因式分解知識點歸納

1、因式分解知識點回顧1、 因式分解的概念：把一個多項式分解成幾個整式的積的形式，叫做因式分解。因式分解和整式乘法互為逆運算2、常用的因式分解方法：（1）提取公因式法：ma mb mc m(ab c)（2）運用公式法：平方差公式： a 2b2( a b)(a b) ；完全平方公式：a22ab b2(a b) 2（3）十字相乘法： x 2(a b) x ab ( xa)( xb)因式分解的一般步驟：（ 1）如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；（ 2）提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或十字相乘法；（ 3）對二次三項式，應先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。（ 4）最后考慮用

2、分組分解法5、同底數(shù)冪的乘法法則：am ganam n （ m,n 都是正整數(shù)）同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。注意底數(shù)可以是多項式或單項式。如： (a b)2 g(a b) 3( ab)56、冪的乘方法則：(am )na mn （ m, n 都是正整數(shù)）冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。如：( 35)2310冪的乘方法則可以逆用：即a mn(a m ) n(a n ) m如： 46(42 )3(43)27、積的乘方法則：(ab) nan bn （ n 是正整數(shù)）積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積。如：（2x3 y 2 z) 5 =( 2) 5 ?( x3 )5 ? ( y 2 )5 ? z532 x

3、15 y10 z58、同底數(shù)冪的除法法則： a ma nam n （ a 0, m, n 都是正整數(shù)，且 m n)同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。如：(ab) 4(ab)( ab) 3a3 b39、零指數(shù)和負指數(shù)；a01，即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1。ap1p（ a0, p 是正整數(shù)），即一個不等于零的數(shù)的p 次方等于這個數(shù)的p 次方a的倒數(shù)。如：23(1) 312810、單項式的乘法法則：單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)， 相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。注意：積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積，先確定符號，再計算絕對值。相同字母相乘，運用同底

4、數(shù)冪的乘法法則。只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用。單項式乘以單項式，結(jié)果仍是一個單項式。如：2x 2 y3 z ?3xy11、單項式乘以多項式，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，即 m(abc)mambmc( m, a, b, c 都是單項式 )注意：積是一個多項式，其項數(shù)與多項式的項數(shù)相同。運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號。在混合運算時，要注意運算順序，結(jié)果有同類項的要合并同類項。如： 2x(2x3y)3 y( xy)12、多項式與多項式相乘的法則；多項式與多項式相乘，先用多項式的每

5、一項乘以另一個多項式的每一項，再把所的的積相加。(3a2b)(a3b)如：(x5)( x6)三、知識點分析：1. 同底數(shù)冪、冪的運算：am·an=am+n( m， n 都是正整數(shù) ).(am)n=amn( m， n 都是正整數(shù) ).例題 1.若 2a 264 ，則 a=；若 27 3n( 3) 8 ，則 n=例題 2.若 52 x 1125 ，求 (x2)2009x 的值。例題 3.計算 x 2 y 3 n2 y x 2 m練習1.若 a 2n3，則 a 6n =.2.設(shè) 4x=8y-1 ,且 9y=27x-1 ,則 x-y 等于。2. 積的乘方(ab)n=anbn(n 為正整數(shù) )

6、. 積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘 .例題 1.計算：nm 3 pmnnm p 43. 乘法公式平方差公式：ab aba 2b 2完全平方和公式：ab完全平方差公式：ab2a22abb22a22abb 2例題 1.利用平方差公式計算： 2009×2007 200822007例題 2. 利用平方差公式計算：23. （ a2b 3c d）（ a 2b 3cd）考點一、因式分解的概念因式分解的概念：把一個多項式分解成幾個整式的積的形式，叫做因式分解。因式分解和整式乘法互為逆運算1、下列從左到右是因式分解的是（）A. x(a-b)=ax-bxB. x2-1+y 2=

7、(x-1)(x+1)+y2C. x 2 -1=(x+1)(x-1)D. ax+bx+c=x(a+b)+c2、若 4a2kab 9b2 可以因式分解為 (2 a 3b)2 ，則 k 的值為 _3、已知 a 為正整數(shù)，試判斷 a2a 是奇數(shù)還是偶數(shù)？4、已知關(guān)于 x 的二次三項式 x2mx n 有一個因式 (x5) ，且 m+n=17，試求 m，n 的值考點二提取公因式法提取公因式法：mambmcm(abc)公因式：一個多項式每一項都含有的相同的因式，叫做這個多項式各項的公因式找公因式的方法：1、系數(shù)為各系數(shù)的最大公約數(shù)2、字母是相同字母3、字母的次數(shù) - 相同字母的最低次數(shù)習題1、將多項式20a

8、3b212a2 bc 分解因式，應提取的公因式是（）A、 abB 、4a2bC 、 4abD 、 4a2 bc2、已知 (19x31)(13x17) (13x17)(11x 23) 可因式分解為 (axb)(8 x c) ，其中 a，b，c 均為整數(shù)，則 a+b+c 等于（）A、-12B、 -32C、38D 、723、分解因式（1） 6a(ab)4b(ab)（ 2） 3a( x y)6b( yx)（3） xnxn1xn 2（ 4） ( 3)2011(3)20104、先分解因式，在計算求值（1） (2 x1)2 (3 x2)(2 x 1)(3x2) 2x(12x)(3 x2) 其中 x=1.5（

