人口指數(shù)增長(zhǎng)模型和Logistic模型

1、根據(jù)美國(guó)人口從1790年到1990年間的人口數(shù)據(jù)如下表，確定人口指數(shù)增長(zhǎng)模型和Logistic模型中的待定參數(shù)，估計(jì)出美國(guó)2021年的人口，同時(shí)畫出擬合效果的圖形表1美國(guó)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)年份1790180018101820183018401850人口(X106)3.95.37.29.612.917.123.2年份1860187018801890190019101920人口(X106)31.438.650.262.976.092.0106.5年份193019401950196019701980人口(X106)123.2131.7150.7179.3204.0226.5提示：指數(shù)增長(zhǎng)模型：x(t) x

2、0eLogistic 模型： x t xm1% 1 ertXo解：模型一：指數(shù)增長(zhǎng)模型。Malthus模型的根本假設(shè)下，人口的增長(zhǎng)率為常數(shù),記為r,記時(shí)刻t的人口為x(t),即x(t)為模型的狀態(tài)變量且初始時(shí)刻的人dx口為x°,因?yàn)閐7”由假設(shè)可知x(t) xoert經(jīng)擬合得到:x(0)Xox(t) XoertIn x(t) In x0 rt y at a2y In x(t),a1 r,a21nx0r a1,x0 ea2程序：t=1790:10:1980;x(t)=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0

3、 106.5 123.2 131.7150.7 179.3 204.0 226.5 ;y=log(x(t);a=polyfit(t,y,1)r=a(1),x0=exp(a(2)x1=x0.*exp(r.*t);plot(t,x(t),'r',t,x1,'b')結(jié)果：a = 0.0214 -36.6198r= 0.0214 x0= 1.2480e-016所以得到人口關(guān)于時(shí)間的函數(shù)為：x(t) x0e0.0214t ,其中x0 = 1.2480e-016輸入：t=2021;x0 = 1.2480e-016;x(t)=x0*exp(0.0214*t)得到x(t)= 5

4、98.3529即在此用英型下到2021年人口大約為598.3529 106 0350300250200150100500 17801800182018401860188019001920194019601980模型二：阻滯增長(zhǎng)模型或Logistic模型由于資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng) 的阻滯作用，人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率會(huì)下降，假設(shè)人口的增長(zhǎng)率為x的 減函數(shù)，如設(shè)r(x) r(1 x/xm),其中r為固有增長(zhǎng)率(x很小時(shí))，Xm為人dx_x_口容量資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量，于是得到如下微分方程：dt rx( 二) x(0) Xo建立函數(shù)文件curvefit_fun2.mfunction f

5、=curvefit_fun2 (a,t)f=a(1)./(1+(a(1)/3.9-1)*exp(-a(2)*(t-1790);在命令文件main.m中調(diào)用函數(shù)文件curve巾t_fun2.m%定義向量數(shù)組x=1790:10:1990;y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 .92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4;plot(x,y,'*',x,y); %畫點(diǎn)，并且畫一直線把各點(diǎn)連起來(lái)hold on;a0=0.001,1; % 初值%最重要的函數(shù)，第1

6、個(gè)參數(shù)是函數(shù)名一個(gè)同名的 m文件定義，第2個(gè)參數(shù)是初值，第3、4個(gè)參數(shù)是數(shù)據(jù)點(diǎn)a=lsqcurvefit('curvefit fun2',a0,x,y);disp('a=' num2str(a); %顯示結(jié)果%畫圖檢驗(yàn)結(jié)果xi=1790:5:2021;yi=curvefit_fun2(a,xi);plot(xi,yi,'r');%預(yù)測(cè)2021年的數(shù)據(jù)x1=2021;y1=curvefit_fun2(a,x1)hold off運(yùn)行結(jié)果：a=311.95310.02798178y1 =267.1947其中a(1> a(2汾別表示x txm中的x

7、m和r, y1那么是對(duì)美國(guó)美1xm 1 ertx0國(guó)2021年的人口的估計(jì)第二題：?jiǎn)栴}重述：一垂釣俱樂(lè)部鼓勵(lì)垂釣者將釣上的魚放生，打算按照放生的魚的重量給與鼓 勵(lì)，俱樂(lè)部只準(zhǔn)備了一把軟尺用于測(cè)量，請(qǐng)你設(shè)計(jì)按照測(cè)量的長(zhǎng)度估計(jì)魚的重量 的方法。假定魚池中只有一種鯨魚，并且得到 8條魚的如下數(shù)據(jù)胸圍指魚身的 最大周長(zhǎng)：身長(zhǎng)(cm)36.831.843.836.832.145.135.932.1重量(g)76548211627374821389652454胸圍(cm)24.821.327.924.821.631.822.921.6問(wèn)題分析:鯨魚的體重主要與魚的身長(zhǎng)、胸圍有關(guān)系。一般來(lái)說(shuō)，鯨魚的胸圍越大

