凸函數(shù)及其在證明不等式中的應(yīng)用

1、內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)論文 本本 科科 畢畢 業(yè)業(yè) 論論 文文 題 目 凸函數(shù)及其在證明不等式中的應(yīng)用 系 別 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)教師 吳開騰 評閱教師 班 級 2004 級 2 班 姓 名 冀學(xué)本 學(xué) 號 20040241064 2008 年 月 日內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)論文目目 錄錄摘要.IAbstract.I1 引言.12 凸函數(shù)的等價(jià)定義.12.1 凸函數(shù)三種定義的等價(jià)性的討論.22.1.1 定義定義 1 1定義定義 2 2.22.1.2 定義定義 1 1定義定義 3 3.42.2 判定定理與 JESEN 不等式.43性質(zhì).54 凸函數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用.7

2、4.1 利用凸函數(shù)定義證明不等式.74.2 利用凸函數(shù)性質(zhì)證明不等式.8結(jié)束語.11參考文獻(xiàn).11致謝.12內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)論文摘摘要要首先給出了凸函數(shù)的三個(gè)典型定義，分析了它們之間的關(guān)系，并證明了三種定義之間的等價(jià)性接著給出了凸函數(shù)的一個(gè)判定定理以及 Jesen 不等式然后討論了凸函數(shù)的幾條常用性質(zhì)，通過例題展示了凸函數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用凸函數(shù)具有重要的理論研究價(jià)值和實(shí)際廣泛應(yīng)用，利用凸函數(shù)的性質(zhì)證明不等式；很容易證明不等式的正確性因此，正確理解凸函數(shù)的定義、性質(zhì)及應(yīng)用，更對有關(guān)學(xué)術(shù)問題進(jìn)行推廣研究起著舉足輕重的作用在不等式證明中的應(yīng)用并舉例說明解題思路與證明方法，最后證明了幾個(gè)常見的

3、重要不等式并得到了幾種常用凸函數(shù)的形式關(guān)鍵詞凸函數(shù)，凸性不等式，jensen 不等式AbstractFirst has given the convex function three model definition， has analyzed between them the relations， and has proven between three kind of definition equivalence. Then has given a convex function determination theorem as well as the Jesen inequality.

4、Then discussed convex function several commonly used nature， has demonstrated the convex function in inequality proof application through the sample question. The convex function has the important fundamental research value and the actual widespread application， the use convex function nature proof

5、inequality;Very easy to prove the inequality the accuracy. Therefore， the correct understanding convex functions definition， the nature and the application， carry on the promotion to the related academic question to study the pivotal function. In the inequality proved that the application and explai

6、ns with examples the problem solving mentality and the certificate method， finally has proven several common important inequalities. And obtained several kind of commonly used convex function forms. Key words Convex function， convexity inequality， jensen inequality內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)論文01 引言引言凸函數(shù)是一類常見的重要函數(shù)，上世

7、紀(jì)初建立了凸函數(shù)理論以來，凸函數(shù)這一重要概念已在許多數(shù)學(xué)分支得到廣泛應(yīng)用例如在數(shù)學(xué)分析、函數(shù)論、泛函分析、最優(yōu)化理論等當(dāng)中常用的凸函數(shù)有兩種，一種叫上凸函數(shù)，即曲線位于每一點(diǎn)切線下方或曲線上任意兩點(diǎn)間的弧段總在這兩點(diǎn)連線上方的函數(shù)；另一種叫下凸函數(shù)，即曲線位于每一點(diǎn)切線的上方或曲線上任意兩點(diǎn)間的弧段總在這兩點(diǎn)連線下方的函數(shù)現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)教材中也都對函數(shù)的凸性作了介紹，由于各版本根據(jù)自己的需要，對凸函數(shù)這一概念作了不同形式的定義，本文介紹了凸函數(shù)的三種典型定義，討論了它們的等價(jià)性，并給出了利用凸函數(shù)的定義證明凸函數(shù)的簡單應(yīng)用凸函數(shù)在不等式的研究中尤為重要，而不等式證明最終歸結(jié)為研究函數(shù)的特性，所以

