第2章解析函數(shù)

1、第2章 解析函數(shù)By By 付小寧付小寧 1.1.1復變函數(shù)的導數(shù) 定義定義1 設函數(shù) 在包含 的某區(qū)域 內有定義，當變量 在點 處取得增量 時，相應地，函數(shù) 取得增量 若極限 （或 ） （2.1） 存在，則稱 在點 處可導，)(zf0zDz0zz)(0Dzz)()(00zfzzfw)(zfzzfzzfz)()(lim000000( )()limzzf zf zzz)(zf0z1 解析函數(shù)的概念 此極限值稱為 在點 處的導數(shù)，記作 或 ，即 如果函數(shù) 在區(qū)域區(qū)域 內每一點都可導，則稱 在 內可導. 如果函數(shù) 在曲線曲線 L上每一點都可導，則稱 在 L上可導. )(zf0z)(0zf 0zzdw

2、dz000()()limzf zzf zz 0()fz0zzdwdz)(zfD)(zfD)(zf)(zf 例例1 求函數(shù) 的導數(shù)（ 為正整數(shù)）. 解解 因為 所以，由導數(shù)定義有 ( )nf zzn0()()nnkkn knkzzC zznnnnnnnnnnzzCzzCzzCz)()()()(22211( )fzzzzzznnzn)(lim)(0)()(lim112110nnnnnnzzCzzCz1nnz例例2 是否可導？是否可導？問問yixzf2)( zzfzzfzfzz )()(limlim00解解zyixiyyxxz 2)(2)(lim0yixyixz 2lim0 ，軸的直線趨向于軸的直線

3、趨向于沿著平行于沿著平行于設設zxzz xyoz0 yxyoz0 yyixyixz 2lim0, 1lim0 xxx ，軸的直線趨向于軸的直線趨向于沿著平行于沿著平行于設設zyzz 0 xyixyixz 2lim0, 22lim0 yiyiy不存在不存在的導數(shù)的導數(shù)所以所以.2)(yixzf 1.1.2 可導與連續(xù)的關系 若函數(shù) 在點 處可導，則 在點 處必連續(xù). 當w為常數(shù)時,連續(xù)函數(shù)可導. 證證因為 知 ，故 在點 處連續(xù). )(zfw 0z)(zf0z0000)()()(lim)()(lim00zzzfzfzzzfzfzzzz000)()(lim)(lim00zzzfzfzzzzzz0)

4、(00zf)()(lim00zfzfzz)(zf0z 由于復變函數(shù)中導數(shù)的定義與一元實變函由于復變函數(shù)中導數(shù)的定義與一元實變函數(shù)中導數(shù)的定義在形式上完全一致數(shù)中導數(shù)的定義在形式上完全一致, 并且復變函并且復變函數(shù)中的極限運算法則也和實變函數(shù)中一樣數(shù)中的極限運算法則也和實變函數(shù)中一樣, 因而因而實變函數(shù)中的求導法則都可以不加更改地推廣實變函數(shù)中的求導法則都可以不加更改地推廣到復變函數(shù)中來到復變函數(shù)中來, 且證明方法也是相同的且證明方法也是相同的.求導公式與法則求導公式與法則: . , 0)()1(為復常數(shù)為復常數(shù)其中其中cc .,)()2(1為正整數(shù)為正整數(shù)其中其中nnzznn 1.1.3 導數(shù)

5、運算法則 ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()()()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf )( ).()()()6(zgwzgwfzgf 其中其中0)( ,)()( ,)(1)()7( wwzzfwwzf 且且函數(shù)函數(shù)兩個互為反函數(shù)的單值兩個互為反函數(shù)的單值是是與與其中其中 例例3 求下列函數(shù)的導數(shù). （1） （2） 解解 （1） （2） 52)2()(izzf)0()1 ()(242zzzzf( )fz4242)2(204)2(5izzziz2 3232(1) (31)zzz2332444(

