博士生課程空間機(jī)器人關(guān)鍵技術(shù)

1、博士生課程空間機(jī)器人關(guān)鍵技術(shù)1 空間機(jī)器人概述2 數(shù)學(xué)力學(xué)基礎(chǔ)3 冗余自由度機(jī)器人4 柔性機(jī)械臂5 欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人6 機(jī)器人靈活手空間機(jī)器人的概述1.空間機(jī)器人在空間技術(shù)中的地位從 20 世紀(jì) 50 年代，以美國(guó)和蘇聯(lián)為首的空間技術(shù)大國(guó)就在空間技術(shù)領(lǐng)域展開(kāi)了猛烈的競(jìng)賽。i 蘇聯(lián)1957年8月3日，前蘇聯(lián)研制的第一枚洲際彈道導(dǎo)彈 SS-6首次發(fā)射成功。不久，前蘇聯(lián)火箭總設(shè)計(jì)師 柯羅廖夫從美國(guó)新聞界得知美國(guó)試圖在1957-1958年的國(guó)際地球物理年里發(fā)射一顆人造地球衛(wèi)星。 因此，他趕忙將SS-6導(dǎo)彈稍加修改，將彈頭換上一個(gè)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的衛(wèi)星，搶先將第一顆人造衛(wèi)星送上了太空。接著，在第一顆人造衛(wèi)星發(fā)射后一

2、個(gè)月，即11月3日，又用SS-6導(dǎo)彈作航天運(yùn)輸工具，將裝有小狗“萊 伊卡”的第二顆人造衛(wèi)星送入太空的圓形地球軌道。1959年 5月，前蘇聯(lián)又將“月球” l 號(hào)人造衛(wèi)星送入了月球軌道。ii 美國(guó)在 1958年往常，以“紅石”近程導(dǎo)彈和“維金”探空火箭為基礎(chǔ)，分不研制成“丘比特” C 和“先鋒” 號(hào)等小型運(yùn)載火箭，用于發(fā)射最初的幾個(gè)有效載荷僅為數(shù)千克至十幾千克的小衛(wèi)星。進(jìn)展到今天，從地面實(shí)驗(yàn)室研究到人造衛(wèi)星、空間站、載人飛船、航天飛機(jī)、行星表面探測(cè)器，空間 技術(shù)大國(guó)都投入了大量人力、物力和財(cái)力?？臻g技術(shù)關(guān)于天文學(xué)、氣象、通信、醫(yī)學(xué)、農(nóng)業(yè)以及微電子等 領(lǐng)域都產(chǎn)生了專(zhuān)門(mén)大的效益。不僅如此，空間技術(shù)關(guān)于

3、以后國(guó)家安全更具有重要的意義。在空間技術(shù)進(jìn)展 的過(guò)程中空間機(jī)器人的作用越來(lái)越明顯。20世紀(jì)60年代前蘇聯(lián)的移動(dòng)機(jī)器人研究所（聞名的俄羅斯Rover科技有限公司前身）研制了世界上第一 臺(tái)和第二臺(tái)月球車(chē)Lunohod-1和Lunohod-2。1976年美國(guó)發(fā)射海盜一號(hào)和二號(hào)（Rover-1、Rover-2）的登陸艙 相繼在在火星表面登陸，通過(guò)遙操作機(jī)械臂進(jìn)行火星表面土壤取樣。隨著空間技術(shù)研究的日益深入，人類(lèi)空間活動(dòng)的日益頻繁，需要進(jìn)行大量的宇航員的艙外活動(dòng)（EVA），這對(duì)宇航員不僅危險(xiǎn)，而且沒(méi)有大氣層的防護(hù)，宇宙射線和太空的各種飛行顆粒都會(huì)對(duì)宇航員造成損害。 建筑國(guó)際空間站，以及以后的月球和火星基

4、地，工程浩大，只靠宇航員也是非力所能及的。還有空間產(chǎn)業(yè)、 空間科學(xué)實(shí)驗(yàn)和探測(cè)，這些工作是危險(xiǎn)的，但有一定重復(fù)性，各航天大國(guó)都在研究用空間機(jī)器人來(lái)代替宇 航員的大部分工作。此外許多空間飛行器長(zhǎng)期工作在無(wú)人值守的狀態(tài)，這些飛行器上面各種裝置的愛(ài)護(hù)和修理依靠發(fā)射飛 船，把宇航員送上太空的方法既不經(jīng)濟(jì)，也不現(xiàn)實(shí)。在以后的空間活動(dòng)中，許多工作僅靠宇航員的艙外作 業(yè)是無(wú)法完成的，必須借助空間機(jī)器人來(lái)完成空間作業(yè)。2 空間機(jī)器人的任務(wù)和分類(lèi)1）空間建筑與裝配。一些大型的安裝部件，例如無(wú)線電天線，太陽(yáng)能電池，各個(gè)艙段的組裝等艙外活動(dòng) 都離不開(kāi)空間機(jī)器人，機(jī)器人將承擔(dān)各種搬運(yùn)，各構(gòu)件之間的連接緊固，有毒或危險(xiǎn)品

5、的處理等任務(wù)。有 人估量，在不久今后空間站建筑初期，一半以上的工作都將由機(jī)器人完成。2）衛(wèi)星和其他航天器的愛(ài)護(hù)與修理。 隨著人類(lèi)在太空活動(dòng)的持續(xù)進(jìn)展， 人類(lèi)在太空的資產(chǎn)越來(lái)越多， 其中人 造衛(wèi)星占了絕大多數(shù)。如果這些衛(wèi)星一旦發(fā)生故障，丟棄它們?cè)侔l(fā)射新的衛(wèi)星就專(zhuān)門(mén)不經(jīng)濟(jì)，必須設(shè)法修 理后使它們重新發(fā)揮作用。然而如果派宇航員去修理，又牽涉到艙外活動(dòng)的咨詢(xún)題，而且由于航天器在太 空中，是處于強(qiáng)烈宇宙輻射的環(huán)境之下，有時(shí)人全然無(wú)法執(zhí)行任務(wù)，因此只能依靠空間機(jī)器人。挑戰(zhàn)者號(hào) 和哥倫比亞號(hào)航天飛機(jī)的墜毀引起人們對(duì)空間飛行安全的關(guān)注，采納空間機(jī)械臂修復(fù)哈勃太空望遠(yuǎn)鏡看起 來(lái)是一件專(zhuān)門(mén)自然的情況。安裝上新的科

6、學(xué)儀器 （包括一臺(tái)視野寬敞的攝象儀和一臺(tái)攝譜儀 ）后，哈勃望遠(yuǎn)鏡 的觀測(cè)能力可增強(qiáng)十倍以上?？臻g機(jī)器人所進(jìn)行的愛(ài)護(hù)和修理工作包括回收失靈衛(wèi)星，對(duì)故障衛(wèi)星進(jìn)行就 地修理，為空間飛行器補(bǔ)給物資等。3）空間生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)。 宇宙空間為人類(lèi)提供了地面上無(wú)法實(shí)現(xiàn)的微重力和高真空環(huán)境， 利用這一環(huán)境能夠 生產(chǎn)出地面上無(wú)法或難以生產(chǎn)出的產(chǎn)品。在太空中還能夠進(jìn)行地面上不能做的科學(xué)實(shí)驗(yàn)。和空間裝配，空 間修理不同，空間生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)要緊在艙內(nèi)環(huán)境里進(jìn)行，操作內(nèi)容多半是重復(fù)性動(dòng)作，在多數(shù)情形下， 宇航員能夠直截了當(dāng)檢查和操縱。這時(shí)候的空間機(jī)器人如同工作在地面的工廠里的生產(chǎn)線上一樣。因此， 能夠采納的機(jī)器人多是通用

