旋轉模型專題

1、旋轉模型專題一、等線段共點等邊三角形共頂點共頂點等腰直角三角形共頂點等腰三角形共頂點等腰三角形二、按圖形分類1、等腰三角形，2 、等邊三角形，3 、等腰直角三角形，4、正方形三、按模型分類1、手拉手模型2、角含半角模型3 、對角互補模型4、與勾股定理結合5、費馬點問題精品文庫例題精講一、手拉手模型1、已知：如圖，點 C 為線段 AB 上一點，ACM 、 CBN 是等邊三角形常見結論：（1） ANBMN（2） CDCEM F（ 3） CF 平分 AFB（ 4） CDE 是等邊三角形DE（ 5） AFM=60° 且保持不變ACB2、如圖，在凸四邊形 ABCD 中， BCD 30 , DA

2、B60 ，AD AB 求證： AC2CD 2BC 2CBAD3、已知 ABC ，以 AC 為邊在 ABC 外作等腰 ACD ，其中 ACAD 。如圖，若DAC2 ABC， ACBC ，四邊形 ABCD是平行四邊形，則ABC _如圖，若ABC30 ， ACD 是等邊三角形， AB 3 ， BC4 ，求 BD 的長；如圖，若 ACD 為銳角，作222AH BC于 H ，當 BD4 A HBC時，D A C 2A B是C否成立？若不成立， 請說明你的理由； 若成立，證明你的結論。DADADABCBCBHC歡迎下載2精品文庫二、角含半角模型4、已知：如圖 1 在 Rt ABC 中，BAC90 ， AB

3、AC ，點 D 、 E 分別為線段 BC上兩動點，若 DAE 45 探究線段 BD 、 DE 、 EC 三條線段之間的數量關系小明的思路是：把 AEC 繞點 A 順時針旋轉 90 ，得到 ABE ，連結 E D ，使問題得到解決請你參考小明的思路探究并解決下列問題： 猜想 BD 、 DE 、 EC 三條線段之間存在的數量關系式，并對你的猜想給予證明； 當動點 E 在線段 BC 上，動點 D 運動在線段 CB 延長線上時，如圖2，其它條件不變，中探究的結論是否發(fā)生改變？說明你的猜想并給予證明AACDCBDBEE圖1圖 25、在正方形 ABCD 中，點 E、F 分別在邊 BC、CD 上，且 EAF

4、= CEF=45°，（ 1）將 ADF 繞著點 A 順時針旋轉 90°，得到 ABG ，如圖 1，求證： AEG AEF ；（ 2）若直線 EF 與 AB 、AD 的延長線分別交于點 M,N ，如圖 2，求證： EF2ME2 NF2（ 3）將正方形改為長與寬不相等的矩形，若其余條件不變，請你直接寫出線段EF，BE，DF 之間的數量關系。ADFBEC歡迎下載3精品文庫6、在等邊ABC 的兩邊 AB，AC 所在直線上分別有兩點M，N，D 為ABC 外一點，且 MDN60 ， BDC 120 ， BDCD ，探究：當點 M，N 分別愛直線AB，AC 上移動時， BM，NC，MN

5、之間的數量關系及AMN 的周長與等邊ABC的周長 L 的關系如圖，當點M，AC上，且 DM=DN 時， BM，NC，MN之間的N在邊 AB數量關系式 _；此時 Q =_L如圖，當點M，AC上，且DM DN 時，猜想(1)問的兩個結論N在邊AB還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；如圖，當點M，N 分別在邊，CA 的延長線上時，若 AN=x，則ABQ=_(用 x，L 表示 )AANNAMNMBCBCBCMDDD圖（ 1）圖（ 2）圖（ 3）歡迎下載4精品文庫三、對角互補類7、已知： MAN ， AC 平分MAN 在圖 1中，若 MANDCB90 ，證明： ABAD2AC 在圖 2中，若 MAN120

6、 ， DCB 60 ，探究 AB 、 AD 、 AC 三者之間的數量關系，并給出證明；在圖 3中：若 MAN（ 0180 ）， DCB180，則 AB AD _ AC（用含的三角函數表示 ,直接寫出結果，不必證明）NMMDCCDCMDNAABNBAB圖1圖2圖 38、如圖 1，正方形 ABCD 和正方形 QMNP ，M 是正方形 ABCD 的對稱中心， MN 交AB于F，QM 交AD于E猜想： ME 與 MF 的數量關系如圖 2，若將原題中的“正方形”改為“菱形” ，且MB ，其它條件不變，探索線段 ME 與線段 MF 的數量關系，并加以證明如圖 3，若將原題中的“正方形”改為“矩形” ，且

7、AB : BC1: 2 ，其它條件不變，探索線段 ME 與線段 MF 的數量關系，并說明理由如圖 4，若將原題中的“正方形”改為平行四邊形，且MB， AB:BCm ，其它條件不變，求出 ME : MF 的值（直接寫出答案）CBCBCBCBMMFMF NMFNAEFENDEEADANDADQQQQPPPP圖4圖 1圖 2圖3歡迎下載5精品文庫四、直角三角形斜邊中點9、在等腰直角ABC 中， ACB 90， ACBC，M 是 AB的中點，點 P從 B出發(fā)向C運動， MQMP 交 AC 于點 Q ，試說明MPQ 的形狀和面積將如何變化AMQCP B10、等腰直角三角形 ABC ， ABC90 ，AB