6、1) 22 (1)( )zzzzfzz 例例4 設 . 解解 因為 所以 ( )f z )(,)42(22ifzz求( )fz)22()42(22zzz2)(24)(2)(2)(2iiiif)1)(23(4iii204 復變函數(shù)微分的概念在形式上與一元實變復變函數(shù)微分的概念在形式上與一元實變函數(shù)的微分概念完全一致函數(shù)的微分概念完全一致. )( )( , )(, 0)(lim ,)()()()(,)( 000000線性部分線性部分的的的改變量的改變量是函數(shù)是函數(shù)小小的高階無窮的高階無窮是是式中式中則則可導可導在在設函數(shù)設函數(shù)wzfwzzfzzzzzzzzfzfzzfwzzfwz .)( , )(

7、 )(000zzfdwzzfwzzf 記作記作的微分的微分在點在點稱為函數(shù)稱為函數(shù)定義定義21.1.4 復變函數(shù)的微分. )( , 00可微可微在在則稱函數(shù)則稱函數(shù)的微分存在的微分存在如果函數(shù)在如果函數(shù)在zzfz特別地特別地, , )( 時時當當zzf zwdd zzf )(0, z ,d)()(d00zzfzzfw 0dd)( 0zzzwzf 即即 .)(00可微是等價的可微是等價的可導與在可導與在在在函數(shù)函數(shù)zzzfw .)( ,)(內可微內可微區(qū)域區(qū)域在在則稱則稱內處處可微內處處可微區(qū)域區(qū)域在在如果函數(shù)如果函數(shù)DzfDzf1. 2 解析函數(shù)的概念1.2.1 解析函數(shù)的定義解析函數(shù)的定義.

8、 )( , )(000解析解析在在那末稱那末稱導導的鄰域內處處可的鄰域內處處可及及在在如果函數(shù)如果函數(shù)zzfzzzf).( )( .)( ,)(全純函數(shù)或正則函數(shù)全純函數(shù)或正則函數(shù)個解析函數(shù)個解析函數(shù)內的一內的一區(qū)域區(qū)域是是或稱或稱內解析內解析區(qū)域區(qū)域在在則稱則稱內每一點解析內每一點解析區(qū)域區(qū)域在在如果函數(shù)如果函數(shù)DzfDzfDzf1.2.2 奇點的定義奇點的定義.)( , )(00的奇點的奇點為為那末稱那末稱不解析不解析在在如果函數(shù)如果函數(shù)zfzzzf根據(jù)定義可知根據(jù)定義可知:函數(shù)在函數(shù)在區(qū)域內解析區(qū)域內解析與在與在區(qū)域內可導區(qū)域內可導是是等價等價的的.但是但是,函數(shù)在函數(shù)在一點處解析一點處

9、解析與在與在一點處可導一點處可導是是不等不等價價的概念的概念. 即函數(shù)在一點處可導即函數(shù)在一點處可導, 不一定在該點不一定在該點處解析處解析.函數(shù)在一點處解析比在該點處可導的要求要高函數(shù)在一點處解析比在該點處可導的要求要高得多得多.例例5 .)( 2)(,)( 22的解析性的解析性和和研究函數(shù)研究函數(shù)zzhyixzgzzf 解解由本節(jié)知識可知由本節(jié)知識可知: ; )( 2在復平面內是解析的在復平面內是解析的zzf ; 2)(處處不解析處處不解析yixzg , )( 2的解析性的解析性下面討論下面討論zzh zzhzzh )()(00zzzz 2020zzzzzzz 0000)(,00zzzzz

10、 , 0)1(0 z. 0)()(lim000 zzhzzhz, 0)2(0 z , )( 0000zxxkyyzz趨于趨于沿直線沿直線令令 zzyixyix xyixyi 11ikik 11 , 的任意性的任意性由于由于 k .11不趨于一個確定的值不趨于一個確定的值kikizz .)()(lim000不存在不存在zzhzzhz . , , 0 )( 2析析它在復平面內處處不解它在復平面內處處不解根據(jù)定義根據(jù)定義不可導不可導而在其他點都而在其他點都處可導處可導僅在僅在因此因此 zzzh例例6.1 的的解解析析性性研研究究函函數(shù)數(shù)zw 解解 , 0 1 處處可導處處可導在復平面內除在復平面內除