7、型多功能機(jī)器人。空間機(jī)器人是空間技術(shù)研究的重要內(nèi)容，它是代替宇航員進(jìn)行空間科學(xué)研究和作業(yè)的有力工具?？臻g 機(jī)器人按照用途能夠分為i 空間站機(jī)器人 （ 包括空間站與航天飛機(jī)艙內(nèi)機(jī)器人和空間站與航天飛機(jī)艙外機(jī)械臂 ） ；ii 星載機(jī)器人 （包括空間自由飛行機(jī)器人和空間自由漂浮機(jī)器人 ）；iii 外星表面探測(cè)機(jī)器人。從空間機(jī)器人的結(jié)構(gòu)組成來(lái)看，可分為單臂和多臂 （要緊是雙臂 ）空間機(jī)器人?？臻g機(jī)器人的特點(diǎn)空間環(huán)境和地面環(huán)境差不專(zhuān)門(mén)大，空間機(jī)器人工作在微重力、高真空、超低溫、強(qiáng)輻射、弱照明的環(huán) 境中，因此，空間機(jī)器人與地面機(jī)器人的要求也必定不相同，有它自身的特點(diǎn)。由于空間機(jī)器人在空間微 重力的環(huán)境下工

8、作，因此當(dāng)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)對(duì)載體產(chǎn)生反作用力和力矩，從而改變載體的位置和姿勢(shì)， 即空間機(jī)器人的機(jī)械臂和載體之間存在著運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)耦合咨詢(xún)題。如果不考慮這種力學(xué)耦合咨詢(xún)題， 而依舊采納地面固定基座機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)操縱技術(shù)，空間機(jī)器人就無(wú)法完成預(yù)定的操作任務(wù)。因此研究空間 機(jī)器人，第一要解決的是如何考慮這種因素，建立相互作用的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)模型及運(yùn)動(dòng)操縱算法。另一 個(gè)關(guān)鍵咨詢(xún)題是在地面上模擬微重力條件的地面試驗(yàn)平臺(tái)，用來(lái)驗(yàn)證空間機(jī)器人運(yùn)動(dòng)專(zhuān)門(mén)性、衛(wèi)星姿勢(shì)、 捕捉目標(biāo)路徑規(guī)劃等各種運(yùn)動(dòng)操縱算法的可行性。由因此高真空，液體無(wú)法附著在固體表面，而且極易揮 發(fā)，無(wú)法采納地面上常規(guī)的液體潤(rùn)滑和密封技術(shù)，而必須

9、考慮固體潤(rùn)滑和磁流體密封。關(guān)于艙內(nèi)空間機(jī)器人，要求體積比較小，重量比較輕，抗干擾能力強(qiáng)。其次，要求空間機(jī)器人的智能 程度高，功能全?？臻g機(jī)器人消耗的能量要盡可能小，工作壽命要盡可能長(zhǎng)。由因此工作在太空這一專(zhuān)門(mén) 的環(huán)境之下，對(duì)它的安全性、可靠性和可修理性要求也比較高。從操縱的角度看，由于空間的遙操作距離遠(yuǎn)大于地面，時(shí)延成為不可忽略的因素，在地面上成功的操縱策略和操縱方法關(guān)于空間的遙操作往往行不 通，必須考慮空間機(jī)器人的自主性和智能性，以及操縱和通信的智能系統(tǒng)。總之，由于空間活動(dòng)的成本高昂，空間技術(shù)的研究和進(jìn)展需要強(qiáng)大的經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)為后盾，這導(dǎo)致空間飛 行器的設(shè)計(jì)需要采取專(zhuān)門(mén)的思路，操縱系統(tǒng)需要采納先

10、進(jìn)的策略和軟硬件裝備。由于空間活動(dòng)的未知因素 多，必須具備一定的自主工作能力 (智能性和靈活性 )，同時(shí)還必須具有良好的容錯(cuò)能力和可靠性。空間發(fā)射 成本高，減輕發(fā)射重量成為諸多考慮因素的首選因素，這就使空間機(jī)器人大多為輕質(zhì)柔性結(jié)構(gòu)，因此具有 較大的變形。微重力和載體不固定，使得空間機(jī)器人系統(tǒng)為非完整系統(tǒng)。因此空間機(jī)器人的差不多特點(diǎn)是： 輕質(zhì)柔性、靈活性、容錯(cuò)性、非完整約束、智能性。此外為了使空間機(jī)器人具有容錯(cuò)性，一樣都采納冗余 自由度的構(gòu)形、欠驅(qū)動(dòng)方式和柔性結(jié)構(gòu)。這些造成空間機(jī)器人系統(tǒng)的高度復(fù)雜性和綜合性。空間機(jī)器人的 研究涉及多學(xué)科領(lǐng)域，它集成了力學(xué)、機(jī)械學(xué)、操縱工程、運(yùn)算機(jī)科學(xué)、測(cè)試技術(shù)和

11、通信技術(shù)等多學(xué)科領(lǐng) 域的最新成就。空間機(jī)器人進(jìn)展現(xiàn)狀加拿大臂(Canadarm的空間機(jī)械臂的正式名稱(chēng)是 SRMS(the Shuttle Remote Manipulator System),長(zhǎng) 15. 2m,重410kg。已制造并交付使用了 5套完整機(jī)械臂系統(tǒng)。每套臂系統(tǒng)中有 2套手動(dòng)操縱器，分不操縱3個(gè) 移動(dòng)和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)等6個(gè)自由度。該臂末端速度為600mm/s空載);有載荷的情形下的速度為60mm/s。已飛向 太空?qǐng)?zhí)行任務(wù) 34次。在地面上是用氣浮方式模擬太空微重力環(huán)境,作二維水平運(yùn)動(dòng)來(lái)試驗(yàn)、愛(ài)護(hù)的。加拿 大為國(guó)際空間站提供一個(gè)移動(dòng)服務(wù)系統(tǒng)(MSS)及其有關(guān)地面設(shè)備。作為回報(bào)，加拿大將獲得

12、國(guó)際空間站3%的使用權(quán)。移動(dòng)服務(wù)系統(tǒng)包括空間站遙控機(jī)械臂系統(tǒng)(SSRMS)、專(zhuān)用機(jī)械手(SPDM)兩部分。SSRMS長(zhǎng)17.6m，重936kg,負(fù)荷時(shí)移動(dòng)速度為6mm/s，空載時(shí)移動(dòng)速度為600mm/s,定位精度10mm/(° )，能搬動(dòng)重量Canadarm Overview丘如CD TV輕au.I'的IE/id JEfedov為19500kg、尺寸為有效載荷操作以及協(xié).器人每個(gè)臂長(zhǎng)2m從1981年第一和復(fù)雜的18.3mx 4.6飛行于空間站的裝配與服務(wù)、軌道器的對(duì)接與分離、wtstniSPDM是一個(gè)雙臂機(jī)有效國(guó)際空間一，能承擔(dān)目前由艙外活動(dòng)航天員完成的許多修理和裝配任務(wù)。S

