初二數(shù)學(xué)寒假講義 第6講.一次函數(shù)初步 教師版

1、6一次函數(shù)初步滿分晉級(jí)階梯函數(shù)5級(jí)一次函數(shù)解析式與圖象函數(shù)4級(jí)一次函數(shù)初步函數(shù)3級(jí)函數(shù)初步秋季班 第十二講寒假班 第六講春季班 第一講漫畫(huà)釋義 發(fā)考試成績(jī)啦知識(shí)互聯(lián)網(wǎng)題型切片題型切片（兩個(gè)）對(duì)應(yīng)題目題型目標(biāo)正比例函數(shù)例1；練習(xí)1；例2；例3；練習(xí)2；一次函數(shù)例4；例5；練習(xí)3；例6；練習(xí)4；練習(xí)5；例7編寫(xiě)思路本講內(nèi)容主要分為兩個(gè)模塊，模塊一主要講解正比例函數(shù)，它的特點(diǎn)是，從解析式角度，常數(shù)項(xiàng)為0，從圖象角度，直線過(guò)原點(diǎn)；另外直線的上升/下降趨勢(shì)取決于k>0/k<0，該版塊內(nèi)容比較基礎(chǔ)，例1至例3進(jìn)行了一些基本題目的練習(xí)；模塊二介紹一次函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，重點(diǎn)練習(xí)了函數(shù)圖象所經(jīng)過(guò)的象限

2、與一次函數(shù)解析式各參數(shù)之間的關(guān)系，例4、例5進(jìn)行了集中訓(xùn)練；本模塊還介紹了求解一次函數(shù)解析式的重要方法待定系數(shù)法，例6進(jìn)行了練習(xí)；本講的最后一部分是北京十二中2012-13年度初二期末的考試真題，主要練習(xí)了一次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)與面積問(wèn)題，總結(jié)了解題方法供老師參考模塊一 正比例函數(shù)知識(shí)導(dǎo)航定義：一般地，形如的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)，其中叫比例系數(shù).圖象：正比例函數(shù)圖象是一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線.函數(shù)也叫直線.示意圖（草圖）圖象位置變化趨勢(shì)性質(zhì)（增減性）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和第一、三象限從左向右上升隨的增大而增大隨的減小而減小經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和第二、四象限從左向右下降隨的增大而減小隨的減小而增大夯實(shí)基礎(chǔ)【例1】 若函數(shù)是正比例函

3、數(shù)，則的值是_； 下列比例式中，變量與成正比例的是（ ）A. B. C. D. 若正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，若，則的取值范圍是_；若，則的取值范圍是_； 如果一個(gè)函數(shù)具有以下兩條性質(zhì)： 它的圖象是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線； 隨的減小而減小請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿足上述兩個(gè)條件的函數(shù)解析式_（實(shí)驗(yàn)中學(xué)期末試題）【解析】 且，所以. D.由比例的基本性質(zhì)，將四個(gè)等式化簡(jiǎn)，符合的形式即為正比例函數(shù). ；. 條件說(shuō)明該函數(shù)為正比例函數(shù)，條件說(shuō)明比例系數(shù)，符合以上兩點(diǎn)即可.【例2】 下面哪個(gè)正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限（ ）A B C（為常數(shù)） D 若正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則隨的增大而_；（填“增大”或“減

4、小”） （西城區(qū)期末試題） 正比例函數(shù)圖象上有一點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過(guò)作軸，垂足為，則； 在正比例函數(shù)圖象上有一點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過(guò)作軸，垂足為，若，則【解析】 D； 減??； 2； ，注意分類討論.能力提升【例3】 一個(gè)函數(shù)的圖象是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線，并且這條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)，求這個(gè)函數(shù)解析式及的值，并畫(huà)出圖象； 已知與成正比例，且當(dāng)時(shí)， 你能求出的表達(dá)式嗎？ 當(dāng)時(shí)，的值是多少？【解析】 設(shè)解析式為，由過(guò)點(diǎn)可得當(dāng)，代入得，解析式為再將代入中，解得.畫(huà)圖略，這里告訴學(xué)生，畫(huà)正比例函數(shù)的圖象可選取兩點(diǎn)：. 設(shè)，由，可得解析式為 當(dāng)時(shí)，.模塊二 一次函數(shù)知識(shí)導(dǎo)航 定義：一般地，形如的函數(shù)，叫做一次函數(shù).當(dāng)時(shí)

