向量中的中點(diǎn)轉(zhuǎn)化與極化恒等式

1、極化恒等式【一 .式子結(jié)構(gòu)分析】rr 2r 2r rr 2，同理可以有：rr 2r 2r rr2.1.aba2abbaba2abb兩個(gè)式子相加可得：r2r2rr 2rr22 ababab,這個(gè)說明平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和， 也等于鄰邊的平方和的兩倍，由此可得三角形的中線長公式：ma12 b2c2a2 （必修五課2本 20頁）.rr 2r2r rr2，同理可以有：rr 2r2r rr 2.2.aba2abbaba2abb兩個(gè)式子相減可得：一題考查了 .rrrr2rrababab42,這個(gè)叫 極化恒等式 ， 2017 年全國甲卷理科選擇最后r2r 2這樣的式子，一般r2r2rr r

2、r3. 很多時(shí)候我們也會(huì)遇到 abab(ab)( ab ) ，類似于平方差公式，實(shí)質(zhì)上同 2 差不多【二、極化恒等式】和數(shù)學(xué)上很多經(jīng)典的公式定理一樣，極化恒等式也并沒有那么神秘，甚至說是很基本 . 回憶必修四 105 頁例 2rr 2r2r rr2，同理可以有：rr 2r2r rr2.aba2abbaba2abbr2r2rr 2rr兩個(gè)式子相加可得： 2 ababab2,這個(gè)說明平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和， 也等于鄰邊的平方和的兩倍，由此可得三角形的中線長公式：ma12 b2 c2a2 （必修五課2本 20頁）.兩個(gè)式子相減可得：考查了 .rrrr 2rrababab42,這個(gè)叫

3、 極化恒等式 ，2017 年全國甲卷理科選擇最后一題極化恒等式的幾何意義是:向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線 ”與“差對(duì)角線 ”平方差的1r r1(AD2BC2).，即 a b44在三角形中，也可以用三角形的中線來表示，即r rAM212，他揭示了三角形的中線與邊長的a bBC4關(guān)系 .下面通過幾道題目，來分析極化恒等式 的妙用 .ABC 中， M 是 BC 的中點(diǎn)， AM3,BCuuur uuur4.在10 ，則 AB AC _.uuuruuuruuuruuur2uuuruuur2uuuur 2uuur 2解析：ABAC( ABAC)BC16AB AC4AM4事

4、實(shí)上， 類似的問題時(shí)有看到，只是很多時(shí)候用其他的方法取代了“極化恒等式 ”，或在無意中使用 “極化恒等式 ”.ABC 中， D 是 BC 的中點(diǎn)， AB2, ACuuuruuur在3，則 ADBC_.uuuruuur解析：uuuruuurABACuuuruuur1uuur 2uuur 25ADBC2( ABAC )( ABAC).22MN2uuuur uuur5.在 RtABC 中， CA CB 3， M，N 是斜邊 AB 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則 CM gCN 的取值范圍為 _.uuuuruuuruuuuruuur 2uuuuruuur 2解析：設(shè) MN 的中點(diǎn)為 D，則1gCMCNCMCNCM

5、 CN41uuuruuuur 2uuur 2122CDMNCD4, 642uuuruuuruuur類題： ABC 中，AC BC，AB 3，AC1，D 為 BC 的中點(diǎn)， F 為線段 AD 上任意一點(diǎn)， 求 AF g FBFC的最大值 .uuuruuuruuuruuuruuurggg解析：AFFBFC，AF 2FD2AF FD因 AFFDAD3，故當(dāng) AFFD3uuuruuuruuur32時(shí)， AF g FBFC取最大值.26.（ 2017 年高考全國卷理12）uuuruuuruuurABC 是邊長為已知2 的等邊三角形， P 為平面 ABC 內(nèi)一點(diǎn)，則 PA ( PBPC) 的最小值是A.2

6、B.3C.4D.123解法分析思路一：建系，將向量運(yùn)算坐標(biāo)化解法 1：如圖1，建立平面直角坐標(biāo)系xOy ， A 0,3，B 1,0 ，C 1,0，設(shè) P x, y，uuurx,3yuuuruuur1x,y1x,y2 x,2y ，所以則 PA， PBPCuuuruuuruuur22 y y3 2 x2y333 ，PAg PB PC 2x2222當(dāng)且僅當(dāng) x0， y332，即 P 為 AO 的中點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，則所求最小值為，選 B.2yAPxBOC圖 1uuuruuuruuuuruuuruuuruuuruuuruuuuruuur uuuur思路二：取 BC 中點(diǎn) M，將 PBPC 轉(zhuǎn)化為 2PM ，