8、研究凸函數(shù)的性質(zhì)就顯得十分重要凸函數(shù)的性質(zhì)相當(dāng)多，已有很多文獻(xiàn)專門就函數(shù)凸性作了研究本文就凸函數(shù)的性質(zhì)介紹了幾條常用的性質(zhì)，并給出了證明；最后，重點(diǎn)介紹了凸函數(shù)的性質(zhì)在不等式證明中的應(yīng)用2 凸函數(shù)的等價(jià)定義凸函數(shù)的等價(jià)定義定義 11若函數(shù)對于區(qū)間內(nèi)的任意以及，恒有( )f x( , )a b12,x x(0,1)，1212(1)()(1) ()fxxf xf x則稱為區(qū)間上的凸函數(shù)( )f x( , )a b其幾何意義為：凸函數(shù)曲線上任意兩點(diǎn)間的割線總在( )yf x1122( ,(),(,()xf xxf x曲線之上定義 2若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，對于區(qū)間內(nèi)的任意，恒有( )f x( , )a

9、b( , )a b12,x x，12121()()()22xxff xf x則稱為區(qū)間上的凸函數(shù)( )f x( , )a b其幾何意義為：凸函數(shù)曲線上任意兩點(diǎn)間割線的中點(diǎn)( )yf x1122( ,(),(,()xf xxf x總在曲線上相應(yīng)點(diǎn)(具有相同橫坐標(biāo))之上定義 3若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可微，且對于區(qū)間內(nèi)的任意及，恒有( )f x( , )a b( , )a bx0 x，000( )()()()f xf xfxxx則稱為區(qū)間上的凸函數(shù)( )f x( , )a b內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)論文1其幾何意義為：凸函數(shù)曲線上任一點(diǎn)處的切線，總在曲線之下( )yf x以上三種定義中，定義 3 要求在內(nèi)是可導(dǎo)

10、的，定義 2 要求在( )yf x( , )a b( )f x上是連續(xù)的而定義 1 對函數(shù)則沒有明顯地要求實(shí)際上可以證明在定義( , )a b( )yf x1 中，函數(shù)在上是連續(xù)的而定義 1 和定義 2 兩個(gè)定義是否要求函數(shù)( )yf x( , )a b是可導(dǎo)的，則沒有提出如果加上可導(dǎo)的條件，則可證明三種定義是等價(jià)的( )yf x2.1 凸函數(shù)三種定義的等價(jià)性的討論凸函數(shù)三種定義的等價(jià)性的討論2.1.12.1.1 定義定義 1 1定義定義 2 2證明 定義 1定義 3，取， 由定義 1 推得定義 212定義 2定義 1首先，論證對于任意的及有理數(shù)，不等式 f x12,x xa b0,1， 12

11、1211fxxf xf x成立事實(shí)上，對于此有理數(shù)總可以表示為有窮二進(jìn)位小數(shù)，即，12121122220.2nnnnnnaaaaa aa其中或 1，由于也是有理數(shù)所以也可以表示為有0ia 1,2,1 ;1nina1窮二進(jìn)位小數(shù)，即，121211 222210.2nnnnnnbbbbbbb由于，有或 1，于是110ib 1,2,1 ;1ninb 12121,2,1iiiif a xb xa f xb f xin所以121fxx12121211211222222222nnnnnnnnnnaaaabbbbfxx內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)論文222221 112121122112222nnnnnnaabbf

12、 a xb xfxx23232312311 1121211222222()222nnnnnnnnnnaaaabbbba xb xxxf 22221112121122112222nnnnnnaabba f xb f xfxx 33111221221222211122122111221121221111*222222111222122nnnnnnnnnnnnaba f xb f xa f xb f xfxxa f xb f xa f xb f xaf xbf xa xb xf 111221221112211211122212nnnnnna f xb f xa f xb f xaf xbf xa f

