數(shù)列通項公式奇數(shù)項偶數(shù)項分段的類型

1、名師精編優(yōu)秀資料數(shù)列通項公式奇數(shù)項偶數(shù)項分段的類型例76數(shù)列an的首項ai= 1,且對任意n N , a.與a.+1恰為方程x2 ®x+ 2n = 0的兩 個根(I )求數(shù)列an和數(shù)列 bn的通項公式;(n )求數(shù)列bn的前n項和Sn. 解：(I )由題意 n N , an an+1= 2n.an+1 an+2an an+1an+ 2an122廠=2'(1 分)又t ai a2= 2a= 1匕2= 2二a1, a3,，a2n-1是前項為a1= 1公比為2的等比數(shù)列, a2, a4,，a2n是前項為a2= 2公比為2的等比數(shù)列n 1n*a2n 1= 2' a2n= 2

2、' n Nn A即an= 2 2 , n為奇數(shù)2n, n為偶數(shù)n 1 n + 1 bn = 2 + 2=3又 bn= an + an+1當(dāng)n為奇數(shù)時,當(dāng)n為偶數(shù)時，bn = 2；+ 2殳=22號 n A.3疋2,n為奇數(shù)-bn= * 悼2 2, n為偶數(shù)(n )Sn= b1 + b2 + b3 + bn 當(dāng)n為偶數(shù)時，bn)Sn= (S+ b3+ bn-1)+ (b2+ 匕4+nn3 3 224 4 22=2+- = 7 2n 7(12 12 2當(dāng)n為奇數(shù)時,Sn= b1 + b2 + bn - 1+ bn=Sn-1 + bn= 10 2專-7 (Sn =10匯22 7, n為奇數(shù)n7

3、 22 -7, n為偶數(shù)22 n2 n兀例77 數(shù)列an的通項an二n (cossin )，其前n項和為Sn.33(1) 求 &；0 =込，求數(shù)列 bn 的前n項和Tn .n 4nn"2n二解：(1) 由于 cos2sin2cos ,故S3k =(印 a? a3) (a4 a6) |l心3心 a3k a3k)2 2 2 2 2_( 1232) ( 452、“/ (3k_2)(3k_1)- 2262) | (2-(3k)2)133118k -5= - + -+2 2 2S Sa k(4 -9k)6k 丄一 5k - a3kk(9k 4)2k(4-9k)(3k -1)=+23k

4、-2 136,故Snn_3 (n 1)(1 -3 n)16,6n(3n 4)n = 3k -1n = 3kbn% _9n+4n 4n 一 2 4n 'j 4n ，丨攀，T 2川2 441224一13 -III24兩式相減得193Tn 討13 9 川999口丄;4n H213,1I 一 44n9n 4 o 1 9n- _ 8 - 23 _ 22n 1，3n2T旦Tn _<3 22n" _22n1.例78數(shù)列滿足 aj =1,a2 =2,an 卷=(1 +cos2 =)an +si n2 , n = 1,2,3,川.2 2）求a3,a4,并求數(shù)列 訂鳥的通項公式;(n)設(shè)b

5、n 二歸，Sn=b1 +b2+lll+bn.證明：當(dāng) n 啟6時，&-2 <4.a2nn2応2兀.解：(I )因為 a1 =1,a2 =2,所以 a3 = (1 cos )a1 sin ? = a1 1 = 2,22a4 =(1 cos 二)a2 sin2a2 =4.一般地，當(dāng) n =2k-1(k N*)時，a2k 1 二1 cos2 (2k 一1) a2k_ sin2_ 二2 2名師精編優(yōu)秀資料=a2k 11，即 a2k 1 - a2k J = 1-所以數(shù)列Ca2kJ是首項為1、公差為1的等差數(shù)列，因此a2kJ =k.、，*2 2k兀2 2kn當(dāng) n 二2k(k N )時，a2

6、k 2 = (1 cos )a2k sin -2 2-2a2k -所以數(shù)列：a2k /是首項為2、公比為2的等比數(shù)列，因此a2k冷.故數(shù)列 © ? 的通項公式為an =n十1*，n= 2k1(k N ),2nw*22,n=2k(kw N ).(n)由(I)知,bn =a2n 1a2n，Sn期3-得，-Sn2所以Sn =2_ 1一 2 22 2-11-(£)222心2n1S21 ,'-3 n232n要證明當(dāng)n工6時，Sn 2=221n2“ tn 2歹1 、成立，n23n2 jnr2 2 2n-2* 1 ._11 n2 n ?n 只需證明當(dāng)n_6時,叫紇1 成立.2n證

