旋轉(zhuǎn)模型專題

1、v1.0可編輯可修改旋轉(zhuǎn)模型專題5飛等線段共點共頂點等腰三角形二、按圖形分類1、等腰三角形， 2、等邊三角形，3、等腰直角三角形，4、正方形三、按模型分類1、手拉手模型 2、角含半角模型 3、對角互補模型4、與勾股定理結(jié)合5 、費馬點問題例題精講一、手拉手模型1、已知：如圖，點C為線段AB上一點，ACM、 CBN是等邊三角形.常見結(jié)論：(1) AN BM(2) CD CE(3) CF 平分 AFB(4) CDE是等邊三角形.(5) Z AFM=60且保持不變2、如圖，在凸四邊形 ABCD 中， BCD 30 , DAB 60 , AD AB .AD求證：AC2 CD2 BC23、已知ABC，以

2、AC為邊在ABC外作等腰ACD，其中AC AD。如圖，若 DAC 2 ABC , AC BC ,四邊形ABCD是平行四邊形，則ABC 如圖，若 ABC 30， ACD是等邊三角形， AB 3，BC 4，求BD的長；如圖，若 ACD為銳角，作AH BC于H，當(dāng)BD2 4AH2 BC2時，DAC 2 ABC是否成立若不成立，請說明你的理由；若成立，證明你的結(jié)論。二、角含半角模型4、已知：如圖1在Rt ABC中， BAC 90 , AB AC，點D、E分別為線段BC上兩動點，若 DAE 45 .探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.小明的思路是：把 AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90，得到ABE，

3、連結(jié)ED，使問題 得到解決請你參考小明的思路探究并解決下列問題：猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，并對你的猜想給予證明； 當(dāng)動點E在線段BC上，動點D運動在線段CB延長線上時，如圖2,其它條 件不變，中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變說明你的猜想并給予證明.圖15、在正方形 ABCD中，點E、F分別在邊BC CD上，且/ EAFK CEF=45，(1) 將厶ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到 ABG如圖1，求證： AEG AEF(2) 若直線EF與AB AD的延長線分別交于點M,N,如圖2，求證：EF2 ME2 NF2(3) 將正方形改為長與寬不相等的矩形，若其余條件不變，請

4、你直接寫出線段EF, BE DF之間的數(shù)量關(guān)系?？删庉嬁尚薷?在等邊 ABC的兩邊AB AC所在直線上分別有兩點 M N D為ABC外一點, 且 MDN 60， BDC 120，BD CD，探究：當(dāng)點 M N分別愛直線AB, AC上移動時，BM NC MN之間的數(shù)量關(guān)系及 AMN的周長與等邊 ABC的周長 L的關(guān)系.如圖，當(dāng)點 M N在邊AB AC上，且 DM=D時，BM NC MN之間的數(shù)量關(guān) 系式此時Q= 如圖，當(dāng)點M N在邊AB AC上，且DM DN時，猜想（1）問的兩個結(jié)論還成立嗎寫出你的猜想并加以證明；如圖，當(dāng)點M N分別在邊AB, CA的延長線上時，若AN=x則Q=（用x， L表示

5、）AABCDDND圖（1）圖（2）圖（3）7v1.0可編輯可修改13三、對角互補類MN圖3N7、已知： MAN , AC 平分 MAN .在圖1中，若 MANDCB 90，證明：AB AD2AC .在圖2中，若MAN120，DCB 60，探究 AB、AD、AC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；在圖3中：若MAN0180 ）， DCB 180，則ABADAC（用含的三角函數(shù)表示,直接寫出結(jié)果，不必證明）8、如圖1 ,正方形ABCD和正方形QMNP , M是正方形ABCD的對稱中心，MN交AB 于 F，QM 交 AD 于 E .猜想：ME與MF的數(shù)量關(guān)系如圖2,若將原題中的“正方形”改為“菱形”，且

6、MB，其它條件不變，探索線段ME與線段MF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.如圖3,若將原題中的“正方形”改為“矩形”，且AB:BC 1:2，其它條件不變，探索線段ME與線段MF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.B， AB: BC m，其它條件不變，求出ME:MF的值（直接寫出答案）NP如圖4,若將原題中的“正方形”改為平行四邊形，且四、直角三角形斜邊中點9、在等腰直角 ABC中， ACB 90 , AC BC , M是AB的中點，點P從B出發(fā)向C運動，MQ MP交AC于點Q，試說明MPQ的形狀和面積將如何變化.10、等腰直角三角形 ABC， ABC 90 , AB 2 ,0為AC中點， EOF 45，求 BEF