5、，即為，所以正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù). 圖象：一次函數(shù)的圖象是一條直線，我們稱它為直線，它可以看作直線平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得到（當(dāng)時(shí)，向上平移；當(dāng)時(shí)，向下平移） 圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)示意圖（草圖）經(jīng)過(guò)的象限變化趨勢(shì)性質(zhì)（增減性）一、二、三從左向右上升隨的增大而增大，隨的減小而減小一、三、四一、二、四從左向右下降隨的增大而減小，隨的減小而增大二、三、四待定系數(shù)法求解析式：函數(shù)解析式滿足條件的兩點(diǎn)與一次函數(shù)的圖象直線夯實(shí)基礎(chǔ)【例4】 對(duì)于函數(shù)（為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，它是正比例函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)表示一次函數(shù)，其表達(dá)式是 ； 一次函數(shù)的圖象是將正比例函數(shù)的圖象向_平移_個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，經(jīng)過(guò)第_象限；將直

6、線向下平移2個(gè)單位會(huì)得到直線_，直線不經(jīng)過(guò)第_象限；由以上平移可判斷直線與的位置關(guān)系是_，直線與的位置關(guān)系為_(kāi)；如果一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一象限，且與軸負(fù)半軸相交， 那么（ ）A，B，C，D，（實(shí)驗(yàn)中學(xué)練習(xí)題）已知一次函數(shù)，其中，則所有符合條件的一次函數(shù)的圖象一定都經(jīng)過(guò)（ ）（西城期末）A第一、二象限B第二、三象限C第三、四象限D(zhuǎn)第一、四象限【解析】 ； ； 上，1，一、二、四； ， 二 ；平行，平行; B； B.【例5】 下列圖象中，不可能是關(guān)于的一次函數(shù)的圖象的是（ ） A B C D如下圖，在同一直角坐標(biāo)系中，直線和直線的圖象可能是（ ） A B C D 如圖所示，直線和在同一坐標(biāo)系中的圖

7、象大致是（ ） A B C D【解析】 D；由題意得不可能有，那么圖像不可能是D； B；首先觀察一次函數(shù)過(guò)第一、三象限，排除A、D，又因?yàn)橐淮魏瘮?shù)與軸的交點(diǎn)是，當(dāng)交點(diǎn)在軸上方，正比例函數(shù)過(guò)第二、四象限，故B正確；當(dāng)交點(diǎn)在軸下方，此時(shí)正比例函數(shù)過(guò)第一、三象限，C不正確；C；觀察發(fā)現(xiàn)四個(gè)選項(xiàng)中的直線都是經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，即；所以經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，故選C.能力提升【例6】 已知一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和 求這個(gè)一次函數(shù)的解析式； 求這條直線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)【解析】 設(shè)一次函數(shù)解析式為，將和代入解析式得解得，即一次函數(shù)解析式為； 與軸、軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為.真題賞析【例7】 如圖，直線分別與軸、軸交

8、于點(diǎn)、，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為若點(diǎn)是第二象限內(nèi)的直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試寫(xiě)出的面積S與的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量 的取值范圍； 當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)(2013北京十二中期末)【解析】 將E代入得設(shè)點(diǎn)SOPA=當(dāng)時(shí)，變成一條直線若S=，則，此時(shí)點(diǎn)P的位置【分析】此題目的易錯(cuò)點(diǎn)為自變量的取值范圍，由于題目中規(guī)定“點(diǎn)是第二象限內(nèi)的直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”，故點(diǎn)P不在坐標(biāo)軸上，且三角形三邊不能在同一直線上【探究對(duì)象】一次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)與面積問(wèn)題【思路分析】此類題目的一般過(guò)程是：在計(jì)算面積的過(guò)程當(dāng)中需要用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示線段長(zhǎng)度，進(jìn)而表示面積，故需設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)；因動(dòng)點(diǎn)在所給圖形上運(yùn)動(dòng)，故點(diǎn)的坐

9、標(biāo)應(yīng)滿足此圖形所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，即找到了y與x之間的關(guān)系，代入面積公式即可求得S與x之間的關(guān)系；最后，需注意自變量的取值范圍；在一些較難題目中，如果動(dòng)點(diǎn)在多邊形的邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，注意應(yīng)為分段函數(shù)【備注】一次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題之面積S與運(yùn)動(dòng)t之間的關(guān)系將在春季班進(jìn)行總結(jié)講解學(xué)有余力的班級(jí)，老師們可以帶著學(xué)生進(jìn)行以下專題的探究：【探究對(duì)象】利用函數(shù)圖象法求解一次函數(shù)相關(guān)問(wèn)題【探究目的】通過(guò)函數(shù)圖象整合出信息，有直觀、清晰、簡(jiǎn)明的特點(diǎn)，是訓(xùn)練學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思路解題的重要途徑【探究1】柳卡問(wèn)題數(shù)學(xué)家們咋了？ 據(jù)說(shuō)，在近代科學(xué)史上曾發(fā)生過(guò)一件有趣的事：19世紀(jì)的一次世界科學(xué)會(huì)議上，來(lái)自世界各國(guó)的許多名數(shù)學(xué)家

