材料力學劉鴻文學習教案

1、會計學1材料力學材料力學(ci lio l xu)劉鴻文劉鴻文第一頁，共55頁。第2頁/共55頁第1頁/共55頁第二頁，共55頁。受扭轉(nizhun)變形桿件通常為軸類零件，其橫截面大都是圓形的，所以本章主要介紹圓軸扭轉(nizhun)。第3頁/共55頁第2頁/共55頁第三頁，共55頁。3-2 外力偶矩的計算外力偶矩的計算(j sun) 扭矩和扭矩和扭矩圖扭矩圖直接直接(zhji)(zhji)計計算算1 1外力偶矩外力偶矩第4頁/共55頁第3頁/共55頁第四頁，共55頁。按輸入按輸入(shr)(shr)功率和轉功率和轉速計算速計算電機電機(dinj)(dinj)每秒輸每秒輸入功：入功：外力偶

2、外力偶(l u)(l u)作作功完成：功完成：)N.m(1000kPW602nMWe已知已知軸轉速軸轉速n n 轉轉/ /分鐘分鐘輸出功率輸出功率P P 千瓦千瓦求：力偶矩求：力偶矩M Me em)(N9550nPm第5頁/共55頁第4頁/共55頁第五頁，共55頁。例例3-2-1 傳動軸如圖所示，主動輪傳動軸如圖所示，主動輪A輸入功率輸入功率PA=50kW，從動，從動輪輪B、C、D輸出功率分別為輸出功率分別為PB=PC=15kW，PD=20kW，軸的，軸的轉速轉速(zhun s)n=300r/min，計算各輪上所受的外力偶矩。，計算各輪上所受的外力偶矩。 MAMBMCBCADMD解：計算解：計

3、算(j sun)外力外力偶矩偶矩mN6379550mN5 .4779550mN15929550nPMnPMMnPMDDBCBAA第6頁/共55頁第5頁/共55頁第六頁，共55頁。2 2扭矩與扭矩圖扭矩與扭矩圖, 0 xM由0eMTeMT得扭矩的正負號規(guī)定：按右手螺旋扭矩的正負號規(guī)定：按右手螺旋法則法則(fz)，T矢量背離截面為正，矢量背離截面為正，指向截面為負（或矢量與截面外指向截面為負（或矢量與截面外法線方向一致為正，反之為負）法線方向一致為正，反之為負）T稱為稱為(chn wi)截面截面n-n上的扭矩。上的扭矩。用截面法求扭矩時，建議均假設各截面扭矩用截面法求扭矩時，建議均假設各截面扭矩T

4、為正，為正，如果由平衡方程得到如果由平衡方程得到(d do)T為正，則說明是正的為正，則說明是正的扭矩，如果為負，則是負的扭矩。在畫軸的扭矩圖，扭矩，如果為負，則是負的扭矩。在畫軸的扭矩圖，正的扭矩畫在正的扭矩畫在x軸上方，負的扭矩畫在軸上方，負的扭矩畫在x軸下方。軸下方。注意注意MeMeMeTx第7頁/共55頁第6頁/共55頁第七頁，共55頁。第8頁/共55頁第7頁/共55頁第八頁，共55頁。扭矩圖：表示扭矩圖：表示(biosh)沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。 目目 的的扭矩變化規(guī)律；|T|max值及其截面位置 強度計算（危險截面）。xT第9

5、頁/共55頁第8頁/共55頁第九頁，共55頁。例例3-2-2 3-2-2 計算計算(j sun)(j sun)例例3-2-13-2-1中所示軸的扭矩，并作扭矩中所示軸的扭矩，并作扭矩圖。圖。MAMBMCBCADMD解：已知解：已知mN637mN5 .477mN1592DCBAMMMM477.5Nm955Nm637NmT+-作扭矩圖如左圖示。作扭矩圖如左圖示。第10頁/共55頁第9頁/共55頁第十頁，共55頁。例例3-2-3 3-2-3 已知：一傳動軸，已知：一傳動軸， n =300r/min n =300r/min，主動輪，主動輪(dngln)(dngln)輸入輸入 P1=500kWP1=50