7、法(1)當(dāng) n = 6 時，聲 2)-4864假設(shè)當(dāng)n -k(k -6)時不等式成立，即k(k 2)2k則當(dāng) n=k+1 時，(k 1)(k3) k(k 2)2k12k,k+1)(k+3) Jk 十1)(k+3) <12k(k 2) (k 22 k'n(n 1)由(1)、(2)所述，當(dāng)n6時， 十<1.即當(dāng)n> 6時，2:0.2證法n(n 2)22(n-6),則 Cn 1 -Cn(n 1)(n 3)n12n(n 2)3 - n_小2_&十2 2名師精編 _優(yōu)秀資料6漢83所以當(dāng)n_6時，Cn i : Cn.因此當(dāng)n_6時，G 一厲1.644于是當(dāng) n6時，n(

8、n2) <1.綜上所述，當(dāng) n6時，Sn2 c1.22n例79設(shè)m個不全相等的正數(shù) ai,a2,l山am(m _7)依次圍成一個圓圈.()若m =2°°9，且印月2,1上価 是公差為d的等差數(shù)列，而ai,a2009, a2oo8l,aioo6是 公比為q =d的等比數(shù)列；數(shù)列a1,a2|,am的前n項和Sn(n < m)滿足:Sj =15,S2°°9 = S2007 12ai，求通項 an(n 一 m)；解：因a1,a2009 , a2008 ,a1006是公比為d的等比數(shù)列，從而 a200 = aid> a200 = a1d 由S20

9、09 - S2008 12ai 得 a2008 ' a?009 - 12ai，故解得d =3或d =-4 (舍去)。因此 d =3又S3 = 3a1 3d =15。解得 a1 = 2從而當(dāng)n < 1005時，a*(n -1)d =2 3(n -1) =3n -1當(dāng)1006 n 一2009時，由a1,a2009,a2008,a1006是公比為d的等比數(shù)列得2009 -(n 4)2010-nan 二 a1da1d(1006 上 n 上 2009)3n -1, n 乞1005因此an20092 32009 ,1006 乞 n 蘭 2009例80已知數(shù)列 錯誤！未找到引用源。中，錯誤！未

10、找到引用源。(1)求證：數(shù)列 錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。都是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列錯誤！未找到引用源。前錯誤！未找到引用源。的和錯誤！未找到引用源。；(3)若數(shù)列 錯誤！未找到引用源。 前錯誤！未找到引用源。 的和為錯誤！未找到引用 源。，不等式錯誤！未找到引用源。 對錯誤！未找到引用源。 恒成立，求 錯誤！未找到引 用源。的最大值。解：(1)v錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。2分?jǐn)?shù)列錯誤！未找到引用源。是以1為首項，錯誤！未找到引用源。 為公比的等比數(shù)列;數(shù)列錯誤！未找到引用源。是以錯誤！未找到引用源。為首項，錯誤！未找到引用源。為公比的等比數(shù)列。4分(2) 錯誤！

11、未找到引用源。 錯誤！未找到引用源。9分(3) 錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。當(dāng)且僅當(dāng) 錯誤！未找到引用源。時取等號，所以 錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。的最大值為48例82.在單調(diào)遞增數(shù)列an中，a1 =1 , a2=2，且a2nJ,a2n , a2n .1成等差數(shù)列,a2n , a2n 1 , a2n 2 成等比數(shù)列，n = 1,2,3，.分別計算a3, a5和a4, a6的值;(2)求數(shù)列an的通項公式(將an用n表示)；(3)1設(shè)數(shù)列一的前n項和為Sn，證明：Sn ： 4n解：(1)an由已知，得a32a? - a*=2 2-132a332

12、a229a5 二 2a4a3 = 23=6 ,2aeaf62a4廠8.(2) a2n 1 , a2n , a2n 1 成等差數(shù)列，a2n 1 二 2a2n - a2n 4 ,n =1,2,3/ ; a2n , a2n 1 , a2n 2 成等比數(shù)列，二 a2n 2 -2a2n 1,n -1,2,3 .a2n又 a33 as 4a75a11 a32as；a4a29a64 a4猜想a2n 1n 2a2n 216a8ae25a2n以下用數(shù)學(xué)歸納法證明之.當(dāng)n =1時,a2 1 1a3 _ 3a2 1 2a4a2 1 4 a1a2 1 a212 ，猜想成立;11假設(shè)n二k (k _ 1)時，猜想成立，