7、的周長.11、已知 Rt ABC中，AC=BCZ C=90°，D為 AB邊的中點，/ EDF=90°，Z EDF繞D點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 AC CB（或延長線）于E、F.S CEF當(dāng)/EDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DE丄AC于E時（如圖1），易證S DEF當(dāng)/EDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DE和 AC不垂直時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié) 論是否成立 若成立，請給予證明；若不成立， S DEF Sacef Sabc又有怎樣 的數(shù)量關(guān)系請寫出你的猜想，不需證明.圖1圖2五、等線段共點12、如圖所示，P是等邊ABC內(nèi)部一點，PC 3 , PA 4 , PB 5，求ABC的邊長.S BPC =,

8、S abp = ,S APC =， S ABC =，3、P 為等邊 ABC 內(nèi)一點，APB 113， APC 123，求證：以 AP、BP、CP為邊可以構(gòu)成一個三角形，并確定所構(gòu)成的三角形的各內(nèi)角的度數(shù).14、如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點，PA= 1, PD= 2, PC= 3,將PAD繞著D點按逆時針旋轉(zhuǎn)90到DCM的位置(1)求 APD的度數(shù)。(2)求正方形的邊長MC可編輯可修改六、費馬點問題15、閱讀下列材料對于任意的ABC，若三角形內(nèi)或三角形上有一點 P，若PA PB PC有最小值， 則取到最小值時，點P為該三角形的費馬點。 若三角形內(nèi)有一個內(nèi)角大于或等于120，這個內(nèi)角的頂點就是費

9、馬點 若三角形內(nèi)角均小于120，則滿足條件 APB BPC APC 120時，點P既 為費馬點解決問題：如圖，ABC中，三個內(nèi)角均小于120，分別以AB、AC為邊向外作等邊 ABD、ACE，連接CD、BE交于點P，證明：點P為 ABC的費馬點。（即證明 APB BPC APC 120 ）且PA PB PC CD如圖，點Q為三角形內(nèi)部異于點P的一點，證明：QA QC QB PA PB PC#若 ABC 30 , AB 3 , BC 4，直接寫出PA PB PC的最小值15v1.0可編輯可修改16、如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對角線BD上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)6

10、0得到BN，連接AM、CM、EN .求證：AMB也 ENB當(dāng)M點在何處時，AM CM的值最小;當(dāng)M點在何處時，AM BM CM的值最小，并說明理由;當(dāng)AMBMCM的最小值為,31時，求正方形的邊長.1717、閱讀下列材料:小華遇到這樣一個問題，如圖1, ABC中, Z AC昏30o，BC=6，AC=5，在 ABC內(nèi)部有一點P,連接PA PB PC求PA+PBPC的最小值.圖1AD圖3小華是這樣思考的：要解決這個問題，首先應(yīng)想辦法將這三條端點重合于一點的線段分 離，然后再將它們連接成一條折線，并讓折線的兩個端點為定點，這樣依據(jù)“兩點之間，線 段最短”，就可以求出這三條線段和的最小值了他先后嘗試了

11、翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法， 發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決這個問題他的做法是，如圖2，將 APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。,得到 EDC連接PD BE貝U BE的長即為所求.(1) 請你寫出圖2中，PA+PBfPC的最小值為;(2) 參考小華的思考問題的方法，解決下列問題：如圖3,菱形ABC中，/ AB(=60o，在菱形ABCD內(nèi)部有一點P,請 在圖3中畫出并指明長度等于PAfPBfPC最小值的線段(保留畫圖痕跡， 畫出一條即可)；若中菱形 ABCD的邊長為4，請直接寫出當(dāng) PA+PBfPC值最小時PB的長.可編輯可修改七、最值問題18、已知：PA 2 , PB 4，以AB為一邊作正方形 ABCD，使P、D兩

12、點落在直 線AB的兩側(cè).如圖，當(dāng) APB 45時，求AB及PD的長；當(dāng)APB變化，且其它條件不變時，求 PD的最大值及相應(yīng) APB的大小.DPB19、如圖，已知ABC是等腰直角三角形，BAC=90°,點D是BC的中點.作正方形DEFG，使點A、C分別在DG和DE上，連接AE、BG .試猜想線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你得到的結(jié)論.將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后（旋轉(zhuǎn)角度大于 0，小于或 等于360。），如圖，通過觀察或測量等方法判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立 如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由.若BC DE 2，在的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AE為最大值時，求AF的值.21八、綜合應(yīng)用20、已知：在 Rt ABC 中，AB BC，在 Rt ADE 中，AD DE，連結(jié) EC，取 EC 的 中點M，連結(jié)DM和BM .若點D在邊AC上，點E在邊AB上且與點B不重合，如圖，探索BM、DM 的關(guān)系并給予證明； 如果將圖中的 ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)小于45的角，如圖，那么中的 結(jié)論是否仍成立如果不成立，請舉出反例；如果成立，