11、因為因為 zzw ,1dd 2zzw 且且 , 0 外處處解析外處處解析在復平面內除在復平面內除所以所以 zw . 0 為它的奇點為它的奇點 z例例7.)Re()( 的可導性與解析性的可導性與解析性研究函數(shù)研究函數(shù)zzzf 解解, 0)1( zzfzfz )0()0(lim0, 0)Re(lim0 zzzz . 0 )Re()( 處可導處可導在在故故 zzzzf, 0)2( zzzfzzf )()(zzzzzzz )Re()Re()()Re()Re()Re(zzzzzzz , yixz 令令zzfzzf )()( , xxyixxz ,)()(lim 00 xzzfzzfyx 因為因為,)()

12、(lim 00 xzzzfzzfxy . )()(lim 0不存在不存在所以所以zzfzzfz . , , 0 )( 析析它在復平面內處處不解它在復平面內處處不解根據(jù)定義根據(jù)定義可導可導而在其他點都不而在其他點都不處可導處可導僅在僅在因此因此 zzf , )( , 0 不可導不可導時時即當即當zfz 課堂練習課堂練習.1 的的解解析析性性研研究究函函數(shù)數(shù)zw 答案答案處處不可導處處不可導, ,處處不解析處處不解析. .定理定理 . )( )( )( )1(內解析內解析在在除去分母為零的點除去分母為零的點和、差、積、商和、差、積、商的的與與內解析的兩個函數(shù)內解析的兩個函數(shù)在區(qū)域在區(qū)域DzgzfD

13、. )( , )( , . )( , )( )2(內解析內解析在在那末復合函數(shù)那末復合函數(shù)于于都屬都屬的對應值的對應值函數(shù)函數(shù)內的每一個點內的每一個點對對如果如果內解析內解析平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域在在函數(shù)函數(shù)內解析內解析平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域在在設函數(shù)設函數(shù)DzgfwGhzgzDGhhfwDzzgh 以上定理的證明以上定理的證明, 可利用求導法則可利用求導法則.根據(jù)定理可知根據(jù)定理可知:(1) 所有多項式在復平面內是處處解析的所有多項式在復平面內是處處解析的. , )()( )2(它的奇點它的奇點使分母為零的點是使分母為零的點是的的零的點的區(qū)域內是解析零的點的區(qū)域內是解析在不含分母為在不含

14、分母為任何一個有理分式函數(shù)任何一個有理分式函數(shù)zQzP 2 函數(shù)解析的充要條件 2. 1 回顧解析函數(shù) 2.1.1 如果函數(shù) 不僅在點 處可導，而且在點 的某鄰域內的每一點都可導，則稱 在點 處解析，并稱點 是函數(shù)的解析點；如果函數(shù) 在區(qū)域 內每一點都解析，則稱 在區(qū)域 內解析或稱 為區(qū)域 內的解析函數(shù)，區(qū)域 稱為的 解析區(qū)域. 0z)(zfD0z)(zf0z0z)(zf)(zfD)(zfDD)(zf 如果 在點 處不解析，但在 的任一鄰域內總有 的解析點,則稱 為 的奇點. 問題問題：有函數(shù)在曲線上解析、曲線外不解析？)(zf0z0z)(zf0z)(zf 2.1.2. 解析函數(shù)的運算性質：（

15、1）若函數(shù) 和 在區(qū)域 內解析，則 、 、 在 內也解析；（2）若函數(shù) 在區(qū)域 內解析，而 在區(qū)域 內解析，且 ，則復合函數(shù) 在 內也解析，且.)(zf( )g zD( )f z ( )g z( )( )f zg z( )( ( )0)( )f zg zg zD)(hfw G( )hg z()g DG ( )wf g zD ( )( )( )df g zdf hdg zdzdhdz.D 2.2 函數(shù)解析的充要條件 定理一 設函數(shù) 在區(qū)域 內有定義，則 在 內解析的充分必要條件為 在 內任一點 處 （1）可微； （2）滿足 上式稱為柯西黎曼（Cauchy-Riemann）條件（或方程），簡稱CR