8、2 ，O為 AC中點，EOF 45 ，求BEF 的周長AOEBFC11、已知 RtABC 中，AC=BC，C=90°，D 為 AB 邊的中點， EDF=90°，EDF繞 D 點旋轉，它的兩邊分別交AC、CB（或延長線）于 E、F當 EDF 繞 D 點旋轉到 DEAC 于 E 時（如圖 1），易證S DEF1S CEFS ABC2當 EDF 繞 D 點旋轉到 DE 和 AC 不垂直時，在圖 2 和圖 3 這兩種情況下， 上述結論是否成立 ? 若成立，請給予證明；若不成立， S DEF ,SCEF , S ABC又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明AAADEDDECBF

9、CFBCFB圖 1E圖 3圖 2歡迎下載6精品文庫歡迎下載7精品文庫五、等線段共點12、如圖所示， P 是等邊 ABC 內部一點， PC 3 ， PA 4 ， PB 5 ，求 ABC 的邊長 .S BPC=,S ABP=,S APC=,S ABC=,BBPPACAC13、 P 為等邊ABC 內一點，APB113 ，APC123 ，求證：以 AP 、 BP 、CP 為邊可以構成一個三角形，并確定所構成的三角形的各內角的度數.APBC14、如圖， P 為正方形 ABCD 內一點， PA1，PD2，PC3，將PAD 繞著 D點按逆時針旋轉 90 到DCM 的位置（ 1）求APD 的度數。(2)求正方

10、形的邊長ABPDCM歡迎下載8精品文庫歡迎下載9精品文庫六、費馬點問題15、閱讀下列材料對于任意的ABC ，若三角形內或三角形上有一點P ，若 PAPBPC 有最小值，則取到最小值時，點P 為該三角形的費馬點。若三角形內有一個內角大于或等于120 ，這個內角的頂點就是費馬點若三角形內角均小于120 ，則滿足條件APBBPCAPC120 時，點 P 既為費馬點解決問題：如圖， ABC 中，三個內角均小于 120 ，分別以 AB 、AC 為邊向外作等邊ABD 、ACE ，連接 CD 、 BE 交于點 P ，證明：點 P為ABC 的費馬點。( 即證明 APBBPCAPC 120 ) 且PA PB P

11、C CDDAEPBC如圖，點 Q 為三角形內部異于點P 的一點，證明： QAQCQBPAPBPCDAEPQBC若ABC30 ， AB3 ， BC4 ，直接寫出 PAPBPC 的最小值歡迎下載10精品文庫16、如圖，四邊形 ABCD 是正方形， ABE 是等邊三角形， M 為對角線 BD 上任意一點，將 BM 繞點 B 逆時針旋轉 60 得到 BN ，連接 AM 、 CM 、 EN 求證：AMB ENB當 M 點在何處時，AMCM 的值最??；當 M 點在何處時，AMBMCM 的值最小，并說明理由；當 AMBMCM 的最小值為31 時，求正方形的邊長ADNEMBC17、閱讀下列材料：小華遇到這樣一

12、個問題，如圖1,ABC中， ACB=30o，BC=6， AC=5，在 ABC內部有一點P，連接 PA、 PB、 PC，求 PA+PB+PC的最小值 EDADAAPPCBBC BC圖 1圖 2圖 3小華是這樣思考的：要解決這個問題，首先應想辦法將這三條端點重合于一點的線段分離，然后再將它們連接成一條折線，并讓折線的兩個端點為定點，這樣依據“兩點之間，線段最短”，就可以求出這三條線段和的最小值了他先后嘗試了翻折、旋轉、平移的方法，發(fā)現通過旋轉可以解決這個問題他的做法是，如圖2，將 APC繞點 C順時針旋轉60o ，得到，連接、 ，則的長即為所求EDCPD BEBE（ 1）請你寫出圖 2 中， PA

13、+PB+PC的最小值為；（ 2）參考小華的思考問題的方法，解決下列問題：如圖 3，菱形 ABCD中， ABC=60o，在菱形 ABCD內部有一點 P，請在圖 3 中畫出并指明長度等于PA+PB+PC最小值的線段（保留畫圖痕跡，畫出一條即可） ；若中菱形ABCD 的邊長為4，請直接寫出當歡迎下載11精品文庫PA+PB+PC值最小時 PB的長歡迎下載120 ，小于或精品文庫七、最值問題18、已知： PA2 ， PB 4 ，以 AB 為一邊作正方形 ABCD ，使 P 、 D 兩點落在直線 AB的兩側.如圖，當 APB45 時，求 AB 及 PD 的長；當 APB 變化，且其它條件不變時，求 PD

14、的最大值及相應APB的大小 .DCAPB19、如圖，已知ABC 是等腰直角三角形，BAC =90°，點 D 是 BC 的中點作正方形 DEFG ，使點 A 、 C 分別在 DG 和 DE 上，連接 AE 、 BG 試猜想線段 BG 和 AE 的數量關系，請直接寫出你得到的結論將正方形 DEFG 繞點 D 逆時針方向旋轉一定角度后（旋轉角度大于等于 360°），如圖，通過觀察或測量等方法判斷 （ 1）中的結論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由若 BCDE2 ，在的旋轉過程中，當AE 為最大值時，求AF 的值FGFGAAEBDCEBDC歡迎下載13精品文庫八、綜合應用20、已知：在 Rt ABC 中， ABBC ，在 Rt ADE 中， ADDE ，連結 EC ，取 EC 的中點 M ，連結 DM 和BM 若點 D 在邊 AC 上，點 E 在邊 AB 上且與點 B 不重合，如圖，探索 BM 、 DM的關系并給予證明； 如果將圖中的ADE 繞點 A 逆時針旋轉小于45 的角，如圖，那么中的結論是否仍成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給予證明BEBEMDMCAACD圖 1圖22