13、 xb f x 12121211211212222222221nnnnnnnnnnaaaabbbbf xf xf xf x下面再論證對為無理數(shù)時(shí)定義 1 也成立事實(shí)上，對任意無理數(shù)， f x0,1存在有理數(shù)列，所以 0,1 ,nnn ，121211nnxxxxn 由于在內(nèi)連續(xù)，所以 f x, a b 12121212121lim1lim1lim11nnnnnnfxxfxxfxxf xf xf xf x綜上即知，定義 1 與定義 2 等價(jià)內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)論文32.1.22.1.2 定義定義 1 1定義定義 3 3證明 定義 1 定義 3：對內(nèi)任意的及，若，則取，使, a b0 xx0 xx0

14、h 于是，可以得到00 xxhx， 0000f xhf xf xf xhxx上式中令，由于可微，所以有，即0h f x 000f xf xfxxx若，則取，使，同理可證 000f xf xfxxx0 xx0h 0 xxhx定義 3定義 1：對于區(qū)間內(nèi)的任意（不妨設(shè)）以及，令, a b12,x x12xx0,1，則有，由泰勒公式，得12xxx1122211,xxxxxxxx及， 111f xf xfxx 222f xf xfxx其中，于是1122xxx 12122121111f xf xfxxxxff再進(jìn)一步由，所以即 21ff 121211f xf xfxx， 121211fxxf xf x最

15、后，由等價(jià)的傳遞性即知定義 2 與定義 3 也是等價(jià)的2.2 判定定理與 Jesen 不等式判定定理2設(shè)為區(qū)間上的二階可導(dǎo)函數(shù)，則在上為凸函數(shù)的充要條件是fIIf，( )0fxxI用定義直接來判斷一個(gè)函數(shù)是不是凸函數(shù)，往往是很困難的但用該判定定理來判斷一個(gè)光滑函數(shù)是否凸，則是相當(dāng)簡便的在實(shí)際應(yīng)用中常常先用導(dǎo)數(shù)來肯定函數(shù)的凸性，再反過來引出它必定滿足凸性不等式在許多證明題中，我們常常遇到一些不等式的證明，其中有一類不等式利用凸函數(shù)的性質(zhì)定理來證明可以非常簡潔、巧妙證明不等式就是凸函數(shù)的一個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域，但關(guān)鍵是構(gòu)造能夠解決問題的凸函數(shù)定理 (Jensen 不等式)3設(shè)函數(shù)在上處處二次可微，且:( ,

16、 ).fa bRf( , )a b內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)論文4 (對任意，則為上的凸函數(shù)，即對任意，及( )0fx( , )xa b( )f x( , )a bmN( , )kxa b成立如下不等式10,1mkkk， （1）11()()mmkkkkkkfxf x該不等式稱為 Jensen 不等式，該性質(zhì)是凸函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，也是定義的一般情況可以說，凸函數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用很大程度上是由 Jensen 不等式來體現(xiàn)的，因?yàn)槊總€(gè)凸函數(shù)都有一個(gè) Jensen 不等式，因而它在一些不等式證明中有著廣泛的應(yīng)用利用它可以推出常用的一些重要公式，為證明不等式開辟了一條新路注：由定理，經(jīng)簡單計(jì)算知下列函數(shù)

17、在其定義域上都是凸函數(shù)，從而都滿足不等式（1） （a）， （b）( )(1,2,3)if x i 11( )0,0)f xxaax （， （c）凸函數(shù)及其性質(zhì)在解題中有著21( )(0)fxxccx3( )(0)xfxxccx十分廣泛的應(yīng)用，下面試舉數(shù)例述之3性質(zhì)性質(zhì)利用函數(shù)的凸性來證明不等式，是一種重要的方法，通常需要構(gòu)造適當(dāng)?shù)耐购瘮?shù)，再運(yùn)用函數(shù)的凸性的定義及幾個(gè)等價(jià)論斷，可將一些初等不等式，積分不等式轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性態(tài)，從而使不等式簡化進(jìn)而得到證明函數(shù)的凸性是函數(shù)在區(qū)間上變化的整體性態(tài)，把握區(qū)間上整體性態(tài)，不僅可以更加科學(xué)、準(zhǔn)確的描繪函數(shù)的圖象，而且有助于對函數(shù)的定性分析凸函數(shù)是一類重要