16、條件（或方程）. ),(),()(yxivyxuzfD)(zf, u vzxiyDD,uvxyxvyu定理1的證明（必要性）：導數(shù)的定義，可得：，則由處可導，把記為在設ibazfiyxzzf)( )(|)(|)( |)(|)()()(zoyixibazozibazfzzf實部和虛部整理得：。按，其中yixzviuzfzzf)()(；|)(|),(),(zoybxayxuyyxxu(,)( , )(|)v xx yyv x yb xa yoz ；xvyuyvxu 程成立：方處可微，并有在及因此，RCyxyxvyxu),(),(),(程成立，則有方處可微，并有在及設RCyxyxvyxu),(),(

17、),(；|)(|),(),(zoyyxuxyxuuyx；|)(|),(),(zoyyxvxyxvvyx:方程可得由RC ；|)(|)(,(),(zoyixyxivyxuviuwxx所以ibayxivyxuxxzwz),(),(lim0處可導。在即iyxzzf)(定理1的證明（充分性）： 定理二 函數(shù) 在區(qū)域 內解析的充要條件為 （1） 在 內連續(xù)； （2） 在 內滿足CR條件 ，),(),()(yxivyxuzfD,uuvvxyxyD, u v,uvxyxvyuD例1 討論下列函數(shù)的可導性和解析性：).sin(cos)( (3). ;|(2). );Re(.12yiyezfzwzwx）（，且，

18、）因為解：（01vxu0 0 0 , 1yvxvyuxu.,)Re(從而不解析導可在整個復平面內處處不所以立，方程在整個復平面不成所以zwRC且，所以、, 0|)2(22222vyxuyxzw0 02y ,2yvxvyuxux不解析。，因此，在整個復平面上不可導。，；可導，在方程成立，所以處只有在點)()(00)( 0)()0 , 0(zfzfzzfzzfR且，所以因為,sincos)sin(cos)( (3).yevyeuyiyezfxxxcosy, siny, siny, ,cosyxyvxxvxyuxxueeee在整個復平面內解析；方程成立，所以四個偏導數(shù)連續(xù)，并且)(R-Czf).()

19、sin(cos)( zfyiyexvixuzfx事實上，解解例例2 ? )( , , , , ),()(2222解析解析在復平面內處處在復平面內處處取何值時取何值時問常數(shù)問常數(shù)設設zfdcbaydxycxibyaxyxzf ,2ydxyv ,2ayxxu ,2byaxyu ,2dycxxv , , xvyuyvxu 欲使欲使 ayx2,2ydx ,2byax dycx2. 2 , 1 , 1 , 2 dcba所求所求例例3. )( , )( 內為一常數(shù)內為一常數(shù)區(qū)域區(qū)域在在則則內處處為零內處處為零在區(qū)域在區(qū)域如果如果DzfDzf 證證xvixuzf )(, 0 yuiyv, 0 xvyuyvx

20、u故故 , , 常數(shù)常數(shù)常數(shù)常數(shù)所以所以 vu . )( 內為一常數(shù)內為一常數(shù)在區(qū)域在區(qū)域因此因此Dzf參照以上例題可進一步證明參照以上例題可進一步證明: . , )( 則以下條件彼此等價則以下條件彼此等價內解析內解析在區(qū)域在區(qū)域如果如果Dzf ;)( )1(恒取實值恒取實值 zf; 0)()2( zf ;)( )3(常數(shù)常數(shù) zf ;)( )4(解析解析zf ;)(Re )5(常數(shù)常數(shù) zf ;)(Im )6(常數(shù)常數(shù) zf;)7(2uv .)( arg )8(常數(shù)常數(shù) zf例例4 4. , , ),( ),( 0,)( , )(2121為常數(shù)為常數(shù)其中其中必相互正交必相互正交與與那末曲線族