8、，魚 的體重會(huì)越重，身長(zhǎng)越長(zhǎng)，體重也越重。但魚的胸圍與身長(zhǎng)之間又有些必然的聯(lián) 系，共同影響魚的體重。建模的目的是尋求鯨魚體重與身長(zhǎng)、 胸圍之間的數(shù)量規(guī) 律模型假設(shè)：1、鯨魚的身長(zhǎng)越長(zhǎng)體重越重，體重與身長(zhǎng)存在正相關(guān)關(guān)系；2、鯨魚的胸圍越大體重也越重，體重與胸圍存在正相關(guān)的關(guān)系；3、鯨魚的胸圍、身長(zhǎng)互相影響，共同作用鯨魚的體重；4、鯨魚的形態(tài)近似為與胸圍等周長(zhǎng)與身長(zhǎng)等高的圓柱體。符號(hào)說(shuō)明：L鯨魚的身長(zhǎng)C鯨魚的胸圍W鯨魚的體重模型的建立及求解:一、鯨魚體重與身長(zhǎng)模型確實(shí)立為了研究鯨魚身長(zhǎng)與體重的關(guān)系，我們利用已測(cè)量的數(shù)據(jù)，取出身長(zhǎng)及體重的數(shù)據(jù)，利用MATLAB軟件畫出散點(diǎn)圖，如下：身長(zhǎng)與體重散點(diǎn)圖從

9、圖形上看，鯨魚的體重與身長(zhǎng)可能是二次函數(shù)關(guān)系，我們利用多項(xiàng)式擬合的方法，得到：2W 1.6247*L2-59.3124*L +709,7392根據(jù)擬合的函數(shù)，我們畫出擬合圖：身長(zhǎng)與體重?cái)M合圖2000180016001400120010008006004002003032343638404244464850從擬合圖上看，大局部原始數(shù)據(jù)在擬合函數(shù)附近，說(shuō)明用二次函數(shù)擬合的效果較好，下面利用得出的函數(shù)對(duì)魚的體重進(jìn)展估計(jì)， 用相對(duì)誤差檢驗(yàn)擬合度，得到下表：表一、鯨魚體重實(shí)際值與估計(jì)值比照及誤差表身長(zhǎng)cm)31.832.132.135.936.836.843.845.1重量g)4824824546527

10、3776511621389擬合值 g466.6479.9479.9674.4727.3727.31228.81339.4相對(duì)誤 差%3.20.445.73.444.935.753.570.86從表中的數(shù)據(jù)，我們可以得出鯨魚體重的實(shí)際值與估計(jì)值的相對(duì)誤差不大， 說(shuō)明用二次函數(shù)擬合鯨魚身長(zhǎng)與體重的關(guān)系式可行的。二、鯨魚體重與胸圍的模型確立僅僅考慮鯨魚胸圍對(duì)體重的影響，我們采用與模型一一樣的方法，先畫出鯨魚體 重與胸圍的散點(diǎn)圖：利用多項(xiàng)式擬合的方法，我們得從圖形上看，鯨魚體重與胸圍可能成線性關(guān)系, 到鯨魚體重與胸圍的函數(shù)表達(dá)式：W 92*0-1497.5(2)根據(jù)擬合函數(shù)2，畫出胸圍與體重關(guān)系的擬合

11、圖：利用擬合函數(shù)及實(shí)際數(shù)據(jù)，求出實(shí)際值與擬合值得相對(duì)誤差表:表二、鯨魚體重實(shí)際值與估計(jì)值比照及誤差表胸圍cm21.321.621.622.924.824.827.931.8重量g)48248245465273776511621389擬合值cm462.1489.7489.7609.3784.1784.11069.31428.1相對(duì)誤 差%4.131.607.866.556.392.507.982.81220020020胸圍與體重?cái)M合圖20001800160014001200100080060040022242628303234363840從鯨魚胸圍與體重的擬合圖，及表二中的數(shù)據(jù)，我們可以得出用線

12、性函數(shù)擬 合胸圍與體重的關(guān)系擬合程度高，鯨魚體重的實(shí)際值與估計(jì)值的相對(duì)誤差不大， 說(shuō)明用線性函數(shù)擬合鯨魚身長(zhǎng)與體重的關(guān)系式可行的。三、建立體重與身長(zhǎng)、胸圍相互影響的模型實(shí)際情況下，鯨魚的體重不可能只由身長(zhǎng)、胸圍單方面影響，因此考慮建立 身長(zhǎng)、胸圍共同作用體重的模型。此模型的建立是基于假設(shè)，4，即：鯨魚的體態(tài)用與胸圍等周長(zhǎng)，與身 長(zhǎng)等高的圓柱形來(lái)近似。因?yàn)閳A柱體的體積等于底面積乘高，底面積可以用周長(zhǎng)C22表示： J.因此可以分析得出W LC .又物體質(zhì)量等于密度與體積的乘積，因4此只需根據(jù)數(shù)據(jù)求出密度即可。于是身長(zhǎng)、胸圍與體重的關(guān)系可以表示為：W LC2,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)系數(shù)的求解。根據(jù)數(shù)據(jù)，利用 MATLAB軟件求解,得到：0.03273因此，W 0.0327LC24利用得出的函數(shù)對(duì)魚的體重進(jìn)展估測(cè)并列如下