6、0kW，從動輪，從動輪(dngln)(dngln)輸出輸出 P2=150kW P2=150kW，P3=150kWP3=150kW，P4=200kWP4=200kW，試繪制扭矩圖。試繪制扭矩圖。解：計算解：計算(j sun)外力外力偶矩偶矩m)15.9(kN 3005009.5555911nP.mm)(kN 78. 43001509.5555. 9232nPmmm)(kN 37. 63002009.5555. 944nPmnA B C Dm2 m3 m1 m4112233第11頁/共55頁第10頁/共55頁第十一頁，共55頁。求扭矩（扭矩按正方向求扭矩（扭矩按正方向(fngxing)設）設）mk

7、N784 0 , 02121.mTmTmCmkN569784784( , 0 322322.).mmTmmTmkN37. 6 , 0 4343mTmT第12頁/共55頁第11頁/共55頁第十二頁，共55頁。繪制繪制(huzh)扭矩圖扭矩圖mkN 569max .TBC段為危險段為危險(wixin)截面。截面。xTnA B C Dm2 m3 m1 m44.789.566.37第13頁/共55頁第12頁/共55頁第十三頁，共55頁。3-3 純剪切純剪切薄壁圓筒：薄壁圓筒：壁厚r101（r：為平均(pngjn)半徑）1實驗實驗(shyn)：實驗實驗(shyn)前：前：繪縱向線，圓周線；繪縱向線，圓周

8、線；施加一對外力偶施加一對外力偶 m。一、薄壁圓筒扭轉時的切應力一、薄壁圓筒扭轉時的切應力 第14頁/共55頁第13頁/共55頁第十四頁，共55頁。2 實驗實驗(shyn)后：后：圓周線不變；圓周線不變；縱向縱向(zn xin)線變線變成斜直線。成斜直線。3 結論：圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改結論：圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改 變，只是繞軸線作了相對轉動。變，只是繞軸線作了相對轉動。 各縱向線均傾斜了同一各縱向線均傾斜了同一(tngy)微小角度微小角度 。 所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。第15頁/共55頁第14頁

9、/共55頁第十五頁，共55頁。 acddxbdy 無正應力橫截面(jimin)上各點處，只產生垂直于半徑的均勻分布的剪應力 ，沿周向大小不變，方向與該截面(jimin)的扭矩方向一致。4 與與 的關系的關系(gun x)：LRRL 微小微小(wixio)矩形單元體如圖所示：矩形單元體如圖所示： 第16頁/共55頁第15頁/共55頁第十六頁，共55頁。5 薄壁圓筒剪應力薄壁圓筒剪應力 大小大小(dxio)： 2 2 2 2d d 2AMATrTTrrArTrAeAAA：平均(pngjn)半徑所作圓的面積。 第17頁/共55頁第16頁/共55頁第十七頁，共55頁。二、切應力二、切應力(yngl)互

10、等定互等定理：理： 0故dxdytdxdytmz上式稱為剪應力互等定理。 該定理表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，剪應力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等(xingdng)，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。acddxb dy tz第18頁/共55頁第17頁/共55頁第十八頁，共55頁。三、切應變三、切應變(yngbin) 剪切胡克剪切胡克定律定律 單元體的四個側面上只有剪應力而無正應力作用，這種應力狀態(tài)單元體的四個側面上只有剪應力而無正應力作用，這種應力狀態(tài)(zhungti)稱為純剪切應力狀態(tài)稱為純剪切應力狀態(tài)(zhungti)。第19頁/共55頁第18頁/共55頁第十九頁

11、，共55頁。 T=m)( ) 2( 0RLtAT 剪切虎克定律：當剪應力不超過剪切虎克定律：當剪應力不超過(chogu)材料的剪切材料的剪切比例極限時（比例極限時（ p)，剪應力與剪應變成正比關系。，剪應力與剪應變成正比關系。第20頁/共55頁第19頁/共55頁第二十頁，共55頁。 G式中：式中：G是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因 無量無量綱綱(lin n)，故，故G的量綱的量綱(lin n)與與 相同，不同材料的相同，不同材料的G值可通過實驗確定，鋼材的值可通過實驗確定，鋼材的G值約為值約為80GPa。 剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明

12、材料彈性性質剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(xngzh)的三個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之的三個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關系（推導詳見后面章節(jié)）：間存在下列關系（推導詳見后面章節(jié)）：可見，在三個彈性可見，在三個彈性(tnxng)常數(shù)中，只要知道任意兩個，常數(shù)中，只要知道任意兩個，第三個量就可以推算出來。第三個量就可以推算出來。)1 (2EG第21頁/共55頁第20頁/共55頁第二十一頁，共55頁。 1. 橫截面變形后仍為平面；橫截面變形后仍為平面； 2. 軸向無伸縮軸向無伸縮(shn su)； 3. 縱向線變形后仍為平行?？v向線變形后仍為平行