10、共進(jìn)早餐，法國(guó)數(shù)學(xué)家柳卡突然向在場(chǎng)的人們提出一個(gè)被他稱為“最困難”的問(wèn)題： 某輪船公司每天中午都有一艘輪船從巴黎的外港勒阿佛爾開(kāi)往紐約，并且每天的同一時(shí)刻也有一艘輪船從紐約開(kāi)往勒阿佛爾。航行時(shí)間都是7晝夜，而且都是勻速航行在同一條航線上，問(wèn)今天中午從勒阿佛爾開(kāi)出的輪船，在開(kāi)往紐約的航行過(guò)程中，將會(huì)遇到幾艘同一公司的輪船從對(duì)面開(kāi)來(lái)？（包括在兩港口相遇）問(wèn)題提出后，一時(shí)竟真的難住了數(shù)學(xué)家們，盡管為此進(jìn)行過(guò)探討和爭(zhēng)論，但得到的答案莫衷一是，就是說(shuō)，這次會(huì)議竟還沒(méi)有人真正解決這個(gè)問(wèn)題。時(shí)隔許久，才有一位數(shù)學(xué)家實(shí)驗(yàn)性地畫(huà)出了一個(gè)簡(jiǎn)單到幾乎連小學(xué)生都能看懂的圖形，從而宣告問(wèn)題的徹底解決。這個(gè)例子說(shuō)明用函數(shù)

11、圖象求解問(wèn)題，體現(xiàn)出了數(shù)形結(jié)合的強(qiáng)大威力，圖解如下：【探究2】已知：如圖1，點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)H在AF上，動(dòng)點(diǎn)P以每秒2 cm的速度沿圖1的邊線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)路徑為：GCDEFH ，相應(yīng)的ABP的面積y（cm2）關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s）的函數(shù)圖像如圖2，若AB=6 cm，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有（ D ）   圖1中的BC長(zhǎng)是8cm     圖2中的M點(diǎn)表示第4秒時(shí)y的值為24 cm2  圖1中的CD長(zhǎng)是4cm     圖2中的N點(diǎn)表示第12秒時(shí)y的值為18 cm2  A1個(gè)&

12、#160;    B2個(gè)      C3個(gè)     D4個(gè) （常州市中考題）分析：根據(jù)函數(shù)圖象可以知：從0到2，y隨t的增大而增大，經(jīng)過(guò)了2秒，由動(dòng)點(diǎn)P以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)得，P運(yùn)動(dòng)了4cm，因而CG=4cm，BC=8cm；P在CD段時(shí)，底邊AB不變，高不變，因而面積不變，由圖象可知，從而CD=4cm，面積24cm2，即圖2中的M點(diǎn)表示第4秒時(shí)y的值為24 cm2；圖2中的N點(diǎn)表示第12秒時(shí)，表示點(diǎn)P到達(dá)H點(diǎn)，ABP的面積是18 cm2。四個(gè)結(jié)論都正確。故選D。教師備注：本題是訓(xùn)練數(shù)

13、形結(jié)合思路的典范，老師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生逐步善于通過(guò)圖象獲取信息來(lái)分析問(wèn)題，這是解相關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵。【探究3】A、B兩地相距45千米，圖中折線表示某騎車人離A地的距離y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系有一輛客車9點(diǎn)從B地出發(fā)，以45千米/時(shí)的速度勻速行駛，并往返于A、B兩地之間（乘客上、下車停留時(shí)間忽略不計(jì)）（1）從折線圖可以看出，騎車人一共休息 次，共休息 小時(shí)；（2）請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出9點(diǎn)至15點(diǎn)之間客車與A地距離y隨時(shí)間x變化的函數(shù)圖象；（3）通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，何時(shí)騎車人與客車第二次相遇 （吉林省中考題）分析：（1）看圖可知，折線圖中有兩段水平的線，故休息了兩次，時(shí)間是兩次之和（看橫軸），為兩小時(shí)； （2）由于客車9點(diǎn)從

14、B地出發(fā)，以45千米/時(shí)的速度勻速行駛，由此可以確定它到A、B兩站的時(shí)刻，根據(jù)時(shí)刻和速度即可畫(huà)出圖象；（如上右圖） （3）根據(jù)題意，客車一小時(shí)行駛45千米，故它的圖象是兩小時(shí)一個(gè)來(lái)回從左向右看，兩條折線的第二個(gè)交點(diǎn)就是它們第二次相遇求出EF的函數(shù)解析式就可以了，找到特殊點(diǎn)（10，0）和（11，45）用待定系數(shù)法可求出，直線EF所表示的函數(shù)解析式為y =45x450 把y=30代入y=45x450，得45x450=30， x= 答：10點(diǎn)40分騎車人與客車第二次相遇思維拓展訓(xùn)練（選講）訓(xùn)練1. 已知：正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第四象限內(nèi)的兩點(diǎn)及 求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)及這個(gè)正比例函數(shù)的解析式； 畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的