7、則 PAg PBPCPAg2PM2PAgPM ，怎uuuruuuur么求 PAgPM 的最小值呢？如圖 2，設(shè) AM 的中點(diǎn)為 N，則uuur uuuur1uuuruuuur 2uuuruuuur 21uuur2uuur2uuur 233PAgPMPAPMPAPM2PNMAPN444，uuur 2uuur uuuur4當(dāng)且僅當(dāng)，即 P 與 N 重合（ P 為 AM 的中點(diǎn)）時(shí)取等號(hào)，故3PN0PA PM 的最小值為，所求最小g4值為 233，選 B.42uuuruuuuruuuruuuur1uuuruuuur2uuuruuuur2注：（ 1）轉(zhuǎn)化 PA PM 時(shí)用到了極化恒等式PAgPMPAP

8、MPAPM，其一般形式g4r r1 rr 2rruuur uuuur2為ababPAgPMa b；（2）也可這樣轉(zhuǎn)化：g4uuur uuuuruuuruuuruuuruuuuruuuruuuruuuruuuruuur 2uuur 2 uuur 23PAgPMPNNA g PNNMPNNA g PNNAPNNAPN.4APNBMC圖 2類題：已知?jiǎng)狱c(diǎn) M 是腰長為2 的等 腰直 角三角形ABC （C 為 直角） 的三 邊上的 動(dòng)點(diǎn) ，則uuuruuuruuuur(MA + MB ) MC 的取值范圍是（）A1B0,41,4D 2,4,0C22答案： Cuuuuruuuuruuuruuuruuuu

9、r解析：取 AB 中點(diǎn) D， CD 中點(diǎn) E，則 ( MA+MB ) MC2MD MC21uuuuruuuur 2uuuuruuuur 2uuur 2uuur 2uuur 21MDMCMDMC1 4MECD2ME42如圖，在凸四邊形中，uuuruuur，BDuuuruuur， O 是的中點(diǎn)，且AO3OC，則7. *ABCDABAD6 BD6uuur uuurCB CD 等于（）118C228A B 3D 593uuuruuuruuuruuur2uuuruuur解析： ABAD( AB+AD)( ABAD)4uuur uuuruuuruuur2uuuruuur2uuurCB CD(CB +CD

10、)( CBCD )CO42uuur 2uuur 2uuur 24 AODB4AO96222.938. * （ 2013 年浙江高考理）ABC 中 P0 是邊 AB 上一定點(diǎn)，滿足P0 B1AB ，且對(duì)于邊 AB 上任取4uuur uuuruuur uuur的一點(diǎn)P，恒有，則 ()0PB PCP0B PCA ABC900B BAC900C ABACD ACBC【答案】 D解析： 法 1：【將式子轉(zhuǎn)化為與某一個(gè)變量有關(guān)系的式子，即函數(shù)式.由已知條件，當(dāng)PB1AB 時(shí)，函數(shù)式子取最大值】4設(shè) PBx, BCa，作 CHAB ，則 BHa cosB .Cuuuruuuruuuruuuruuuruuur

11、 2uuuruuurx2xa cosB則PB PCPB (PBBC)PBBP BC由題意，當(dāng)且僅當(dāng)x11BH1有最小值 .ABa cosB2AB 時(shí)，上式H24此時(shí)， H 也為 AB 的中點(diǎn)，故ACBC .法 2：由題意，設(shè)H，在 AB 上任取一點(diǎn)P，設(shè)|AB |=4，則|P0B|=1，過點(diǎn) C 作 AB 的垂線，垂足為HP0=a，則由數(shù)量積的幾何意義可得， PB ?PC =|PH | PB |=(|PB |- (a+1)| PB |， P0 B?P0C=- |P0H |P0B|=- a，于是 2- (a+1)|00| PB|PB |+a0恒成PB ?PC P B?P C恒成立，相當(dāng)于 (|P

12、B |- (a+1)| PB | a-恒成立，整理得立，只需 ?=(a+1)2- 4a=(a- 1)20即可，于是 a=1，因此我們得到HB=2 ，即 H 是 AB 的中點(diǎn)，故 ABC是等腰三角形，所以 AC=BC法 3：如圖建系，設(shè) B(b,0), C ( xC , yC ), P( x,0) ，yCuuur uuurPB PC x2(b xC )xbxC ，當(dāng)且僅當(dāng) xbxCbxCbAB2時(shí)，上式取最小值，此時(shí)2，故 AC BC.Px4法 4：以 AB 中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建系也可，同法2.rrrrrr法 5: 極化恒等式4ab=(ab)2( ab)2uuuruuuruuuruuuruuuruu