13、。平面假設：平面假設： 變形前為平面的橫截面變形前為平面的橫截面變形后仍為平面，它像剛性變形后仍為平面，它像剛性平面一樣繞軸線旋轉平面一樣繞軸線旋轉(xunzhun)了一個角度。了一個角度。3-4 圓軸扭轉圓軸扭轉(nizhun)時的應力時的應力一、等直圓桿扭轉實驗觀察：一、等直圓桿扭轉實驗觀察：第22頁/共55頁第21頁/共55頁第二十二頁，共55頁。二、等直圓桿扭轉二、等直圓桿扭轉(nizhun)時橫截面上的應力：時橫截面上的應力：1. 變形幾何變形幾何(j h)關關系：系：xddtg距圓心為距圓心為 任一點任一點(y din)處處的的與到圓心的距離與到圓心的距離成正成正比。比。xdd 扭

14、轉角沿長度方向扭轉角沿長度方向變化率。變化率。第23頁/共55頁第22頁/共55頁第二十三頁，共55頁。2. 物理物理(wl)關系：關系：虎克定律(dngl)：代入上式得： GxGxGGddddxGdd 第24頁/共55頁第23頁/共55頁第二十四頁，共55頁。3. 靜力學關系靜力學關系(gun x)：OdAAxGAxGATAAAddd ddd d22AIApd2令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理(wl)關系式 得：xGdd pIT第25頁/共55頁第24頁/共55頁第二十五頁，共55頁。pIT橫截面上距圓心(yunxn)為處任一點剪應力計算公式。4. 公式討論公式討論(toln)

15、： 僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面直桿。面直桿。 式中：式中：T橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。 該點到圓心的距離。該點到圓心的距離。 Ip極慣性矩，純幾何極慣性矩，純幾何(j h)量，無物理意義。量，無物理意義。第26頁/共55頁第25頁/共55頁第二十六頁，共55頁。單位單位(dnwi)：mm4，m4。AIApd2 盡管由實心盡管由實心(shxn)圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿，截面桿， 只是只是Ip值不同。值不同。44202210

16、32 d2 dD.DAIDAp對于實心圓截面：DdO第27頁/共55頁第26頁/共55頁第二十七頁，共55頁。對于空心圓截面：)1 (10)1 (32 )(32 d2 d4444442222D.DdDAIDdAp)(DddDOd第28頁/共55頁第27頁/共55頁第二十八頁，共55頁。 應力應力(yngl)分布分布（實心(shxn)截面）（空心(kng xn)截面）工程上采用空心截面構件：提高強度，節(jié)約材料，重量輕，工程上采用空心截面構件：提高強度，節(jié)約材料，重量輕， 結構輕便，應用廣泛。結構輕便，應用廣泛。第29頁/共55頁第28頁/共55頁第二十九頁，共55頁。 確定確定(qudng)最大

17、剪應最大剪應力：力：pIT由知：當max , 2dR)2 ( 22 maxdIWWTdITIdTptpp令tWTmaxWt 抗扭截面(jimin)系數(shù)（抗扭截面(jimin)模量）， 幾何量，單位：mm3或m3。對于實心(shxn)圓截面：332016D.DRIWpt對于空心圓截面：)-(12016)1 (4343D.DRIWpt第30頁/共55頁第29頁/共55頁第三十頁，共55頁。 三、強度三、強度(qingd)條件條件強度條件強度條件(tiojin)： ， t許用切應力許用切應力；pmaxmaWTx軸扭轉時，其表層即最大扭轉切應力作用點處于純剪切狀軸扭轉時，其表層即最大扭轉切應力作用點處

18、于純剪切狀態(tài)態(tài)(zhungti)，所以，扭轉許用切應力也可利用上述關系，所以，扭轉許用切應力也可利用上述關系確定。確定。 理論與試驗研究均表明，材料純剪切時的許用切應力理論與試驗研究均表明，材料純剪切時的許用切應力 與許用正應力與許用正應力之間存在下述關系：之間存在下述關系：對于塑性材料對于塑性材料 (0.5一一0.577) 對于脆性材料，對于脆性材料， (0.81.0) l 式中，式中， l代表許用拉應力。代表許用拉應力。第31頁/共55頁第30頁/共55頁第三十一頁，共55頁。強度強度(qingd)計算三方計算三方面：面： 校核(xio h)強度： 設計截面(jimin)尺寸： 計算許可載