21、那末曲線族且且為一解析函數(shù)為一解析函數(shù)設設cccyxvcyxuzfivuzf 證證 )( zf因為因為, 01 yuiyv , 不全為零不全為零與與所以所以yuyv , 都不為零都不為零與與如果在曲線的交點處如果在曲線的交點處yuyv 根據(jù)隱函數(shù)求導法則根據(jù)隱函數(shù)求導法則,線的斜率分別為線的斜率分別為中任一條曲中任一條曲與與曲線族曲線族 ),( ),( 21cyxvcyxu ,21yxyxvvkuuk 根據(jù)柯西黎曼方程得根據(jù)柯西黎曼方程得 yxyxvvuukk21, 1 yyyyvuuv . ),( ),( 21相互正交相互正交與與故曲線族故曲線族cyxvcyxu . , , , , 它們仍然

22、相互正交它們仍然相互正交一條是鉛直的一條是鉛直的另另的切線一條是水平的的切線一條是水平的兩族中的曲線在交點處兩族中的曲線在交點處則另一個必不為零則另一個必不為零中有一個為零中有一個為零和和如果如果yyvu一、指數(shù)函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)的定義指數(shù)函數(shù)的定義: )( 個條件個條件在復平面內滿足以下三在復平面內滿足以下三當函數(shù)當函數(shù)zf;)( (1)在復平面內處處解析在復平面內處處解析zf);()( (2)zfzf ).Re(,)( ,0)Im( (3)zxezfzx 其中其中時時當當)sin(cosexp ,yiyezzx 記為記為的指數(shù)函數(shù)的指數(shù)函數(shù)此函數(shù)稱為復變數(shù)此函數(shù)稱為復變數(shù)2.3 初等函數(shù)指數(shù)

23、函數(shù)的定義等價于關系式指數(shù)函數(shù)的定義等價于關系式: )(,2)(expArg,|exp|為任何整數(shù)為任何整數(shù)其中其中kkyzezx . exp 來表示來表示可以用可以用指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)zez)sin(cosyiyeexz . exp , 的符號的符號只是代替只是代替沒有冪的意義沒有冪的意義注意注意zez2. 加法定理加法定理)exp(expexp2121zzzz 證證 , , 222111iyxziyxz 設設21expexpzz 左端左端)sin(cos)sin(cos221121yiyeyiyexx )sincoscos(sin)sinsincos(cos2121212121yyyyiyy

24、yyexx )sin()cos(212121yyiyyexx .)exp(21右端右端 zz , exp ,的周期性的周期性可以推出可以推出根據(jù)加法定理根據(jù)加法定理z,2expikz 的周期是的周期是. 22zikzikzeeee 即即)(為任何整數(shù)為任何整數(shù)其中其中k . 所沒有的所沒有的該性質是實變指數(shù)函數(shù)該性質是實變指數(shù)函數(shù)xe例例5 );Re()3(;)2(;)1( , 122zzzieeeiyxz 求求設設解解)sin(cos yiyeeexiyxz 因為因為 .cos)Re( , yeeeexzxz 實部實部所以其模所以其模zie2)1( )(2iyxie ,)21(2yixe ;

25、22xziee 2)2(ze2)(iyxe ,222xyiyxe ;222yxzee ze1)3(yixe 1,2222yxyiyxxe .cos)Re(22122yxyeeyxxz 例例6 解解求出下列復數(shù)的輻角主值求出下列復數(shù)的輻角主值:).20()5(;)4(;)3(;)2(;)1(4343322 iiiiiieeeeee )sin(cos 的輻角的輻角因為因為yiyeeexiyxz )(2Arg為整數(shù)為整數(shù)kkyez .,(- arg 內的一個輻角內的一個輻角為區(qū)間為區(qū)間其輻角主值其輻角主值 ze)1( ,21Arg2 kei; 1arg2 ie)2( ,23Arg32 kei; 3a

26、rg32 ie ,24Arg43 kei;24arg43 ie ,24Arg43 kei;24arg43 ie iiee )5(;)3(43ie ;)4(43ie )sin(cossincos ii )sin(sin)cos(cos i2sin2cos22sin2sin2 i 2cos2sin2sin2 i 2sin2cos2sin2 i ,20 因為因為, 02sin . 的三角表示式的三角表示式上式就是復數(shù)上式就是復數(shù) iiee )( Arg iiee 所以所以,22k ,時時當當 )(arg iiee ,2 ,時時當當 )(arg iiee .22 例例7 的周期的周期求函數(shù)求函數(shù). )