18、的函數(shù)凸函數(shù)在不等式的研究中尤為重要，而不等式最終歸結(jié)為研究函數(shù)的特性，所以研究凸函數(shù)的性質(zhì)就顯得十分必要了性質(zhì) 14 設(shè)函數(shù)在區(qū)間為凸函數(shù)，則在區(qū)間也為凸函 f xx、gI f xx+gI數(shù)證明：因函數(shù)在區(qū)間為凸函數(shù)，從而12,0,1x xI f xx、gI，且 121211fxxf xf x 121211gxxg xg x于是有 12121122111fxxgxxf xg xf xg x因此在區(qū)間為凸函數(shù) f x +g xI內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)論文5性質(zhì) 2 設(shè)函數(shù)在區(qū)間為凸函數(shù)，則在區(qū)間為凸函 f xx、gI max,f xg xI數(shù)證明 ，因函數(shù)在區(qū)間為凸函數(shù)從而有12,0,1x xI

19、 f xx、gI， 121211fxxf xf x且 121211gxxg xg x令，則 max,F xf xg x1212121max1,1Fxxfxxgxx 1212max1,1f xf xg xg x 112212max,1max,1f xg xf xg xF xF x因此，在區(qū)間為凸函數(shù) max,F xf xg xI性質(zhì) 3 5設(shè)函數(shù)在區(qū)間為遞增的非負(fù)凸函數(shù)，則在區(qū)間 f xx、g, a b f xxg為凸函數(shù), a b證明 ，設(shè)，因?yàn)榉秦?fù)凸函數(shù)，由定理 3 知12,x xa b12xx f xx、g，在點(diǎn)連續(xù)，且,xa b f xx、gx， 12120()()22f xf xxxf

20、 12120()()22g xg xxxg因此在區(qū)間連續(xù)，因遞增，從而 f xxg, a b f xx、g 2121112212210f xf xg xg xf xg xf xg xf xg xf xg x且 21211212() ()2222f xf xg xg xxxxxfg 11221221221142f xg xf xg xf xg xf xg xf xg xf xg x內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)論文6由定義知在區(qū)間為凸函數(shù) f xxg, a b當(dāng)然凸函數(shù)的性質(zhì)還遠(yuǎn)不止施工述幾條，這里就不一一列舉4 4 凸函數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用凸函數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用41 利用凸函數(shù)定義證明不等式例 1

21、 求證：對任意實(shí)數(shù)，有, a b212a babeee證明 設(shè)，則，故為上的凸函 xf xe 0,fxx xf xe, 數(shù)從而對，由定義有121,2xa xb， 12121111(1)(1) ()2222fxxf xf x即212a babeee例 2 設(shè)，則有01,01xa1111aaxxx 證明 設(shè) ，那么 111aaf xxx01x 111111aaaafxaxxxax 1111211111111 1aaaaaaaafxaaxxaaxxaaxxa axx 11122111111aaaaaaaxxx xxxxx ，1122111111aaaaaaxxaaxx 于是時(shí)，01,01xa 0fx

22、由嚴(yán)格凸函數(shù)的定義，其中得12,1,0 x xx， 110110f xfxxx fxf即1111aaxxx 例 36 若為內(nèi)的凸函數(shù)，求證 f x, a b( , ),1,2,ixa b in內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)論文7 111()niniiixff xnn證明 對，不等式是顯然的，設(shè)對不等式成立，則因?yàn)?2,2nx1n，12121111nnnxxxxxxnxnnnn這里，由定義有1nn121,1nnxxxa bxa bn， 1111111()()1nniiniiniixxnfff xf xnnnnn例 4 若，則0,i1,2,in1212sinsinsinsinnnnn證明 令 ，由于則 ln