19、荷：maxmaxtWTmaxTWtmaxtWT）（空：實：433116 16 DDWt第32頁/共55頁第31頁/共55頁第三十二頁，共55頁。解：解：(1) 利用薄壁管的近似利用薄壁管的近似(jn s)理論可求得理論可求得trT2max2)1 (1643maxDT(2) 利用精確的扭轉利用精確的扭轉(nizhun)理論可求得理論可求得43329023011629. 010180MPa2 .6203. 013. 021018023MPa5 .56第33頁/共55頁第32頁/共55頁第三十三頁，共55頁。解：設空心解：設空心(kng xn)圓軸的內、外徑原分別為圓軸的內、外徑原分別為d、D，面積

20、增，面積增大一倍后內外徑分別變?yōu)榇笠槐逗髢韧鈴椒謩e變?yōu)閐1 、 D1 ，最大許可扭矩為，最大許可扭矩為1由TDTD113434161161()() 由得DDDD1222214105241052(.)(.)828. 222/3311DDTT得第34頁/共55頁第33頁/共55頁第三十四頁，共55頁。例例3-4-3：某汽車主傳動軸鋼管外徑：某汽車主傳動軸鋼管外徑D=76mm，壁厚，壁厚t=2.5mm，傳遞扭矩，傳遞扭矩T=1.98kNm，t=100MPa，試校核，試校核(xio h)軸軸的強度。的強度。 33pp4444p103 .202/101 .77)1 (32mmDIWmmDI5 .97PM

21、PaWTmaxmax解：計算解：計算(j sun)截截面參數(shù)：面參數(shù)： 由強度由強度(qingd)條件：條件：故軸的強度滿足要求。故軸的強度滿足要求。 第35頁/共55頁第34頁/共55頁第三十五頁，共55頁。同樣強度同樣強度(qingd)下，空心軸使用材料僅為實心軸的三分下，空心軸使用材料僅為實心軸的三分之一，故空心軸較實心軸合理。之一，故空心軸較實心軸合理。 31334. 044)2(222dtDDAA實空空心軸與實心空心軸與實心(shxn)軸的截面面積比軸的截面面積比(重量比重量比)為：為： MPadWTmaxmax5 .9716/1098. 133p由上式解出：由上式解出：d=46.9

22、mm。MPamax5 .97若將空心若將空心(kng xn)軸改成實心軸，仍使軸改成實心軸，仍使，則，則第36頁/共55頁第35頁/共55頁第三十六頁，共55頁。例例3-4-4：功率為：功率為150kW，轉速，轉速(zhun s)為為15.4轉轉/秒的電動機轉子秒的電動機轉子軸如圖，許用剪應力軸如圖，許用剪應力 =30M Pa, 試校核其強度。試校核其強度。nNmTBC2103m)(kN55. 1m)(N4 .1514. 32101503Tm解：求扭矩及扭矩圖解：求扭矩及扭矩圖計算計算(j sun)(j sun)并校核并校核剪應力強度剪應力強度此軸滿足強度此軸滿足強度(qingd)(qingd

23、)要求。要求。xMPa231607. 01055. 133maxtWT第37頁/共55頁第36頁/共55頁第三十七頁，共55頁。3-5 圓軸扭轉圓軸扭轉(nizhun)時的變形時的變形一、扭轉一、扭轉(nizhun)時的變形時的變形由公式由公式(gngsh)pGITx dd 知：長為知：長為 l一段桿兩截面間相對扭轉角一段桿兩截面間相對扭轉角 為值不變）若 ( d d0TGITlxGITplp對于階梯軸，兩端面間相對扭轉角對于階梯軸，兩端面間相對扭轉角 為為 1nipiiiGIlT第38頁/共55頁第37頁/共55頁第三十八頁，共55頁。二、單位二、單位(dnwi)扭轉扭轉角角 ：(rad/m

24、) dd pGITx /m)( 180 dd pGITx 或三、剛度三、剛度(n d)條件條件 (rad/m) maxpGIT /m)( 180 maxpGIT 或GIp 抗扭剛度，表示抗扭剛度，表示(biosh)桿抵抗扭轉變形能力的強弱。桿抵抗扭轉變形能力的強弱。 稱為許用單位扭轉角。稱為許用單位扭轉角。第39頁/共55頁第38頁/共55頁第三十九頁，共55頁。剛度剛度(n d)計算的三方計算的三方面：面： 校核(xio h)剛度： 設計(shj)截面尺寸： 計算許可載荷： max GT Ip max pGIT 有時，還可依據(jù)此條件進行選材。 max 第40頁/共55頁第39頁/共55頁第四

