tan At

11、an B , sin Acos A則此三角形是三角形。(4)三角函數(shù)次數(shù)的降升一一 .2(降帚公式：cos1 cos22 sin1 cos22；升哥公式：1 cos2【例13】(1)若 (),化簡2cos2(2)函數(shù) f(x) 5sin xcosx 5>/3cos2 x -5/3( x R)的單調(diào)遞增區(qū)間為(5)式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化(對(duì)角、函數(shù)名、式子結(jié)構(gòu)化同【例 14(1) tan (cossin )tancot csc1 tan 2 .1 tan I”等),1 sin(2)求證：1 2sin2 22cos4 x 2cos2 x(3)化簡：2 ,、2tan( x)sin ( x)(6)常值變

12、換主要指“1的變換/,222,2,(1 sin x cos x sec x tan x tan x cot x tan sin 二 42【例 15】已知 tan 2 ,求 sin2 sin cos 3cos2正余弦 上兄妹一sinx cosx、sinxcosx”的內(nèi)存聯(lián)系 知一求二”，【例 16(1)若 sin x cosx t ,貝U sinxcosx (2)若 (0, ),sin cos 2,求 tan 的值。sin 2 2sin 2(3) 已知 k (3),試用 k表示sin cos 的值13、(高考必考點(diǎn)，必須掌握)輔助角公式中輔助角的確定：asinx bcosx 4a_b2sin x

13、(其中 角所在的像限由a, b的符號(hào)確定， 角b的值由tan 確定)在求最值、化簡時(shí)起著重要作用。 a【例17(1)若方程sin x 73cosx c有實(shí)數(shù)解，則c的取值范圍是 .(2)當(dāng)函數(shù)y 2cosx 3sinx取得最大值時(shí)，tanx的值是(3)如果 f x sin x 2cos(x )是奇函數(shù)，則 tan =312(4) 求值： 2 2 64sin 20sin2 20cos2 2014、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像：正弦函數(shù)y sin x和余弦函數(shù)y cosx圖像的作圖3萬法：五點(diǎn)法：先取橫坐標(biāo)分別為 0,一,2 的五點(diǎn)，再用光滑的曲線把這五點(diǎn)22連接起來，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個(gè)周

14、期內(nèi)的圖像。15、正弦函數(shù)y sin x(x R)、余弦函數(shù)y cosx(x R)的性質(zhì)：(1)定義域：都是R。(2)值域：都是 1,1 ,【例18(1)若函數(shù)y一3 一,1a bsin(3x )的最大值為一，取小值為一，則a ,622b 、(2)函數(shù) f (x) sin x J3cosx (x ,)的值域是 (3)若2，則y cos 6 sin 的最大值和最小值分別是(4)函數(shù) f (x)2cosxsin(xV3sin2 x sin xcosx 的最/、值是此日x =一 .1(5)己知sin cos 一，求t sin cos 的變化范圍為22222(6)右sin 2sin 2cos ，求y

15、sin sin的最大、最小值?特別提醒：在解含有正余弦函數(shù)的問題時(shí)，你深入挖掘正余弦函數(shù)的有界性了嗎?(3)周期性：ysin x、y cosx的最小正周期都是 2f(x) Asin( x ) f (x) Acos( x )的最小正周期都是 T I |幽若f(x) s嗚，則f(1) ffIII f(2017)=(2)函數(shù)f(x) cos4 x 2sin xcosx sin4x的最小正周期為 (3)設(shè)函數(shù)f (x)2sin(x ),若對(duì)任意xR都有f(Xi)f (x)f(X2)成立,則| x1 x2 |的最小值為(4)奇偶性與對(duì)稱性正弦函數(shù) y sin x(x R)是奇函數(shù)，對(duì)稱中心是k ,0 k

16、 Z ,對(duì)稱軸是直線余弦函數(shù)y cosx(x R)是偶函數(shù)，對(duì)稱中心是 k,0 k Z ,對(duì)稱軸是直線2(正(余)弦型函數(shù)的對(duì)稱軸為過最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于x軸的直線，對(duì)稱中心為圖像與x軸的交點(diǎn))。5【例20(1)函數(shù)y sin 2x的奇偶性是23.一一(2)已知函數(shù) f(x) ax bsin x 1(a,b 為常數(shù))，且 f( 5) 7,貝Uf( 5) (3)函數(shù)y 2cosx(sin x cosx)的圖像的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸分別是 、(4)已知 f ( x) sin(x)J3 cos(x)為偶函數(shù)，求 的值為(3)函數(shù)y Asin( x )圖像的畫法(5)單調(diào)性：y sin x在 2k2k

17、k Z上單調(diào)遞增; 2 '2.3在2k -,2k k Z單倜遞減;22y cosx在 2k ,2kk Z上單調(diào)遞減;在2k,2 k2 k Z上單調(diào)遞增。特別提醒，別忘了 k Z !16、形如y Asin( x )的函數(shù)：1(1)物理量：A一振幅；f 一頻率(周期的倒數(shù))；x一相位；一初相；(2)函數(shù)y Asin( x )表達(dá)式的確定：A由最值確定；由周期確定；由圖像上的特殊點(diǎn)確定，【例21】f (x) Asin( x )(A 0,0, | | 3)的圖像如圖所示，則f (x)=，令 X =0, ,2求出相應(yīng)的x值，計(jì)算得出22五點(diǎn)的坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖像；圖像變換法：這是作函數(shù)簡圖常用方