13、RMS就表現(xiàn)出高可靠性、高效性和萬(wàn)能性，能夠?qū)ω?fù)載進(jìn)行準(zhǔn)確、精細(xì)它是由加拿大 MDA公司為美國(guó)NASA設(shè)計(jì)和制造的。以后 NASA又訂制了 4臺(tái)SRMS。 沁納齢*1990年4月24日加拿大臂穩(wěn)固地將 Hubbl加拿大臂能夠無(wú)縫地實(shí)現(xiàn)把衛(wèi)星放入軌道和回收有故障的衛(wèi)星e空間望遠(yuǎn)鏡放入軌道。從1990年4月到2002年3月它在4次太空飛行中協(xié)助宇航員完成了18次太空行土 、卄/一 耳、丄,.TechnicalEXetails走，進(jìn)仃丿總計(jì)I29小時(shí)的EVA。杷wiwi hand cui忱I 館rs di 歸 me movetnM idiri4«ni.Can adarm的非打算性任務(wù)包括清

14、除堵塞的廢水口的冰塊，它們可能對(duì)航天飛機(jī)返回時(shí)收起天線和激活失效衛(wèi)星重新放入正確軌道造成威逼。在1998年12月，Canadarm在國(guó)際空間站的第一次裝配任務(wù)中發(fā)揮了關(guān)鍵作用，實(shí)現(xiàn)了美國(guó)單元與 俄國(guó)空間站3Zarya的對(duì)接。Canadarm將會(huì)連續(xù)在空間站裝配中發(fā)揮重大的作用。Wisl MnlHi ree dag陽(yáng)站 M幣口他倔皿taridh 齊辭耐加拿大臂由肩關(guān)節(jié)（2個(gè)自由度）、肘關(guān)節(jié)（1個(gè)自由度）和腕關(guān)節(jié)（3個(gè)自由度），整個(gè)臂分為上臂和下臂。總質(zhì)量905磅(410kg)。Rflalnn；!Ccfrr:町Pre 対君$ al mavwT 刃 1Rail up. du mi.1 Lha rm匚

15、oiWe Lh? i把 r, re4, aid 怦 cl !'E ttf2數(shù)學(xué)力學(xué)基礎(chǔ)矩陣?yán)碚?矩陣的四個(gè)差不多子空間線性方程組能夠用矩陣形式寫(xiě)為Ax b(1)式中，A為mx n系數(shù)矩陣，x為n維向量空間Rn的列向量，b為m維向量空間Rm的列向量。如果方程的數(shù)目小于未知數(shù)的數(shù)目，即 mvn。我們假設(shè)A是行滿秩的，即A的秩r等于m。由于方程 數(shù)m小于變量數(shù)n,方程組為欠定方程組。由線性代數(shù)可知，方程組的解不唯獨(dú)，在所有的解向量中，有 一個(gè)解向量是最小范數(shù)解。其他的解能夠認(rèn)為是由那個(gè)解和線性方程組對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組Ax = 0通解之和。齊次線性方程的這些解組成了向量空間Rn中的一個(gè)子空間

16、，稱(chēng)為矩陣 A的零空間，或者稱(chēng)為A的核。它的維數(shù)是n - m。記作N(A)。如果矩陣A的秩r小于m,零空間的維數(shù)則為n-r。類(lèi)似地，齊次線 性方程組ATx = 0的全體解組成了向量空間 Rm的一個(gè)子空間，稱(chēng)為矩陣A的左零空間。它的維數(shù)是m - r。記作N(AT)。如果矩陣行滿秩，即r = m, N(AT)為零。A的r個(gè)線性無(wú)關(guān)列在m維向量空間中張成一個(gè)r維子空間，記作R(A)，稱(chēng)為矩陣A的列空間。A的 r個(gè)線性無(wú)關(guān)行在n維向量空間中張成一個(gè)r維子空間，它也能夠看成是矩陣AT的列空間。定理1 任何mx n矩陣A，其左零空間N(AT)與列空間R(A)互為向量空間Rm中的正交子空間，同時(shí) Rm= R

17、(A)N(AT)，樣稱(chēng)為它們互為正交補(bǔ)空間。定理2 任何mx n矩陣A，其零空間N(A)與行空間R(AT)互為向量空間Rn中的正交子空間，同時(shí) R n二R(AT)N(A)，樣稱(chēng)為它們互為正交補(bǔ)空間綜如上述內(nèi)容可知，給出一個(gè) mxn實(shí)矩陣A，與之相聯(lián)系的有4個(gè)重要的子空間：A的列空間：它由矩陣A的線性無(wú)關(guān)的列生成，用 R(A)表示。A的行空間：它由矩陣A的線性無(wú)關(guān)的行生成，用 R(AT)表示。A的零空間：它由滿足齊次方程組 Ax = 0的全體解組成，用N(A)表示。A的左零空間：它由滿足齊次方程組 ATx = 0的全體解組成，用N(AT)表示。Rn中的兩個(gè)子空間R(AT)、N(A) ； Rm中的

18、兩個(gè)子空間R(A)、N(AT)。它們的關(guān)系為Rn 二 R(AT) N(A),且 R(AT)丄=N(A);Rm = R(A) N(AT),且 R(A)丄=N(AT);(2)那個(gè)地點(diǎn)，上標(biāo)“丄”表示是正交補(bǔ)空間。 矩陣的廣義逆。由對(duì)線性方程組Ax = b較完整的討論，可知它可能無(wú)解，或有唯獨(dú)的一組解，或有無(wú)窮多組解。初看 起來(lái)，無(wú)解的矛盾方程組沒(méi)有任何意義，然而在實(shí)際工程咨詢(xún)題中，常常會(huì)遇到矛盾方程組，或者叫作超 定方程組。盡管不能求得 Ax = b精確解，然而若能求得X,使Ax b最小，也是具有實(shí)際意義的，這確實(shí) 是矛盾方程組的最小二乘解。關(guān)于欠定方程組，在無(wú)窮多組解中常常需要求最小范數(shù)解。這兩

19、個(gè)咨詢(xún)題不 能用一樣的矩陣逆的概念解決，這促使人們把矩陣逆的概念推廣到長(zhǎng)矩陣和非滿秩的方陣，這確實(shí)是廣義 逆產(chǎn)生的背景。1955年P(guān)en rose建立了下面的命題：對(duì)任一個(gè)矩陣a Rm n,存在唯一的矩陣G,同時(shí)滿足下面四個(gè)方程:(i) AGA = A; (ii) GAG = G; (iii) (AG)T = AG ; (iv)(GA) T= GA。(3)它是在 Moore 在 1922年發(fā)表的論文基礎(chǔ)上提出的。 一樣將同時(shí)滿足上面矩陣方程的矩陣 G 稱(chēng)為矩陣 A 的Moore-Penrose逆，或簡(jiǎn)稱(chēng)為M-P逆，記為A+。它來(lái)源于線性方程組求解，目的是：線性方程組Ax = b對(duì)下述咨詢(xún)題的解

20、能用矩陣形式給出。(i) 相容方程的解；(ii) 相容方程的最小范數(shù)解；(iii) 矛盾方程的最優(yōu)近似解；(iv) 矛盾方程范數(shù)最小最優(yōu)近似解。那個(gè)地點(diǎn)討論的矩陣均為實(shí)矩陣。它確定一個(gè)Rn至Rm的線性變換y = Ax。A是mx n矩陣，x是n維向量，y是m維向量。前面已講到，與矩陣A相聯(lián)系的有四個(gè)重要子空間。Rn的兩個(gè)子空間R(AT)和N(A); Rm的兩個(gè)子空間 R(A)和N(AT)。它們的關(guān)系為 Rn二R(AT) N(A)，且R(AT)丄N(A) ; Rm = R(A) N(A T)，且R(A)丄N(AT)。換言之，R(AT)與N(A)互為Rn中的正交補(bǔ)空間，R(A)與N(AT)互為Rm中