13、ur22如圖，取線段BC 的中點(diǎn) M ，則 4PB PC=(PBPC)2( PBPC)24PMBC ，uuuruuuruuuur要使得 4PBPC 的值最小， 只需 4 PM2取最小值 .因?yàn)?P 是線段 AB 上動(dòng)點(diǎn)， 所以只有當(dāng)PMABuuuur時(shí)， PM 取得最小值，且點(diǎn)P 與點(diǎn) P0 必須重合， M 是線段 BC 的中點(diǎn)，只有AC=BC 時(shí)才能成立 .rrrrrr9.* （ 2012 年安徽卷）若平面向量a,b 滿足 2ab 3，則 ab 的最小值是 _.r r1rr 2rr 21rr29解析： 2a b4(2 ab)(2 ab)4(2 ab).r4r9 .所以 ab 8uuuruuu

14、r設(shè) P 是半徑為AB10.1 的圓上一動(dòng)點(diǎn)，若該圓的弦3，則 APAB 的取值范圍是 _ .答案：3333,22uuur uuur變式（經(jīng)典好題）：已知圓半徑為1，圓上的弦 AB 長為 1，P 為圓上的動(dòng)點(diǎn)， PA PB 的最大值是 （）3313C.33D.13A.B.222222解： 法 1：全部與圓心聯(lián)系起來，基本定義uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur 2uuuruuuruuur uuur設(shè) AB 中點(diǎn)為 D ， PA PB=(POOA) (POOB)PO2PO ODOA OB1uuuruuur133 cosuuuruuur，2PO OD22PO, ODuuur u

15、uuruuuruuur33 cos PO, OD1,1， PA PB 的范圍為 3,3.22法 2：建立坐標(biāo)系，需要用到輔助角公式以 O 點(diǎn)為原點(diǎn)， OA 為 x 軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(1,0), B(1 ,3 ) ，22（也可設(shè)點(diǎn) A(3 ,1), B(3 ,1 ) ）2222設(shè) P(cos,sin),02uuur(1cos,sinuuur( 1cos , 3 sin ),，則 PA), PB22uuuruuur(1cos)( 1cos) (sin)(3sin )PA PB2233 cos3 sin33(3 cos1 sin)33sin()22222223 1 sin()3333sin

16、()33 ，1，22323uuur uuur3, 3故 PA PB的范圍為 33.22法 3：建立坐標(biāo)系， 設(shè)點(diǎn) A(3,1),B( 3,1) ， P( x, y) ，2222uuuruuur33xPA PB2法 4：轉(zhuǎn)化為求三角形的面積的最大值，使用余弦定理和基本不等式uuuruuuruuuruuurAPBuuuruuur03uuuruuurPA PBPAPB cosPAPB cos302PAPB ，uuuruuur222PAPBABPA PB1根據(jù)余弦定理和基本不等式PAPB cos300，22法 5：轉(zhuǎn)化為求三角形的面積的最大值，使用余弦定理和基本不等式求3 uuuruuurP 到 AB

17、 距離的最大值PAPB 的最大值也即求三角形的面積的最大值，也即求點(diǎn)2法 6：與三角形中點(diǎn)聯(lián)系起來uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur設(shè) AB 中點(diǎn)為 D ， 則 PA PB=(PDDA) (PDDB) =(PDDA) (PDDA)uuur 2uuur 2uuur 21PDDAPD4uuur3 ,1uuur uuur3, 3易知， PD 的范圍是 13，故 PA PB的范圍為 33.222211.* （ 2011 年浙江卷）已知直線AB 與拋物線y24x 交于點(diǎn) A, B ，點(diǎn) M 為 AB 的中點(diǎn)， C 為拋物線uuuuruuuuruuruuur上

18、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若C0 滿足 C0 A C0Bmin CA CB，則下列一定成立的是（）uuuuurA. C0MABB. C0Ml ，其中 l 是拋物線過 C0 的切線C.C0A C0 BD. C0M AB答案D解析如圖所示， 極化恒等式CA·CB (AM CM ) ·(BM CM ) 221 2 CM (BM AM) ·CM AM·BMCM 4AB ，當(dāng)直線AB 一定時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng) |CM |取得最小值時(shí)，使得D.只有當(dāng) CM l 時(shí)， |CM |取得最小值，故選CA·CB取最小值，【注】本題實(shí)質(zhì)上就是求拋物線上一點(diǎn)到其內(nèi)一點(diǎn)距離的最小值下面用兩種方