23、(sin)iif 0,i1,2,in 2sec0iif為上的嚴(yán)格凸函數(shù)，所以由例 3 的不等式有 f x0,，1111ln(sin)ln(sin)nniiiinn 即，由得12121ln(sin)ln(sinsinsin)nnnn1e ，1212sinsinsinsinnnnn上式等號僅在成立12n4.2 利用凸函數(shù)性質(zhì)證明不等式例 5 證明不等式： ，12221212212()nnnnxxxxxxx xxnn其中 10,1,2,xin證明 考慮對數(shù)函數(shù)，因?yàn)楣屎瘮?shù)是 ln0f xx x 210,fxx lnf xx上凸函數(shù)，由上凸函數(shù)的性質(zhì)，即得，1212121lnlnlnlnlnnnnnx

24、xxxxxx xxnn由對數(shù)性質(zhì)，即證明了 （2）1212nnnxxxx xxn內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)論文8又考慮函數(shù)，所以故也是上凸函數(shù)， 20g xxx 20gx 2g xx 由上凸函數(shù)的性質(zhì)，得，22221212()nnxxxxxxnn即 ，22221212()nnxxxxxxnn因此， 122212122()nnxxxxxxnn（3）綜合（2） ， （3）整個(gè)命題證明結(jié)束例 6 設(shè)均為正數(shù)，且求證：12n，121n22221212111(1)()()()nnnn證明考慮函數(shù)因?yàn)?，所以是下凸函?shù)，令 2,f xx 20fx 2f xx，由下凸函數(shù)的性質(zhì)，則有1111,xaa1,nnnxaa

25、2221212111()()()nnaaaaaa （4）12212111()nnaaaaaann，2121111(1)nnaaa由柯西不等式：得22222111()()()nnniiiiiiiaba b1212111111()() 1nnaaaaaa，21212111()nnaaanaaa于是有，并代入212111()nnaaa（4）式即得內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)論文9，22221212111(1)()()()nnnn證畢例 77 在中，求證ABC3 3sinsinsin2ABC證明 考慮函數(shù)，因?yàn)?，所以sin0yxxsin00yxx 在內(nèi)是上凸函數(shù)，由上凸函數(shù)的性質(zhì)有sinyx0,，sinsin

26、sinsin33ABCABC由于故ABC3 3sinsinsin2ABC例 88 設(shè)，則,iia bR1,2,in11nniiiiab21112nniiiiiiaaab證明 記則，取，易知，有判定定理知1niisa11niias 1,01f xxx( )0fx為凸函數(shù)，取，由于故由性質(zhì)得 f xiiibxa11nniiiiabs21111111211nniinniiiiiiiiiiaassssababsxxss例 9 設(shè)，有，其中，,0iia b 1,2,in1111nnnqpqiiiiiiiabab0,0pq111pq證明 令，因?yàn)?，由判定定理?,1,0pf xxpx 2(1)0pfxp

27、px，在上是嚴(yán)格凸函數(shù)，由 Jensen 不等式得到 ,1,0pf xxpx0,，今設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù)且，在上述表達(dá)式中以11()nnppiiiiiixx12,nu uu10niiu代替，得到1niiiuui1111()()()nnnpppiiiiiiiiu xu xu內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)論文10由題設(shè)知令，不妨設(shè)，代入上式便111pq1qpp1,qqiiiiiubxab10niib得不等式1111nnnqpqiiiiiiiabab特別地，取時(shí)得就到柯西不等式2pq22111nnniiiiiiiabab綜上所述，在不等式的證明中，巧妙地應(yīng)用凸函數(shù)的定義及性質(zhì)，就可使一些較復(fù)雜的不等式迎刃而解結(jié)束語結(jié)束語通過研究凸函數(shù)的幾種定義，分析它們之間的關(guān)系，證明了給出三種典型定義之間的等價(jià)性給出了凸函數(shù)的一個(gè)判定定理以及 Jesen 不等式然后討論了凸函數(shù)的幾條常用性質(zhì)，接著通過例題展示了凸函數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用凸函數(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域非常廣泛，主要是在不等式的證明中，運(yùn)用它解題顯得巧妙，簡練，通過對上述問題的證明，我們認(rèn)識到利用凸函數(shù)的定義、等價(jià)定義、性質(zhì)及判定定理證明不等式，關(guān)鍵是尋找合適的函數(shù)，