27、( 5zezf 解解,2ikez 的周期是的周期是5)(zezf ikze 25510ikze 的周期是的周期是故函數(shù)故函數(shù).10 )( 5ikezfz ),10(ikzf 二、對數(shù)函數(shù)1. 定義定義4.ArglnLn , )( )0( zizzwzfwzzew 記為記為稱為對數(shù)函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)的函數(shù)的函數(shù)滿足方程滿足方程 .2 , )( , Arg的整數(shù)倍的整數(shù)倍并且每兩值相差并且每兩值相差也是多值函數(shù)也是多值函數(shù)所以對數(shù)函數(shù)所以對數(shù)函數(shù)為多值函數(shù)為多值函數(shù)由于由于izfwz ,arg Arg ArglnLn zzzizz取主值取主值中中如果將如果將 . Ln ln Ln 的主值的主值稱為稱

28、為，記為記為為一單值函數(shù)，為一單值函數(shù)，那末那末zzz.arglnlnzizz 其余各值為其余各值為), 2, 1(2lnLn kikzz. Ln , , 的一個分支的一個分支稱為稱為上式確定一個單值函數(shù)上式確定一個單值函數(shù)對于每一個固定的對于每一個固定的zk特殊地特殊地, .,lnln Ln , 0 是實變數(shù)對數(shù)函數(shù)是實變數(shù)對數(shù)函數(shù)的主值的主值時時當當xzzxz 例例8 解解 . )1(Ln , 2Ln 以及與它們相應的主值以及與它們相應的主值求求 ,22ln2Ln ik 因為因為 ln2. Ln2 的主值就是的主值就是所以所以)1(Arg1ln)1(Ln i因為因為 )()12(為整數(shù)為整

29、數(shù)kik . 1)Ln( i 的主值就是的主值就是所以所以注意注意: 在實變函數(shù)中在實變函數(shù)中, 負數(shù)無對數(shù)負數(shù)無對數(shù), 而復變數(shù)對而復變數(shù)對數(shù)函數(shù)是實變數(shù)對數(shù)函數(shù)的拓廣數(shù)函數(shù)是實變數(shù)對數(shù)函數(shù)的拓廣.例例9解解. 031 iez解方程解方程,31 iez 因為因為)31(Ln iz 所以所以 kii2331ln ki232ln), 2, 1, 0( k例例10解解).3(Ln)3();33(Ln)2();32(1)Ln : ii求下列各式的值求下列各式的值)32(1)Lni )32(Arg32lniii .223arctan13ln21 ki), 2, 1, 0( k.6232ln ki),

30、2, 1, 0( k)3(Ln)3( )3(Arg3ln i.)12(3lnik ), 2, 1, 0( k)33(Ln)2(i )33(Arg33lniii ki233arctan32ln2. 性質性質,LnLn)(Ln)1(2121zzzz ,LnLnLn)2(2121zzzz 且且處處可導處處可導和其它各分支處處連續(xù)和其它各分支處處連續(xù)主值支主值支的復平面內的復平面內包括原點包括原點在除去負實軸在除去負實軸 , , ,)( )3(.1)Ln(,1)(lnzzzz 證證 (3) , iyxz 設設,0時時當當 x,arglim0 zy,arglim0 zy. ln , ,處處連續(xù)處處連續(xù)在

31、復平面內其它點在復平面內其它點除原點與負實軸除原點與負實軸所以所以z , ln arg是單值的是單值的內的反函數(shù)內的反函數(shù)在區(qū)域在區(qū)域zwzezw wezzwdd1dlnd 證畢證畢.1z 三、乘冪 與冪函數(shù)ba1. 乘冪的定義乘冪的定義 , , , Lnabbeaba定義為定義為乘冪乘冪復數(shù)復數(shù)為任意一個為任意一個為不等于零的一個復數(shù)為不等于零的一個復數(shù)設設 . Lnabbea 即即注意注意: :. , )2arg(lnLn 也是多值的也是多值的因而因而是多值的是多值的由于由于bakaiaa , )1(為整數(shù)時為整數(shù)時當當b Lnabbea )2arg(ln kaiabeikbaiabe 2