19、法來證明，法 1：幾何分析法， 只需證明 CM 不與 l 垂直時(shí)，有比CM 還要短的 .這一招太聰明了，如果直接證明CM 最短很不好證 .設(shè)過點(diǎn) C 的切線為 l,此時(shí) C M 不與 l 垂直，作 MHl ，交拋物線于點(diǎn) C1 .則 MCMHMC1 MC .法 2：求導(dǎo)運(yùn)算CM 2( x x0 )2( y y0 )2x22x0 x x02y22 y0 y y02y22y2y22y 22x02y222y22f ( y)22x02 y0 y y022x0x02 y0 y y02f ( y)y32(1x0 ) y2 y00時(shí)，上式有最小值？【注】此處如何整理出CM CA 時(shí)，yy011 ，整理得 y

20、32(1x0 ) y 2y0 0 ，兩條件相同 .xx0y12. 已知圓 O 的半徑為 2， P, Q 是圓 O 上任意兩點(diǎn)，且POQ600， AB 是圓 O 的一條直徑，若點(diǎn)Cuuur(1uuuruuuruuruuur滿足 OC)OPOQ ，則 CA CB 的最小值是（）A 1B 2C 3D 4uuruuuruuur(1uuuruuurCO24解析：由 OC)OPOQ得，點(diǎn) C在PQ上， CA CB易得當(dāng)且僅當(dāng) C為 PQ 中點(diǎn)時(shí)， CO 有最小值1 .變式： 已知圓 O的半徑為2， P, Q 是圓 O 上任意兩點(diǎn)，且POQ600 ， AB 是圓 O 的一條直徑，若點(diǎn)uuur(uuuruuu

21、ruur uuurC滿足OC1)OPOQ ，則CA CB 的最小值是（）A 1B 2C 3D 4uuuruuuruuur(uuuruuur(1uuuruuur解析：設(shè) OPOP ，所以 OC1)OPOQ)OPOQ ，uuruuurCO24點(diǎn)C在PQ上，CA CB易得當(dāng)且僅當(dāng) C 為 PQ 中點(diǎn)時(shí)， CO 有最小值3 .【三 . 三角形向量中線公式和中點(diǎn)轉(zhuǎn)化】13. * 點(diǎn)O是ABC 的三邊中垂線的交點(diǎn)，a，b，c 是角 A，B，C 的對(duì)邊，已知 b22bc20,1 b 3，uuur uuur則 BC gAO 的范圍是 _解析： O 是ABC 的外心，設(shè)BC 中點(diǎn)為 M ，則 OMBCuuuru

22、uuruuuruuuuruuuuruuuruuuuruuuruuur 1uuuruuur122)2b .BC gAOBC g( AMMO )BC gAM( ACAB) g( ACAB)(bcb22因?yàn)?b22b c20 ，所以 c22bb20，所以 0b2，又1b3，所以 1b 2 .uuuruuur0，2） .所以 BC gAO 的范圍是（14. 已知圓 C : x2y21 ，點(diǎn) P( x0 , y0 ) 是直線 l : 3x2 y40上的動(dòng)點(diǎn)， 若在圓 C 上總存在兩個(gè)不同uuuruuuruuur的點(diǎn) A,B，使 OAOBOP ，則 x0 的取值范圍是（）A (0, 24)B (24 ,0

23、)C (0, 13 )D (0, 13 )13132412答案： Auuuruuuruuur【解析】 法 1：如圖， OAOBOP ； OP 與 AB 互相垂直平分，圓心到直線AB 的距離x022y021； x02y024 ；又 3x02 y04 0 ； y023 x0 ，23 x0224代入得： x0224 ；解得0x0；213 x0 的取值范圍是 (0, 24) 故選： A 13法 2： OP=2 時(shí)，是臨界狀態(tài)，求出即可 .15.* 在 ABC 中，D 是 BC 邊上任意一點(diǎn) （D 與 B ，C 不重合），且 AB22+ BDDC ，則 ABCAD一定是（）A 直角三角形B銳角三角形C等腰三角形D等邊三角形AB22uuur 2uuur 2解析：類似于平方差公式，AD 表示成向量的平方ABAD，可以轉(zhuǎn)化運(yùn)算uuur 2 uuur 2uuuruuuruuur 2uuur 2uuuruuuruuuruuuruuur0，故是等腰，選C.AB