13、即a2k 1a2k 2a2k4ka2k另E么 a2k 32a2k 2 -"a2k 1a2k 1a2k 12a2k 1a2k J ' a2k 12a2k 12 a2k 1a2ka2k 1a2k 1a2k_12a2k 11a2k1.2(k2)_(k 1)22a2k 2 、a2ka2k 2a2k 212、 a2ka2k 2a2k 2a2k2 *1k 1_(k 7 * 2IL(k 1) 1a2k*a2k -2a2k書22a2k* a2k41a2kd2a2k -2<a2kd2 丿、a2kH2丿22a2k 3 n二k 1時，猜想也成立.由，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，對任意的N *，猜想成

14、立.二 aa3a5a7. .a2na2n-5a1 a3a5a2nJa2nd刊 345亠 = n(n °1 2a2nX=a2a2a4 a6a2n -2a2n1)2n +1 n +1 丄當(dāng)n為奇數(shù)時,an+1 I當(dāng)n為偶數(shù)時,an(n 2)28名師精編優(yōu)秀資料'(n+1)(n + 3),n 為奇數(shù)即數(shù)列an的通項公式為ann為偶數(shù)1(3)由(2),得丄二an(n +1) (n + 3)8,n為奇數(shù)顯然，S1=1a1當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn =8 - 12 ，(n 2)24 112 ；n為偶數(shù)12 4 4 46 F 齊8 十Mn"n + 2)(n + 2)：8丄.丄丄2 42

15、44 6嚴(yán)(n +2) * n(n + 2) J=8卩-耳+力門"丄2 4丿<4 6丿+<64n .2=8丄-丄2 n 2 n&二Sn八丄：心T an(n -1)2 (n 1)(n 3)2 _ n = 4n _ 8 < 4nn 1 (n 1)(n 3) n 2n 2 (n 1)(n 2)(n 3)n 24 n綜上所述，Sn ：上丄,nN * .n +2當(dāng)n為奇數(shù)(n 一3)時,4n 4n 2n -1例83已知等比數(shù)列an的公比為q，首項為a1，其前n項的和為Sn .數(shù)列a：的前n項的和為An ,數(shù)列( -1)n 1an的前n項的和為Bn .(1 )若A? =

16、5, B2 -1，求an的通項公式；(2 )當(dāng)n為奇數(shù)時，比較BnS與An的大?。划?dāng)n為偶數(shù)時，若q=1，問是否存在常數(shù)，(與n無關(guān))，使得等式 (Bn -')Sn An =0恒成立，若存在，求出 的值；若不存在，說明理由.解：(1) A2 =5, B2 - -1,aiq=i,二 2.1 n 2n 1an 二(一)一，或 an =2 22(2) =(也)2 =q2 二常數(shù),anain 2(1) an 1an 1(-1)n&=（_1）亠丄_q=常數(shù),anai2 , ai，公比分別為q2,-q二數(shù)列a,（ -1）n q1 q2an均為等比數(shù)列，首項分別為 當(dāng)n為奇數(shù)時，當(dāng) q =

17、1 時，Sn = nai, A = naj , Bn = ai, 二 BnSn 二 na；二 A.2當(dāng) q = _1 時，Sn =a1 , An = na1 , Bn =na1,. 2-Bn Sn = na1A.當(dāng) q =二1 時,設(shè) n =2k 1(k 三 N ),2k A.乳'1 i爲(wèi)，222、2k22k2k、aj1(q) ai(1q )(1 q )1q21 q2ai1 -(7嚴(yán)2k丄、ai(1q )1 +q-B2k 1S2k 1 = A2k.綜上所述，當(dāng)n為奇數(shù)時，Bn S - An .當(dāng)n為偶數(shù)時，存在常數(shù)紐，使得等式（Bn - ）Sn An 0恒成立.1 +qq -i,ai(1 -qn)Sn -i qai2(1 _q2n)_ai(1-qn)2， Bn 1 -q1 q (