21、的正交 補(bǔ)空間。關(guān)于廣義逆，需要用專(zhuān)門(mén)多時(shí)刻講清晰，那個(gè)地點(diǎn)不預(yù)備詳細(xì)介紹。只考慮最理想的情形，即矩陣 A 是滿秩的(行滿秩或列滿秩)。當(dāng)m < n,矩陣A只可能是行滿秩；當(dāng)m > n,矩陣A是只可能列滿秩。有 必要研究滿秩矩陣的單邊逆：左逆和右逆。它們是廣義逆的特例。定義1 設(shè)A Rmx n,若存在G RnX m,使得AG = I (或GA = I),則稱(chēng)G為A的右逆(或左逆)， 記為ar1 (或al1 )。能夠證明,如果矩陣 A Rmx n 行滿秩,則必存在下列形式的右逆,AR1 AT(AAT) 1(4)如果矩陣A Rm x n列滿秩，則必存在下列形式的左逆，AL1 (ATA)

22、 1AT(5)下面的兩個(gè)定理給出了左逆和右逆的存在條件。定理3設(shè)A Rmx n,則下列的提法是等價(jià)的：A 是左可逆的；A 的零空間 N(A) = 0 , A 的行空間 R(AT) = Rn；m> n, Rank(A) = n，即是列滿秩的。定理4設(shè)A Rmx n,則下列的提法是等價(jià)的：A 是右可逆的；A 的左零空間 N(AT) = 0 , A 的列空間 R(A) = Rm；m< n, Rank(A) = m，即是行滿秩的。 矩陣的奇特值分解 矩陣的奇特值分解是矩陣?yán)碚摰牟畈欢嘀R(shí),它關(guān)于廣義逆的運(yùn)算和冗余自由度機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的求 解都具有重要的應(yīng)用價(jià)值。在線性代數(shù)中曾把 n 階對(duì)稱(chēng)

23、矩陣 A 分解成如下的乘積形式A = PDPT(6)其中D為對(duì)角矩陣，其對(duì)角線元素為 A的實(shí)特點(diǎn)值，P為正交矩陣，其第j列為與D的第j個(gè)對(duì)角線 元素相應(yīng)的特點(diǎn)向量(j = 1,2,n)。我們差不多看到，這種分解式是研究對(duì)稱(chēng)矩陣的有力工具，由它能夠推 出一系列有用的結(jié)論。只有對(duì)稱(chēng)矩陣才有這種分解式。關(guān)于非對(duì)稱(chēng)矩陣，以至一樣的長(zhǎng)方形矩陣是否能夠建立類(lèi)似的分解式 ？ F面的定理回答了那個(gè)咨詢(xún)題。定理5設(shè)A為任意mx n階矩陣，其秩數(shù)為r,則有m階正交矩陣P和n階正交矩陣Q,使得A = P QT 或 PTAQ二其中為如下形式的m x n階矩陣A °O O它的左上角的子塊 r是r階對(duì)角矩陣12

24、A>>r> 0其余幾個(gè)子塊是各自具有適當(dāng)階數(shù)的零矩陣，我們一律記為。，r稱(chēng)為矩陣A奇特r值。關(guān)于矩陣的其他概念，如向量和矩陣的范數(shù)，向量空間的基底與坐標(biāo)，線性有關(guān)與線性無(wú)關(guān)等不介紹了。力學(xué)基礎(chǔ) 剛體的質(zhì)量參數(shù)G在剛體上的位置剛體的質(zhì)量參數(shù)除了剛體的質(zhì)量 m,還包括與剛體質(zhì)量分布有關(guān)的量，即剛體質(zhì)心 和剛體的慣性張量(慣性并矢)。在那個(gè)地點(diǎn)我們由剛體的動(dòng)能引出剛體慣性張量的概念。ri確定，剛體上 而它在參考系中的位置由r確定。剛體的質(zhì)心為Gi，質(zhì)心在剛體 rei。質(zhì)心應(yīng)滿足msGimsdm(8)mreimrdm,因此，mrdm, m剛體上元質(zhì)量dm的動(dòng)能dT = £r

25、2dm。由于r ri s，故r ri j s，其中j是剛體的角速度向量。整個(gè)剛體的動(dòng)能應(yīng)將元質(zhì)量的動(dòng)能 dT對(duì)整個(gè)剛體質(zhì)量進(jìn)行積分，即rcisei msdm m(9)如圖1所示，剛體坐標(biāo)系(即連桿坐標(biāo)系)的原點(diǎn)為Oi，它在參考系中的位置可由其向徑 任一元質(zhì)量dm在剛體上的位置由s給定 上的位置向徑是sei，在參考系中的向徑是2 2 2T dT 0.5mrdm 0.5mVPi VPi ( i SGi)m 0.5m( i s)dm， 利用矢量數(shù)學(xué)可得2 2 2(i s) dm i (s E ss)idmi (s E ss)dm immm其中積分項(xiàng)是僅與剛體質(zhì)量分布有關(guān)的量，給出如下定義 定義2剛體

26、對(duì)點(diǎn)Oi的慣性張量Joi (s E ss)dm(10)m如此剛體的動(dòng)能為T(mén) 0.5mvoi voi ( i sei)m 0.5 i J°i i(11)若剛體作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，因?yàn)閂oi= 0，剛體動(dòng)能為T(mén) 0.5 i Joi(11-1)若取質(zhì)心G為連桿坐標(biāo)系原點(diǎn)，因?yàn)镾g= 0, voi Vg,剛體動(dòng)能為T(mén) 0.5mvGi 0.5 i J© i(11-2)這是一樣理論力學(xué)教科書(shū)中的剛體動(dòng)能公式。在連桿坐標(biāo)系中,Joi的重量是個(gè)3 3矩陣，稱(chēng)為剛體在該連桿坐標(biāo)系中對(duì)Oi點(diǎn)的慣性矩陣，記為JOi (stsE ssT)dmm式中，s s,S2,sJT22J11m (S2 S3)d m,

27、J22(12)，將它代入(17)式，可得Joi的各元素為2 2 2 2m(S1 sjdmJ33m(S1 S2)dm(13)愉體動(dòng)能的矩陣形式為m$S3dm,J 23 J 32mS2S3dmT 0.5mvOi vOisGim 0.5 wTJ Oi wi(14) 剛體對(duì)參考系原點(diǎn)O的角動(dòng)量和角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考系原點(diǎn)O的角動(dòng)量為L(zhǎng)O r rm,同樣，剛體上元質(zhì)量dm對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量為dLO r rdm , 將元質(zhì)量的角動(dòng)量遍及整個(gè)剛體積分，可得剛體的角動(dòng)量為L(zhǎng)or rdm (心 s)(v°ii s)dm a(v°iiSejm旨v°ims ( is)dm上式中第 3項(xiàng)積分

28、，用慣性張mmm量概念，可化簡(jiǎn)為L(zhǎng)o rdm g (voii sq )m sq VoE Joi(15)若P點(diǎn)不動(dòng)，即voi= 0,貝SLo roi ( i sGi)m Joi(15-1)若取質(zhì)心G為連桿坐標(biāo)系原點(diǎn)，即Sei= 0和v°i vei，貝S下面我們引出一個(gè)剛體動(dòng)力學(xué)的重要定理角動(dòng)量定理，它在剛體力學(xué)中的地位相當(dāng)于質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中的動(dòng)量定理。角動(dòng)量定理能夠敘述為：對(duì)慣性參考系原點(diǎn)0的絕對(duì)角動(dòng)量的絕對(duì)時(shí)刻導(dǎo)數(shù)等于所有外力對(duì)同一點(diǎn)的合力矩，即Lo Mo(16)由此式和角動(dòng)量的定義可得(那個(gè)地點(diǎn)略去整個(gè)推導(dǎo)過(guò)程)口旨 roi JOi i i JOi i M Oi(17)這確實(shí)是向量形式的