15、圖象； 根據(jù)圖象回答，當(dāng)從2逐漸減小到時(shí)，的值是如何變化的？【解析】 將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入中，得 解得，點(diǎn)在第四象限，解析式為，； 畫(huà)圖略； 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 的值從增大到9.訓(xùn)練2. 如果直線經(jīng)過(guò)一、三、四象限，那么直線經(jīng)過(guò)第_象限；直線經(jīng)過(guò)第_象限 一次函數(shù)的圖象不過(guò)第一象限，則整數(shù) 【解析】 一、二、三；二、四； 依題意得 解得，所以的整數(shù)值為4，5.訓(xùn)練3. 函數(shù)與的圖象在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致位置正確的是（ ）A B C D【解析】 C.訓(xùn)練4. 已知直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn) 求及的函數(shù)關(guān)系式，并畫(huà)出圖象 若兩直線相交于點(diǎn)，觀察圖象直接寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)【解析】 由待定系數(shù)法可得畫(huà)圖略； .實(shí)戰(zhàn)演

16、練知識(shí)模塊一 正比例函數(shù) 課后演練【演練1】 如果函數(shù)是正比例函數(shù)，那么的值為_(kāi)【解析】 由且得.【演練2】 一個(gè)函數(shù)的圖象是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線，并且這條直線經(jīng)過(guò)第四象限及點(diǎn)與點(diǎn)，求這個(gè)函數(shù)解析式及的值.【解析】 設(shè)解析式為，由過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)可得 解得直線過(guò)第四象限 解析式為將點(diǎn)代入得.知識(shí)模塊二 一次函數(shù) 課后演練【演練3】 若一次函數(shù)的圖象如圖所示，則的取值范圍 為 已知一次函數(shù)，若隨的減小而減小，則該函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)（ ）A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第一、三、四象限D(zhuǎn)第二、三、四象限 如圖，一次函數(shù)的圖像大致是（ ）A B C D若將直線的圖象向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則平移后直線的解

17、析式為（ ）A BC D（西城期末）【解析】 ； A ； B ； A.【演練4】 老師給出一個(gè)函數(shù)，甲、乙、丙各正確指出了這個(gè)函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)： 甲：函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)了第二象限；乙：函數(shù)的圖象也經(jīng)過(guò)了第三象限；丙：在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)滿足這三個(gè)條件的函數(shù) （實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考） 已知：一次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為3，且過(guò)點(diǎn)，求它的解析式. （人大附期中）【解析】 根據(jù)丙的說(shuō)法可肯定，根據(jù)乙的說(shuō)法可知，例如等符合要求的即可. 依題意得，再將點(diǎn)代入即可求出解析式為或【演練5】 一輛汽車在行駛過(guò)程中，路程（千米）與時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，當(dāng)，關(guān)于的函數(shù)解析式為，那么當(dāng)

18、 時(shí)，關(guān)于的函數(shù)解析式為 _. 正比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，兩圖象與軸圍成的三角形的面積為，求這兩個(gè)函數(shù)的解析式.【解析】 由，當(dāng)，當(dāng)，圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，解析式為： 正比例函數(shù)解析式為，一次函數(shù)解析式為或.一飯千金幫助漢高祖打平天下的大將韓信，在未得志時(shí)，境況很是困苦。那時(shí)候，他時(shí)常往城下釣魚(yú)，希望碰著好運(yùn)氣，便可以解決生活。但是，這究竟不是可靠的辦法，因此，時(shí)常要餓著肚子。幸而在他時(shí)常釣魚(yú)的地方，有很多漂母（清洗絲棉絮或舊衣布的老婆婆）在河邊作工的，其中有一個(gè)漂母，很同情韓信的遭遇，便不斷的救濟(jì)他，給他飯吃。韓信在艱難困苦中，得到那位以勤勞克苦僅能以雙手勉強(qiáng)糊口的漂母的恩惠，很是感激她，便對(duì)她說(shuō)，將來(lái)必定要重重的報(bào)答她。那漂母聽(tīng)了韓信的話，很是不高興，表示并不希望韓信將來(lái)報(bào)答她的。后來(lái)，韓信替漢王立了不少功勞，被封為楚王，他想起從前曾受過(guò)漂母的恩惠，