18、法。(4)函數(shù)y Asin( x ) k的圖像與y sin x圖像間的關(guān)系：函數(shù)y sin x的圖像縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左(>0)或向右(<0)平移| |個(gè)單位得y sin x的圖像；1，一一函數(shù)y sin x 圖像的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到函?shù)y sin x的圖像；函數(shù)y sin x圖像的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到函數(shù)y Asin( x)的圖像；函數(shù)y Asin( x )圖像的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)向上( k 0)或向下(k 0),得到y(tǒng) Asin x k的圖像。要特別注意，若由y sin x得到y(tǒng) sin x 的圖像，則向左或向右平移應(yīng)平移| 一|個(gè)單位，【例

19、22】(1)函數(shù)y 2sin(2x -) 1的圖像經(jīng)過怎樣的變換才能得到y(tǒng) sinx的圖像？(2)要得到函數(shù)y cos§ 7)的圖像，只需把函數(shù) y sin的圖像向 平移個(gè)單位。(3)將函數(shù)y 2sin(2x ) 1圖像，按向量2平移后得到的函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 3這樣的向量是否唯一？若唯一，求出a ；若不唯一，求出模最小的向量？(4)若函數(shù)f x cosx sinx x 0,2的圖像與直線y k有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是(5)研究函數(shù) y Asin( xH生質(zhì)的方法：類比于研究y sin x的性質(zhì)，只需將y Asin( x )中的 x 看成y sin x中的x ,但

20、在 求y Asin( x單調(diào)區(qū)間時(shí)，要特別注意 A和 的符號(hào)，通過誘導(dǎo)公式先將化正?！纠?3】(1)函數(shù)y sin( 2x §)的遞減區(qū)間是一 .x(2) y log 1 COS(- i)的遞減區(qū)間是(3)設(shè)函數(shù) f (x) Asin( x)(A 0,0，2_)的圖像關(guān)于直線x2稱， 它 的 周 期 是( )15 2. A、f (x)的圖象過點(diǎn)(0,) B、f(x)在區(qū)間,上是減函數(shù)212 3C、f(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心 是(5-,0)D、f(x)的最大值是 A(4)對(duì)于函數(shù)f x 2sin 2x一給出下列結(jié)論:3圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱;圖像關(guān)于直線x 一成軸對(duì)稱；12圖像可由函

21、數(shù) y 2sin 2x的圖像向左平移 一個(gè)單位得到；3圖像向左平移 一個(gè)單位，即彳#到函數(shù) y 2cos 2x的圖像。12其中正確結(jié)論是(5)已知函數(shù)f (x) 2sin( x )圖像與直線y 1的交點(diǎn)中，距離最近兩點(diǎn)間的距離為一，那么此函數(shù)的周期是317、正切函數(shù) y tanx的圖像和性質(zhì)：(1)定義域：x | x k ,k Z。2遇到有關(guān)正切函數(shù)問題時(shí)，你注意到正切函數(shù)的定義域了嗎？(2)值域是R,在上面定義域上無最大值也無最小值；(3)周期性：是周期函數(shù)且周期是，它與直線y a的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離是一個(gè)周期 。絕對(duì)值或平方對(duì)三角函數(shù)周期性的影響：某一周期函數(shù)解析式加絕對(duì)值或平方, 其

22、周期性是：弦減半、切不變.既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對(duì)值，其周 期性不變，其它不定。例如：y sin2x,y sin x的周期都是，但y sin x cosx的周期為 一，2.1 、而 y |2sin(3x ) -1,y |2sin(3x ) 2|, y |tanx|的周期不變；k(4)奇偶性與對(duì)稱性：是奇函數(shù)，對(duì)稱中心是 ,0 k Z ,2特別提醒：正(余)切型函數(shù)的對(duì)稱中心有兩類：一類是圖像與x軸的交點(diǎn)，另一類是漸近線與x軸的交點(diǎn)，但無對(duì)稱軸，這是與正弦、余弦函數(shù)的不同之處。(5)單調(diào)性：正切函數(shù)在開區(qū)間-k , k k Z內(nèi)都是增函數(shù)。但要注意在整個(gè)定義域上不具有單調(diào)性。如下

23、圖:三角函數(shù)圖象幾何性質(zhì)三角函數(shù)圖象幾何性質(zhì)sins in（x+x）x3y=AtAnan（x+x|）yxO茅嶺嬴心品目靜郃二4 4鏟鄰中心 |x3-x4|=T/2 鄰軸 |xi-x2|=T/2無窮對(duì)稱中心：由y=0確定無窮對(duì)稱軸：由y=A或-A確定'.鄰中心 |x3-x4|= T/2無窮對(duì)稱中心：由y=0或y無意義確定x=xix=x2鄰漸近冬|x1-x2|=T無對(duì)稱軸任意一條y軸的垂線與正切函數(shù)圖象都相交，且相鄰兩 交點(diǎn)的距離為一個(gè)周期！2218.三角形中的有關(guān)公式：(1)內(nèi)角和定理：三角形三角和為，這是三角形中三角函數(shù)問題的特殊性，解題可不能忘記！任意兩角和 與第三個(gè)角總互補(bǔ)， 任意兩半角和 與第三個(gè)角的半角總互余.銳角三角形 二內(nèi)角都是銳角三內(nèi)兔町余范值為正值, 佳直角和都懸鈍角一任 意兩邊的平方和大于第三邊的平方 .(2)正弦定理：-a- -br- c；7 2R(R為三角形外接圓的半徑).sin A sin B sin C注意：正弦定理的一些變式:i a b c sin A sin B sin C ；aii sin A ,sin B2R2R,sin Cc2Riii a 2RsinA,b 2RsinB,b 2RsinC；已知三角形兩邊一對(duì)角，求解三角形時(shí)，若運(yùn)用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解(3)余