29、Euler方程，MOi是作用在剛體i上的所有外力對(duì)Oi點(diǎn)的主矩。Euler方程和Newton定律構(gòu)成了剛體系Newton-Euler力學(xué)的基礎(chǔ)，是機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的要緊力學(xué)工具之一。在剛體連桿坐標(biāo)系 Oixiyizi中，(17)式的重量矩陣形式為m?3i rOi J Oi wi *?iJ Oi wi M Oi(18)式中，wi 1, 2, 3i , M Oi n 1, n2 , n3 Oi?，F(xiàn)在考慮幾種專(zhuān)門(mén)情形：如果連桿坐標(biāo)系的原點(diǎn) Oi取剛體的質(zhì)心Gi，即sGi= 0,貝卩JGiiiJGiiM Gi(18-1)連桿坐標(biāo)系原點(diǎn)加速度&為零，或者©指向質(zhì)心，則JOiiiJOiiM

30、Oi(18-2)M，在剛體連桿坐標(biāo)系Oixi若略去式(18-1)和式(18-2)中的下角標(biāo)，能夠?qū)懗山y(tǒng)一的公式 Jyizi中，此式的矩陣重量形式為J 3 (?JM。如果坐標(biāo)系Oixiyizi的3個(gè)坐標(biāo)軸為主軸，上式能夠進(jìn)一步(J22(J33J33)23J11)31n2在大多數(shù)力學(xué)專(zhuān)著中n3(19)Euler方程都采納式(1.10.28)的形式，讀者在使用時(shí)需注意其專(zhuān)門(mén)的使用條件 廣義坐標(biāo)和自由度、位形空間一q空間描述一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)或機(jī)電系統(tǒng)的位形要用到一組坐標(biāo)，這組坐標(biāo)稱(chēng)為廣義坐標(biāo)，用q1, q2, qn表示，簡(jiǎn)稱(chēng)為q坐標(biāo)。一個(gè)系統(tǒng)的重要特性是它的自由度，關(guān)于非自由系統(tǒng)，系統(tǒng)的狀態(tài)會(huì)受到某些強(qiáng)加

31、的 限制，這些限制稱(chēng)為約束，約束的數(shù)學(xué)表達(dá)式確實(shí)是約束方程。系統(tǒng)的自由度等于系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)數(shù)減去 這些坐標(biāo)間的獨(dú)立約束數(shù)。各種坐標(biāo)都能夠用作廣義坐標(biāo)，完全描述一個(gè)系統(tǒng)的位形。關(guān)于同一個(gè)系統(tǒng)，描述其位形不一定要有 相同數(shù)目的廣義坐標(biāo)，也不一定要求有相同數(shù)目的約束。只要廣義坐標(biāo)數(shù)減去約束數(shù)一樣，即等于系統(tǒng)的 自由度。例如，關(guān)于定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，如果廣義坐標(biāo)采納Euler角，只要3個(gè)坐標(biāo)，沒(méi)有約束。如果采納 Euler參數(shù)，有4個(gè)坐標(biāo)，這4個(gè)坐標(biāo)之間存在一個(gè)約束，即4個(gè)Euler參數(shù)的平方和等于1。不管采納Euler 角，依舊Euler參數(shù)，坐標(biāo)數(shù)減去約束數(shù)都等于 3。一樣廣義坐標(biāo)都具有顯而易見(jiàn)的幾何

32、意義，當(dāng)所選的廣 義坐標(biāo)相互獨(dú)立而不違抗約束時(shí)，廣義坐標(biāo)數(shù)確實(shí)是系統(tǒng)自由度數(shù)，這確實(shí)是什么緣故有時(shí)人們把獨(dú)立的 坐標(biāo)定義為廣義坐標(biāo)的緣故。實(shí)際上，“廣義坐標(biāo)”本身與“獨(dú)立坐標(biāo)”并沒(méi)有必定聯(lián)系。專(zhuān)門(mén)自然地，我們能夠把系統(tǒng)的位形看成是那個(gè)坐標(biāo)構(gòu)成的n維空間中的一個(gè)點(diǎn)。這n維空間稱(chēng)為位形空間，簡(jiǎn)稱(chēng)q空間。那個(gè)點(diǎn)是系統(tǒng)的位形點(diǎn)。當(dāng)系統(tǒng)隨時(shí)刻改變其位形時(shí)，系統(tǒng)位形點(diǎn)在 q空間中描出一條曲線。如果所有的q坐標(biāo)是獨(dú)立的，這條曲線是連續(xù)的和不受任何約束的。然而如果存在對(duì)q的約束,這些約束是q空間中的一個(gè)超曲面，位形點(diǎn)將在那個(gè)超曲面上運(yùn)動(dòng)。約束的分類(lèi)關(guān)于一個(gè)系統(tǒng)，能夠用這n個(gè)廣義坐標(biāo)來(lái)描述其位形，任一時(shí)刻系統(tǒng)位

33、形及其速度是該系統(tǒng)在該時(shí)刻 的狀態(tài)。假設(shè)對(duì)有m個(gè)約束，約束方程能夠一樣地表示為fi(qi,q2,q3,qn,qi,q2, qs,qn,t) 0，當(dāng)約束方程中不顯含時(shí)刻i 1, ,m(20)t時(shí)，稱(chēng)為定常約束，否則稱(chēng)為非定常約束。若約束方程中僅含運(yùn)動(dòng)變量，即fi(qi,q2,qs, qn) 0， i 1, , m 或(21)fi(qi,q2,qs, qn,t)0， i 1, ,m如此的約束稱(chēng)為幾何約束。分形式的幾何約束方程(22)幾何約束的約束方程能夠?qū)懗晌⒎中问?，只要將上式求微分，能夠得到微nqj 0，i 1, ,mj qj或(23)nfLdqj 衛(wèi)dt 0， i 1, ,m(24)j qjt

34、系統(tǒng)的速度也會(huì)受到約束，其約束方程如式(23 )或(24)，在此式中僅含運(yùn)動(dòng)變量、速度和時(shí)刻，而不含 加速度，如此的約束稱(chēng)為一階約束。按照約束方程是速度的線性關(guān)系式或非線性關(guān)系式，能夠把它們分為 一階線性約束或一階非線性約束。在機(jī)器人或大多數(shù)機(jī)械系統(tǒng)中，普遍存在一階線性約束，只有欠驅(qū)動(dòng)機(jī) 器人存在二階線性約束。一階線性約束能夠表示為n 1 Ajdqj Aodt 0, i 1, ,m(25)式中，Aij和Ai0是坐標(biāo)qj(j 1, ,n)及時(shí)刻t的函數(shù)，這種約束稱(chēng)為普法夫(Pfaff)約束。如果方程左邊不 可積分，即不是全微分時(shí)，這類(lèi)約束稱(chēng)為非完整約束(一階非完整約束)。如果方程左邊可積分，即是