32、)arg(ln ,lnabe .具有單一的值具有單一的值ba ,0) ,( )2(時時為互質的整數(shù)為互質的整數(shù)與與當當 qqpqpb)2arg(ln kaiaqpbea)2arg(ln kaqpiaqpe )2arg(sin)2arg(cos lnkaqpikaqpeaqp , 個值個值具有具有 qab .)1( , 2 , 1 , 0 時相應的值時相應的值即取即取 qk特殊情況特殊情況: ,)( )1時時正整數(shù)正整數(shù)當當nb Lnannea LnLnLnaaae ) (項項指數(shù)指數(shù) n LnLnLnaaaeee ) (個個因子因子 n.aaa ) (個個因子因子 n ,)( 1 )2時時分數(shù)

33、分數(shù)當當nb Ln11annea nkainkaean2argsin2argcos ln1 nkainkaan2argsin2argcos 1,na . )1( , 2 , 1 , 0 nk其中其中; , bzwza 就得到一般的冪函數(shù)就得到一般的冪函數(shù)為一復變數(shù)為一復變數(shù)如果如果. , 1 1nnnnzzwwzzwnnb 的反函數(shù)的反函數(shù)及及數(shù)數(shù)就分別得到通常的冪函就分別得到通常的冪函時時與與當當例例1111 . 1 2的值的值和和求求ii解解Ln1221e 22 ike)22sin()22cos( kik ., 2, 1, 0 k其中其中iiieiLn ikiie22 ke22 ., 2,

34、 1, 0 k其中其中答案答案課堂練習課堂練習.3)( 5 計算計算), 2, 1, 0( .)12(5sin)12(5cos3)3(55 kkik例例1212 . )(1 的輻角的主值的輻角的主值求求ii 解解)Ln(1)1(iiiei ikiie242ln21 ., 2, 1, 0 k其中其中)1(Arg1lniiiie 2ln2124 ike 2ln21sin2ln21cos 24iek ln2.21 )(1 的輻角的主值為的輻角的主值為故故ii 2. 冪函數(shù)的解析性冪函數(shù)的解析性 , )1(的的在復平面內是單值解析在復平面內是單值解析冪函數(shù)冪函數(shù)nz .)(1 nnnzz . , )2

35、(1個分支個分支具有具有是多值函數(shù)是多值函數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù)nzn它的它的 各個分支在除去原點和負實軸的復平面各個分支在除去原點和負實軸的復平面內是解析的內是解析的, nnzz1 zneLn1.111 nzn它的它的 各個分支在除去原點和負實軸的復平面各個分支在除去原點和負實軸的復平面內是解析的內是解析的, ,) 1 ( (3)也是一個多值函數(shù)也是一個多值函數(shù)兩種情況外兩種情況外與與除去除去冪函數(shù)冪函數(shù)nnbzwb .)(1 bbbzz ., 是無窮多值的是無窮多值的為無理數(shù)或負數(shù)時為無理數(shù)或負數(shù)時當當b四、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)1. 三角函數(shù)的定義三角函數(shù)的定義,sincos yiyeiy 因為因為

36、,sincos yiyeiy 將兩式相加與相減將兩式相加與相減, 得得,2cosiyiyeey .2sinieeyiyiy 現(xiàn)在把余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的定義推廣到自變現(xiàn)在把余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的定義推廣到自變數(shù)取復值的情況數(shù)取復值的情況.,2cos izizeez 我們定義余弦函數(shù)為我們定義余弦函數(shù)為.sin數(shù)數(shù)為為iz-ize -e z =2i正正弦弦函函.cos , sin ,是偶函數(shù)是偶函數(shù)是奇函數(shù)是奇函數(shù)容易證明容易證明zz.cos)cos(,sin)sin(zzzz .cos)2cos(,sin)2sin(zzzz .2 為周期的為周期的是以是以正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都