25、十頁，共55頁。例例3-5-1：圖示圓截面軸：圖示圓截面軸AC，承受扭力矩，承受扭力矩MA， MB與與MC 作用，作用，試計算該軸的總扭轉角試計算該軸的總扭轉角(zhunjio)AC(即截面即截面C對截面對截面A的相對的相對轉角轉角(zhunjio)，并校核軸的剛度。，并校核軸的剛度。 已知已知MA180Nm， MB320 N m， MC140Nm，I3.0105mm4，l=2m，G80GPa，0.50m。解：解：1扭轉變形扭轉變形(bin xng)分析分析利用利用(lyng)截面法，得截面法，得AB段、段、BC段的扭矩分別為：段的扭矩分別為：T1180 Nm， T2-140 NmCMBMAM

26、ll第41頁/共55頁第40頁/共55頁第四十一頁，共55頁。rad1050. 1)m1010Pa)(3.010(80)m2)(mN180(2412591GIlTABrad1017. 1)m1010Pa)(3.010(80)m2)(mN140(2412592GIlTBC設其扭轉設其扭轉(nizhun)角分別為角分別為AB和和BC，則：則：第42頁/共55頁第41頁/共55頁第四十二頁，共55頁。 各段軸的扭轉(nizhun)角的轉向，由相應扭矩的轉向而定。 由此得軸AC的總扭轉(nizhun)角為rad100.33rad101.17-rad1050. 12-22BCABAC 2 剛度校核 軸A

27、C為等截面軸，而AB段的扭矩最大，所以(suy)，應校核該段軸的扭轉剛度。AB段的扭轉角變化率為：可見，該軸的扭轉剛度可見，該軸的扭轉剛度符合要求符合要求。 /m43. 0180)m1010Pa)(3.010(80mN180dd0412591GITx第43頁/共55頁第42頁/共55頁第四十三頁，共55頁。 例例3-5-2：長為：長為 L=2m 的圓桿受均布力偶的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，的作用，如圖，若桿的內外徑之比為如圖，若桿的內外徑之比為 =0.8 ，G=80GPa ，許用剪應力，許用剪應力=30MPa，試設計，試設計(shj)桿的外徑；若桿的外徑；若 =2/m ，試校核

28、此，試校核此桿的剛度，并求右端面轉角。桿的剛度，并求右端面轉角。第44頁/共55頁第43頁/共55頁第四十四頁，共55頁。 由扭轉由扭轉(nizhun)(nizhun)剛度條件剛度條件校核剛度校核剛度180maxmaxPGIT解：設計解：設計(shj)(shj)桿的外徑桿的外徑maxTWt 116D 43）（tW314max 116）（TD代入數(shù)值代入數(shù)值(shz)得：得：D 0.0226m。 89. 1)1 (108018040324429D第45頁/共55頁第44頁/共55頁第四十五頁，共55頁。40NmxT右端面右端面(dunmin)(dunmin)轉轉角為：角為：弧度）( 033. 0

29、 )4(102040202200 xxGIdxGIxdxGITPPLP第46頁/共55頁第45頁/共55頁第四十六頁，共55頁。 例例3-5-3：某傳動軸設計要求轉速：某傳動軸設計要求轉速n = 500 r / min，輸入功率，輸入功率N1 = 500 馬馬力，力， 輸出功率分別輸出功率分別 N2 = 200馬力及馬力及 N3 = 300馬力，已知：馬力，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，試確定：，試確定： AB 段直徑段直徑 d1和和 BC 段直徑段直徑 d2 ？ 若全軸選同一直徑，應為多少若全軸選同一直徑，應為多少(dusho)？ 主動輪與從動輪如何安排合理？主動輪與從動輪如何安排合理？ 500400N1N3N2ACB第47頁/共55頁第46頁/共55頁第四十七頁，共55頁。解：圖示狀態(tài)下解：圖示狀態(tài)下, ,扭矩如圖，由強度扭矩如圖，由強度(qingd)(qingd)條件條件得：得：m)(kN024. 7nNm16 31TdWt mm4 .67107014