35、全微分時(shí)，這類(lèi)約束為完整約束。幾何約束差不多上完整約束，能夠表示成普法夫(Pfaff)形式。因此普法夫(Pfaff)約束方程是完整約束和非完整約束的統(tǒng)一形式。具有非完整約束的系統(tǒng)是非完整系統(tǒng)，全部約束為完整約束的系統(tǒng)是完整系統(tǒng)。大多數(shù)地面機(jī)器人系 統(tǒng)是完整系統(tǒng)，非完整的機(jī)器人系統(tǒng)的例子是機(jī)器人多指靈活手、輪式移動(dòng)機(jī)器人等。而用于太空的空間 機(jī)器人多數(shù)是非完整系統(tǒng)。作為完整系統(tǒng)的一個(gè)例子，考慮圖1.11.1所示的在x-y平面上運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)被一個(gè)長(zhǎng)度 為I的無(wú)質(zhì)量的剛性桿連接。對(duì)應(yīng)的約束方程為(X1 x2)2 (y1 y2)2 l2 0，那個(gè)約束方程只含有坐標(biāo)，因此是完整 約束。在這

36、種情形下，有4個(gè)坐標(biāo)和1個(gè)約束方程，因此自由度為3。為了得到獨(dú)立的廣義坐標(biāo)，能夠利用圖2無(wú)質(zhì)量剛性桿連接的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)那個(gè)約束方程從運(yùn)動(dòng)方程中消去一個(gè)坐標(biāo)。那個(gè)消去過(guò)程常常會(huì)遇到代數(shù)運(yùn)算的困難，因此專(zhuān)門(mén)少采納。 我們能夠另外查找獨(dú)立的廣義坐標(biāo)。例如能夠取桿中點(diǎn)的直角坐標(biāo)x, y和桿與x軸的夾角0這3個(gè)坐標(biāo), 它們是獨(dú)立的。我們差不多假設(shè)桿長(zhǎng)I是不變的，約束方程不顯含時(shí)刻，如此的約束是定常約束。若長(zhǎng)度 I 是時(shí)刻的函數(shù)，如此的約束為非定常約束。在一樣意義下，非定常約束是時(shí)變約束?，F(xiàn)在我們考慮一個(gè)非完整約束和系統(tǒng)，一個(gè)系統(tǒng)有m個(gè)約束，它們形如j 1 Ajdqj Aodt 0， i 1，m(26)然而是

37、不可積分的，式中，Aij和Ai0是坐標(biāo)qj(j 1, ,n)及時(shí)刻t的函數(shù)。這種約束是非完整約束。由 于它們不可積，由(26)不能得到形如(21)或(22)的約束方程，如此也就無(wú)法消去不獨(dú)立的變量，也就無(wú)法找 到一組獨(dú)立的廣義坐標(biāo)。因此，非完整系統(tǒng)總是要求比自由度更多的廣義坐標(biāo)數(shù)來(lái)描述其位形。作為非完整系統(tǒng)的例子，我們?cè)俅慰紤]圖 2所示的用無(wú)質(zhì)量的剛性桿連接的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，不同的地點(diǎn)在于 在兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)上各附加一個(gè)刀口支撐(圖3)，這種支撐只承諾質(zhì)點(diǎn)沿垂至于桿的方向運(yùn)動(dòng)，因此桿中心的速度 必須垂直于桿的方向，這導(dǎo)致下列約束方程xyta n或者cos dx sin dy 0(27)那個(gè)式子左邊不是恰當(dāng)微

38、分(全微分)，即沒(méi)有一個(gè)函數(shù)(x, y, 0 )存在，能使(27)式左邊成為圖3無(wú)質(zhì)量剛性桿連接的兩個(gè)刀口支撐的質(zhì) 占八、d dx dy d x y進(jìn)一步講，方程（27）也不能被任何整數(shù)因子相乘，得到恰當(dāng)微分，因此是不可積的。由數(shù)學(xué)分析理論可 知微分方程axdx aydy a d 0可積的充要條件是/ ay a 腆y 式中ax，ay (xax(28)ay, a0 是 x, y 禾口 B的函數(shù)。應(yīng)用那個(gè)準(zhǔn)則檢查方程（27）,我們可知它是不可積的。用無(wú)質(zhì)量桿連接的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)能夠講明完整系統(tǒng)和非完整系統(tǒng)的重要區(qū)不。關(guān)于在平面上運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)質(zhì) 點(diǎn)組成的系統(tǒng)（圖2）,自由度是4,對(duì)應(yīng)于4個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)

39、的位形空間是4維的。加上一個(gè)剛性桿約束，使系 統(tǒng)的自由度減少為3,系統(tǒng)只有3個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)的位形空間是3維的。在位形空間中的任何位形點(diǎn)差不 多上可達(dá)的。現(xiàn)在考慮非完整約束的阻礙，在各質(zhì)點(diǎn)上附加的刀口約束，使質(zhì)點(diǎn)只能沿垂直于剛性桿的方向運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)的自由度減少為2,然而所需要的最少的廣義坐標(biāo)數(shù)仍舊為 3。從位形空間的角度來(lái)看，3維的位形空間中的任一位形點(diǎn)都能夠由任何其他位形點(diǎn)到達(dá)。非完整約束的作用在于限制了在位形空間任一點(diǎn)承諾運(yùn) 動(dòng)的方向，然而這并不能減少位形空間的的維數(shù)。 虛功和虛功原理在分析力學(xué)中虛功是一個(gè)重要的概念，它與用能量方法推導(dǎo)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程直截了當(dāng)有關(guān)，同時(shí)是研 究系統(tǒng)穩(wěn)固性的一個(gè)

40、重要概念。因?yàn)樘摴Φ母拍钆c虛位移的概念緊密有關(guān)，因此我們第一研究虛位移的本 質(zhì)。為了引出虛位移的概念，我們考慮一個(gè)由N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)，其位形由系統(tǒng)在慣性系中的3N個(gè)直角坐標(biāo)x1，x2,，x3N給定，這些坐標(biāo)可能受有一些約束。在任一給定時(shí)刻，設(shè)諸坐標(biāo)產(chǎn)生無(wú)限小的位移S x1,S x2, S x3N,它們是一些虛擬和假想的位移，因?yàn)槲覀兗俣ㄟ@些位移不是發(fā)生在一個(gè)時(shí)刻過(guò)程中，同時(shí)不一定要與這些約束相一致.系統(tǒng)位形的這一微小改變Sx叫做虛位移。通常情形下，一個(gè)虛位移服從瞬時(shí)約束，即假定所有的動(dòng)約束(時(shí)變約束)在虛位移過(guò)程中部停滯下來(lái)。例設(shè)那個(gè)系統(tǒng)受到m個(gè)完整約束(29)jXM 如)0 , (j =

41、1, 2, m)取j的全微分，可得d j3N_xi -Ldt 0, (j = 1, 2, m)(30)xit一個(gè)服從這些約束的虛位移的各個(gè) Sx由下面k個(gè)方程關(guān)聯(lián)，即3Ni 1(j = 1, 2,k)(31)那個(gè)地點(diǎn)我們用S x代替了在方程(30)中的dx，同時(shí)略去dt項(xiàng)，因?yàn)樵谔撐灰破陂g時(shí)刻約束保持“固類(lèi)似的，假設(shè)系統(tǒng)受到 m個(gè)非完整約束，約束方程為(32):a。apt 0, (j = 1, 2, m)各Sx由下列m個(gè)方程有關(guān)聯(lián)，即3Ni 1 aji Xi0, (j = 1, 2,m)(33)這就顯現(xiàn)一個(gè)咨詢(xún)題，虛位移能否是實(shí)位移，實(shí)位移是由一組dx描述的，同時(shí)是在時(shí)刻增量dt內(nèi)發(fā)生的。換句