37、例例1313 . 5sin)( 的周期的周期求求zzf 解解,sin)2sin( zz 因為因為,5sin)25sin( zz 所以所以 525sin)25sin( zz又因為又因為,5sin525sin zz 所以所以 .52 5sin)( 的周期是的周期是故故zzf有關正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的幾組重要公式有關正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的幾組重要公式 . 1cossin,sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()1(22212121212121zzzzzzzzzzzzzz .sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()2(yixyixyixyix

38、yixyix正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復平面內都是解析函數(shù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復平面內都是解析函數(shù).sin)(cos,cos)(sinzzzz , 時時為純虛數(shù)為純虛數(shù)當當yiz,cosh2cosyeeyiyy .sinh2sinyiieeyiyy .sinhcoscoshsin)sin(,sinhsincoshcos)cos()3(yxiyxyixyxiyxyix .cos ,sin , yiyiy時時當當( (注意：這是與實變函數(shù)完全不同的注意：這是與實變函數(shù)完全不同的) )其他復變數(shù)三角函數(shù)的定義其他復變數(shù)三角函數(shù)的定義,cossintan zzz 正切函數(shù)正切函數(shù),sincoscot zzz

39、 余切函數(shù)余切函數(shù),cos1sec zz 正割函數(shù)正割函數(shù).sin1csc zz 余割函數(shù)余割函數(shù) . , , , cos sin 解析性解析性奇偶性奇偶性周期性周期性我們可以討論它們的我們可以討論它們的類似類似和和與與zz例例1414 . tan 的實部與虛部的實部與虛部確定確定z解解zzzcossintan , iyxz 設設)cos()sin(yixyix yxiyxyxiyxsinhsincoshcossinhcoscoshsin yxyxyyixx2222sinh)cos1(coshcossinhcoshcossin .sinh2cos22sinhsinh2cos22sin2222y

40、xyiyxx )Re(tanz )Im(tanz 例例1515解解 , iyxz 設設 . 1sinhsin iz 解方程解方程)sin(sinyixz yxiyxsinhcoscoshsin , 1sinhi 0,coshsin yx故有故有1sinsinhcos yx, 0cosh y因為因為, 0sin x所以所以, kx代入代入將將 kx1sinsinhcos yx, 1sinh)1(sinhky , 3, 1, 1, 4, 2, 0, 1kky, 2, 1, 0,)12(,2 nininz即即例例1616 . )3tan( )1(cos 的值的值和和求求ii 解解2)1cos()1(

41、)1(iiiieei 211iiee )1sin1(cos)1sin1(cos211ieie 1sin)(211cos)(2111ieeee . 1sinh1sin1cosh1cosi )3cos()3sin()3tan(iii iiiisin3sincos3cossin3coscos3sin 1sinh3sin1cosh3cos1sinh3cos1cosh3sinii 22)1sinh3(sin)1cosh3(cos)1cosh3sin1cosh3)(cos1sinh3cos1cosh3(sin ii1sinh3sin1cosh3sin1cosh3sin1cosh3cos1sinh1cosh3cos3sin22222222 i.)3(sin2)1(cosh22sin6sin22 i2. 雙曲函數(shù)的定義雙曲函數(shù)的定義,2cosh zzeez 為為我們定義雙曲余弦函數(shù)我們定義雙曲余弦函數(shù),2sinh zzeez 雙曲正弦函數(shù)為雙曲正弦函數(shù)為.zzzzeeeetanhz 雙曲正切函數(shù)為雙曲正切函數(shù)為. , 的定義完全一致的定義完全一致函數(shù)函數(shù)它與高等數(shù)學中的雙曲它與高等數(shù)學中的雙曲時時為實數(shù)為實數(shù)當當xz.cosh , sinh ,是偶函數(shù)是偶函數(shù)是奇函數(shù)是奇函數(shù)容易證明容易證明zz它們的導數(shù)分別為它們的導數(shù)分別為,cosh)(sinhzz 并有如下公