9、2） ( a 2)(a2a 1)(a21)(2a)其中 a=185、已知多項式x42012 x22011x2012有一個因式為 x2ax 1 ，另一個因式為x2bx 2012，求 a+b 的值6、若 ab210 ，用因式分解法求ab(a2b5ab3b) 的值7、已知 a，b，c 滿足 ab abbcb ccaca 3 ，求 (a1)(b 1)(c 1) 的值。（ a，b， c 都是正整數(shù)）考點三、用乘法公式分解因式平方差公式a2b2 (a b)(a b)運用平方差公式分解的多項式是二次項，這兩項必須是平方式，且這兩項的符號相反習題1、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A、 x 24y

10、2B、 x 22y21C 、x24 y2D 、x24y22、分解下列因式（1）3x212（ ）24（）222( x 2)( x 4) x3( x y)(x y)（4）x3xy2（ ）(ab)21（ ）9( a b)230( a22)25(a b)256b（7） 2009 20112010213、若 n 為正整數(shù)，則(2n2(2n2一定能被8 整除1)1)完全平方式a 22abb2(ab)2運用完全平方公式分解的多項式是三項式，且符合首平方，尾平方，首尾兩倍中間放的特點，其中首尾兩項的符號必須相同，中間項的符號正負均可。習題1、在多項式 x 22xyy2x 22xyy 2 x 2xy+y 2 4

11、x 21+4x 中，能用完全平方公式分解因式的有（）A、B、C、D、2、下列因式分解中，正確的有（）a3 b2a2b2 )x 2y2)9abc6a 2b3abc(32a) 2 x 2 y2 xy 22 xy(xy)333A、0 個B、 1 個C、 2個D、 5個3、如果x22( m3) x16 是一個完全平方式，那么m應為（）A、 -5B、3C、 7D、 7或 -14、分解因式(1)mx24mx2m(2)2a2 -4a2(3)x32x2x222（4） (2 x 3)(x 3)（ 5） 8x y 8xy 2y（6） (x 2 -2xy) 2 +2y 2 (x 2 -2xy)+y4（ 7） 4x2

12、 12xy+9y 2 4x+6y-35、已知 ab2 ， ab2，求 1a3 b a2b21ab3226、證明代數(shù)式 x2y210x8 y45 的值總是正數(shù)7、已知 a，b， c 分別是ABC 的三邊長，試比較 (a2b2c2 )2與 4a2b2 的大小考點四、十字相乘法（1）二次項系數(shù)為1 的二次三項式 x2pxq 中，如果能把常數(shù)項 q 分解成兩個因式 a、b 的積，并且 ab 等于一次項系數(shù)p 的值，那么它就可以把二次三項式x2pxq 分解成例題講解1、分解因式： x 25x6分析：將6 分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于5。由于 6=2× 3=(-2)× (-3)

13、=1× 6=(-1) × (-6)，從中可以發(fā)現(xiàn)只有 2× 3 的分解適合，即2+3=512解： x 25x6 = x2(2 3) x 2 313=( x2)( x3)1× 2+1× 3=5用此方法進行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積，且這兩個因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項的系數(shù)。例題講解2、分解因式：x 27 x6解：原式 = x2(1)(6) x(1)(6)1-1= (x 1)( x6)1-6（-1 ）+（-6 ）= -7練習分解因式 (1)x214x24(2)a215a36(3)x 24x 5(4) x2x2(5)y 22 y15(6)x

14、210x242、二次項系數(shù)不為1 的二次三項式ax 2bxc條件：（1） aa1a2a1c1（ 2） c c1c2a2c2（ 3） b a1c2a2 c1b a1 c2a2c1分解結(jié)果： ax 2bxc =(a1 xc1 )(a2 xc2 )例題講解1、分解因式：3x211x10分析：1-23 -5（ -6 ）+（-5 ）= -11解：3x211x10 = (x2)(3x 5)分解因式：（1） 5x27x 6（2） 3x27x 2（3） 10 x217x3（ 4） 6y 211y103、二次項系數(shù)為1 的多項式例題講解、分解因式：a 28ab 128b2分析：將 b 看成常數(shù)， 把原多項式看成

15、關(guān)于a 的二次三項式， 利用十字相乘法進行分解。18b1-16b8b+(-16b)= -8b解：a 28ab128b 2 =a2 8b( 16b) a8b( 16b) =(a8b)(a 16b)分解因式 (1)x23xy2 y 2(2)m 26mn8n2(3)a2ab6b 24、二次項系數(shù)不為 1 的多項式例題講解2x27xy6 y 2x 2 y 23xy21-2y把 xy 看作一個整體1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)= -3解：原式 =( x2 y)(2x3y)解：原式 = ( xy1)( xy2)分解因式：（1）15 x 27 xy4y 2（2） a

16、2 x26ax8考點五、因式分解的應用1、分解下列因式（1） 3x23（ 2） x3 y24x（3） x36x227x（ 4） a2b22b12、計算下列各題（1） (4 a24a1) (2 a 1)（2） (a2b2c22ab)(a b c)3、解方程（1） 16( x1)225( x2) 2（ 2） (2 x3)2(2 x 3)4、如果實數(shù) ab ，且 10 aba1 ，那么 a+b 的值等于 _10bab15、 12232425262.200922010 2201122012212345620092010201120126、若多項式 x2ax12 能分解成兩個整系數(shù)的一次因式的乘積，試確定符合條件的整數(shù) a 的值（寫出3 個）7、先變形再求值（1）已知 2xy1 ， xy 4 ，求 2 x4 y