42、話講，在什么條件下，各S x能夠用相應(yīng)的dx替代？比較方程式(30)和(31)表明任何完整約束同時(shí)必須是時(shí)不變的，即條件亍。,(j = 1, 2, k)(34)必須適用。同樣地，任何非完整約束必須滿足條件ajt 0 , (j = 1, 2, m)(35)至此，對(duì)虛位移的討論所采納的是直角坐標(biāo)。現(xiàn)在來(lái)考察一個(gè)系統(tǒng)，其位形是由最少數(shù)目的廣義坐標(biāo) 給定的。如此，任何約束都能夠是非完整的，同時(shí)能夠表示為ajidqi ajtdt 0 , (j =1, 2, m)或者以另一種形式表示為i 1 ajiqi ajt 0, (j =1,2, m)其中各個(gè)a差不多上q和t的函數(shù)。 任何與約束相容的虛位移必須符合條

43、件爲(wèi)卩 qi 0, (j = 1, 2, m)現(xiàn)在我們?cè)谟懻撎摴Φ母拍?。讓我們?cè)倩氐接?1.11.17)(1.11.18)(1.11.19)N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)，其位形由系統(tǒng)在直角坐標(biāo)系中的3N個(gè)直角坐標(biāo)x1, x2, x3N給定。假定力的重量F1, F2, F3N作用在對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的正向。這些力在虛位移S x上的虛功S W為3NWj1FjXj(1.11.20)虛功表達(dá)式的另一種形式為NW Nj 1F j x j其中Fi是作月于第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力,(1.11.21)ri 是該質(zhì)點(diǎn)的位置向量，由向量表達(dá)式能夠看出，虛功與所采納 任何特定的坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，因此，這是假定運(yùn)動(dòng)是有關(guān)于慣性參考系來(lái)度量的在虛功的表

44、達(dá)式中，重要的是要認(rèn)識(shí)到在虛位移過(guò)程中假定各力都保持不變，即使是實(shí)際的力由于無(wú) 限小位移而發(fā)生急劇變化時(shí)亦如此。力隨位置而發(fā)生突變是可能的，例如在某些非線性系統(tǒng)中確實(shí)是如此。 值得注意的另一點(diǎn)是，虛功表達(dá)式被定義為對(duì)虛位移是線性的，換言之，虛功類(lèi)似于一次變分。現(xiàn)在來(lái)考察有約束系統(tǒng)，我們把作用于第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的合力分為主動(dòng)力Fi和約束力Ri,約束力的虛功為WciN1 Ri ri(1.11.22)經(jīng)常存在的多數(shù)約束隸屬于所謂無(wú)功約束。能夠如此來(lái)定義無(wú)功約束：無(wú)功約束是如此的雙面約束， 關(guān)于與約束相一致的任意虛位移，相應(yīng)約束力的虛功為零。能夠看出，關(guān)于只受有無(wú)功約束的系統(tǒng)，虛功 S Wc等于零，即iN1

45、Ri ri 0(1.11.23)式中的虛位移 S ri 與瞬時(shí)約束相一致。無(wú)功約束的例子有 (1)質(zhì)點(diǎn)間相互的剛性連接， (2)在無(wú)摩擦表面上的滑動(dòng)，和 (3)無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)接觸，即 純滾動(dòng)。下面詳細(xì)地來(lái)考察第一個(gè)例子。第一假定兩質(zhì)點(diǎn)由無(wú)質(zhì)量的剛桿相連，如圖 1.11.1所示，按照牛 頓第三定律.剛桿作用于質(zhì)點(diǎn) ml和m2上的力是大小相等、方向相反而且共線的。因而R2 = R2er = -R1(1.11.24)式中，er是沿著剛性桿方向的單位向量。進(jìn)一步講，由于桿是剛性的，二質(zhì)點(diǎn)的位移在桿的方向的重 量必定相等，或er S r1 = er S r2(1.11.25)因此約束力的虛功為零。關(guān)于在無(wú)

46、摩擦表面上的滑動(dòng)的物體，和無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)接觸的園盤(pán)，也可得到 相同的結(jié)論。除非作出相反的講明，在以后凡是討論約束時(shí)我們對(duì)約束力一詞應(yīng)講明為無(wú)功約束力。在諸如有摩擦 的滑動(dòng)約束情形，切向摩擦力歸并到主動(dòng)力Fi 一類(lèi)，而法向重量則按通常的方式作為無(wú)功約束力來(lái)處理。單面約束不歸入無(wú)功約束一類(lèi)，因?yàn)槟軌蛘业饺绱艘唤M許可的虛位移，單面約束力在這組虛位移中的 虛功不是零。在討論虛功原理時(shí)，將進(jìn)一步對(duì)此加以分析。虛功原理 虛功概念的重要應(yīng)用之一是在力學(xué)系統(tǒng)的靜平穩(wěn)研究方面，假設(shè)所考察的是具有N個(gè)質(zhì)點(diǎn)的平穩(wěn)系統(tǒng)，如果該系統(tǒng)處于靜平穩(wěn)，則關(guān)于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)，有Fi + Ri = 0(1.11.26)因此，所有的力在與約

47、束相一致的任意虛位移中所作的功是零，即NNNi 1(FiRi)rii 1Fi riRj幾 0如果我們假定所有的約束力是無(wú)功的，而且Ni 1Ri ri 0由式(1.11.27)和(1.11.28)可得到如下的結(jié)果:NWi 1Fi ri 0i 11 I(1.11.27)S ri是與約束相一致的可逆虛位移，因此(1.11.28)(1.11.29)這就證明了下述結(jié)論：如果受有無(wú)功約束的質(zhì)點(diǎn)系處于靜平穩(wěn)，則關(guān)于與約束相一致的任意虛位移, 主動(dòng)力的虛功等于零?，F(xiàn)在假定，同一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系初始是靜止的，但并非處于平穩(wěn)。因此，在一個(gè)或更多的質(zhì)點(diǎn)上必有凈力作 用，同時(shí)按照牛頓運(yùn)動(dòng)定律，質(zhì)點(diǎn)將開(kāi)始沿凈力的方向運(yùn)動(dòng)。由于

48、任何運(yùn)動(dòng)必定同約束(假定是固定的)相一致，我們總能夠沿每點(diǎn)實(shí)際運(yùn)動(dòng)的方向選取一組虛位移。在此情形虛功是正的，亦即W ：尸 r-iNiRi ri 0(1.11.30)反向的諸Sr將導(dǎo)致關(guān)于該系統(tǒng)的負(fù)功。然而，不論是什么情形，如果系統(tǒng)不是處于平穩(wěn)，總能夠找到 一組與約束相一致的虛位移，它將使得主動(dòng)力的虛功不是零。這些結(jié)果能夠概括為虛功原理：關(guān)于受有無(wú)功約束而初始處于靜止的平穩(wěn)系統(tǒng)，其靜平穩(wěn)的必要和充 分條件是諸主動(dòng)力在符合約束的任意虛位移中所作的虛功為零。達(dá)朗伯原理再來(lái)考察只有N個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)，并就每個(gè)質(zhì)點(diǎn)寫(xiě)出如下形式的方程：F- R- m-r-0 (i = 1, 2, N)(1.11.31)和往常

49、一樣，式中F-和Ri分不是施加在第-個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力和約束力。m-r-項(xiàng)具有力的量綱，叫做作用于第-個(gè)質(zhì)點(diǎn)的慣性力，其中mi是常質(zhì)量，而r-是有關(guān)于慣性參考考系的加速度。與慣性力不同，適應(yīng)地把F-和R-叫做真實(shí)力或?qū)嶋H力。因此，式(1.11.31)表明，作用于系統(tǒng)的每個(gè)質(zhì) 點(diǎn)上的全部真實(shí)力和慣性力之和等于零。這一結(jié)果稱(chēng)為達(dá)朗伯原理。在每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上全部力的和等于零如此 一個(gè)要求，類(lèi)似于靜平穩(wěn)的必要條件。由于虛功原理運(yùn)用于處在靜平穩(wěn)的系統(tǒng)，因而能夠?qū)⒃撛響?yīng)用于 那個(gè)包括慣性力在內(nèi)的力系。全部力在任意虛位移中所作的總功是WN1(Fi R- m-r-) r- 0(1.11.32)那個(gè)方程即達(dá)朗伯原理的

50、拉格朗日形式，它是經(jīng)典動(dòng)力學(xué)的最重要方程之一。由于在虛功原理的上述應(yīng)用中包括慣性力在內(nèi)，該原理的正確性就和對(duì)靜平穩(wěn)系統(tǒng)一樣，被推廣到動(dòng) 力學(xué)系統(tǒng)。要注意，方程(1.11.32)中不包括往往是末知的諸約束力，而僅僅要求主動(dòng)力Fi和諸S r與瞬時(shí)約束相一致，則該方程既適用于平穩(wěn)系統(tǒng)，也同樣適用于非平穩(wěn)系統(tǒng)。1.11.5廣義力在上面關(guān)于虛功的討論中差不多考察了主動(dòng)力(或是與它們等效的各正交重量)在某一虛位移中所做的 功。例如，若給定作用于具有 N個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)上的一組力F1, F2, F3N則這些力的虛功為(1.11.33),x3N經(jīng)由變換式3NWi1Fi ii 1 II現(xiàn)在假定，3N個(gè)直角坐標(biāo)x1,

51、 x2,x1 = x1(q1, q2, qn, t)x2 = x2(q1, q2, qn, t)(1.11.34)x3N = x3N (q1, q2, qn, t)與n個(gè)廣義坐標(biāo)q1, q2, qn有關(guān)。如果將此式微分，井令S t = 0 (由于我們考慮的是虛位移),Xj ；£qi(j= 1, 2,qix一樣地講，式中的系數(shù)2我們得到3N nXjj1F帀 qi,3N)(1.11.35)是各q和t的函數(shù)，將這些S xj的表達(dá)式代入式(33),得到w qi(1.11.36)我們用下式來(lái)定義廣義力Qi,(1.11.37)3NXjQi21Fj- , (i = 1, 2, n)jqi然后把式

52、(37)代入式 (36)，改變求和次序，得到W in1Qi qi(1.11.38)比較一下虛功表達(dá)式 (1.11.33)和 (1.11.38)，我們能夠看出它們?cè)跀?shù)學(xué)形式是相同的。前面我們差不多把各F定義為一樣的力重量，它們沿各 x正向作用于對(duì)應(yīng)的各X。由式(1.11.33)可見(jiàn)，F(xiàn)j也等于所有其它S x 都為零時(shí)在每單位S xj位移中的虛功。類(lèi)似地，我們能夠把廣義力 Qi看成作用于系統(tǒng)的所有F在每單位 S qi 位移中所做的虛功，但假定其它的 S q 差不多上零。那個(gè)地點(diǎn)我們通常假定虛位移足夠小，對(duì)系統(tǒng)幾 何形狀的阻礙微不足道，且在虛位移過(guò)程中各力都保持不變。廣義力的量綱取決于對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)

53、的量綱，然而不管如何， QiS qi 必定具有功或能的量綱。因此， 若 qi 代表線位移，則對(duì)應(yīng)的 Qi 是一樣的力。另一種情形，如果 qi 是角度，則對(duì)應(yīng)的 Qi 是力矩。在有些情 形，廣義坐標(biāo)可能用一種變異形式表示，在此變異形式中平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)都會(huì)在系統(tǒng)的不同部分顯現(xiàn)。在此情 形，如果取 qi 為一無(wú)量綱化的比，則對(duì)應(yīng)的 Qi 具有能量的量鋼。通常選取廣義坐標(biāo)的方式是使這些坐標(biāo)差不多上獨(dú)立的。然而，若有約束存在，那么在所要求的虛位 移中僅有一個(gè) S q 不等于零時(shí)，就要不計(jì)這些約束。這并不意味能夠不計(jì)其約束力，因?yàn)樵谶@些約束條件 下各力 R 也和 F 一樣對(duì)廣義力有所奉獻(xiàn)。例如，在非完整系統(tǒng)情

54、形就有廣義約束力顯現(xiàn)，因?yàn)椴豢赡苓x出 獨(dú)立的廣義坐標(biāo)，這些廣義約束力通常表示為拉格朗日乘子的形式。在論述虛功原理時(shí)，廣義力的概念是專(zhuān)門(mén)有用的。假定所考慮的是無(wú)初始運(yùn)動(dòng)的完整系統(tǒng)，它受有定 常的無(wú)功約束。如果系統(tǒng)的位形是用獨(dú)立的廣義坐標(biāo)來(lái)表示，則系統(tǒng)處于靜平穩(wěn)的必要與充分條件是主動(dòng) 力產(chǎn)生的全部 Q 都等于零。這誘使人們查找廣義慣性力的表達(dá)式，并在虛功原理中利用它們來(lái)導(dǎo)出動(dòng)力學(xué)普遍方程，亦將運(yùn)動(dòng)微 分方程以廣義坐標(biāo)和廣義力表示。這是一個(gè)能夠用來(lái)導(dǎo)出拉格朗日方程的有效途徑。1.11.6能量和動(dòng)量勢(shì)能 考慮一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它的位置由直角坐標(biāo)(x, y, z)給定，假設(shè)作用于該質(zhì)點(diǎn)的合力 F具有以下重量:(

55、1.11.39)也確實(shí)是講，它不是速度和時(shí)刻的函數(shù)。滿足此條Fx衛(wèi) Fy上Fz 丄xyz式中的勢(shì)能函數(shù)V(x , y, z)只是位置的單值函數(shù)，件的力眾所周知為保守力。dW = F dr = Fxdx + Fydy + Fzdz將式(39)代入，可得dW = fx由此可見(jiàn)，得(1.11.40)VVVdxdydz dV(x, y, z)xyz現(xiàn)在來(lái)考慮力F在無(wú)窮小位移dr中所作的功。有(1.11.41)BW F drABAdV Va VbdW是恰當(dāng)微分。下面來(lái)考察當(dāng)該質(zhì)點(diǎn)沿某路徑由點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)力F所作的功W?？?1.11.42)由于勢(shì)能僅是位置的函數(shù)，因而可作出下述結(jié)論：對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功依靠于初始和終了位置，但與聯(lián)接 這兩點(diǎn)的特定路徑無(wú)關(guān).如果A和B兩點(diǎn)重合，可進(jìn)一步得到下面的結(jié)論：沿任何封閉路徑所作的功是零。 因此，關(guān)于任何保守力F,有功和動(dòng)能 關(guān)于功和動(dòng)能，以及動(dòng)能定理，我們假定讀者差不多比較熟悉，因此不在贅述。需要指出的 是，力F可能是由任何來(lái)源所引起的。它不一定是保守的。此外，保持與質(zhì)點(diǎn)速度相垂直的力重量都不作 功，因而在應(yīng)用動(dòng)能原理時(shí)能夠