函數(shù)的極值和最值實(shí)用教案

1、11.定義(dngy)：設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域(ln y)內(nèi)的有定義。如果對于這鄰域內(nèi)異于0 x的恒有(1)則稱為的極大值.0 x-極大值點(diǎn)(2)則稱0 xf為 xf的極小值.0 x-極小值點(diǎn) xfy 3.3 函數(shù)的極值最值第1頁/共31頁第一頁，共32頁。2xOyab1x2x3x4x5x xfy 極值極值點(diǎn)極大值點(diǎn)極小值點(diǎn)極大值極小值3.3 函數(shù)的極值最值第2頁/共31頁第二頁，共32頁。3xOyab1x2x3x4x5x xfy 注1極值(j zh)不一定是最值.注2函數(shù)(hnsh)的極大值和極小值是局部性概念(ginin)，極小值不一定比極大值小極值點(diǎn)處的切線平行于x軸,但曲線上有水平切線的點(diǎn),

2、不一定取得極值.如：3.3 函數(shù)的極值最值第3頁/共31頁第三頁，共32頁。4成立(chngl)的點(diǎn)定理(dngl)設(shè)函數(shù) xf在點(diǎn)0 x處有導(dǎo)數(shù),且在0 x處取得極值,那么,這函數(shù) xf在點(diǎn)0 x的導(dǎo)數(shù)xOyab1x2x3x4x5x xfy 3.3 函數(shù)的極值最值第4頁/共31頁第四頁，共32頁。5注1 連續(xù)但不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能(knng)是極值點(diǎn)注2 駐點(diǎn)不一定(ydng)極值點(diǎn)0 xxoy11xyo3.3 函數(shù)的極值最值第5頁/共31頁第五頁，共32頁。6設(shè)函數(shù)(hnsh) xf在點(diǎn)0 x的一個(gè)(y )鄰域內(nèi)可導(dǎo),00 xf(1)如果當(dāng)x取0 x左側(cè)鄰近的值時(shí),當(dāng)x取0 x右側(cè)鄰近的值時(shí),

3、那么, xf在點(diǎn)0 x處取得極大值.+_(2)如果當(dāng)x取0 x左側(cè)鄰近的值時(shí), 0 xf當(dāng)x取0 x右側(cè)鄰近的值時(shí), 0 xf那么, xf在點(diǎn)0 x處取得極小值.+_0 x0 x3.3 函數(shù)的極值最值第6頁/共31頁第六頁，共32頁。7xOy0 xxOy0 xxOy0 xxOy0 x求函數(shù)的極值及增減區(qū)間(q jin)的步驟：（1）求函數(shù)的定義(dngy)區(qū)間；（2）求出函數(shù)(hnsh)的所有駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)；（4）寫出結(jié)論。（3）上述點(diǎn)將 f (x) 的定義區(qū)間分成單調(diào)區(qū)間，列表討論；3.3 函數(shù)的極值最值第7頁/共31頁第七頁，共32頁。8x xf xf +_極大值極小值例1求的極值(j z

4、h).解定義域?yàn)?.3 函數(shù)的極值最值第8頁/共31頁第八頁，共32頁。9例2求的極值(j zh).解定義域?yàn)?xyy+_極大值使無意義(yy)的點(diǎn)3.3 函數(shù)的極值最值第9頁/共31頁第九頁，共32頁。10例3求的極值(j zh).解定義域?yàn)?得使y無意義(yy)的點(diǎn)0 xxy+_極大值極小值03.3 函數(shù)的極值最值第10頁/共31頁第十頁，共32頁。11例4 求函數(shù)函數(shù)的定義(dngy)區(qū)間解駐點(diǎn)(zh din)：不可(bk)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)-1，0，1劃分定義區(qū)間 ，列表討論。單減區(qū)間：單增區(qū)間：極小值；極大值：的極值及增減區(qū)間。xyy+0013.3 函數(shù)的極值最值第11頁/共31頁第十一頁，共3

5、2頁。12第二充分條件 設(shè) 是函數(shù) 的駐點(diǎn)且0 x xf, 00 xf如果(rgu) （或 ），則 是例2求函數(shù) 的極值59323xxx xf解因?yàn)?yn wi) ， 因?yàn)?yn wi) 所以極大值為所以極小值為 3.3 函數(shù)的極值最值的極小（大 ）值點(diǎn).第12頁/共31頁第十二頁，共32頁。13（1）當(dāng)函數(shù) 有不可導(dǎo)點(diǎn)時(shí)，必須用第一 xf注意(zh y)：（2） 當(dāng)函數(shù)(hnsh) xf常用(chn yn)第二種充分3.3 函數(shù)的極值最值充分條件求極值；的計(jì)算不復(fù)雜時(shí)，通條件求極值。滿足定理3的條件且第13頁/共31頁第十三頁，共32頁。141.如果(rgu)函數(shù) xf在點(diǎn)0 x的某鄰域(l

6、n y)內(nèi)處處可微,且則函數(shù) xf必在點(diǎn)0 x處取得極值.2.如果函數(shù) xf在區(qū)間內(nèi)僅有一個(gè)駐點(diǎn),則該點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn).3.設(shè)分別是函數(shù) xf的極大值和極小值,則必有4.如果函數(shù) xf在點(diǎn)0 x處取得極值,則曲線 xfy 在點(diǎn)0 x處必有平行于x軸的切線.第14頁/共31頁第十四頁，共32頁。15xy二、最值第15頁/共31頁第十五頁，共32頁。16最值判別(pnbi)法：條件(tiojin)： xfy 在上連續(xù)(linx)，且至多在有限個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為方法：(1) xfy 在內(nèi)的駐點(diǎn)為(2)求駐點(diǎn)及端點(diǎn)的函數(shù)值(3)比較駐點(diǎn)及端點(diǎn)的函數(shù)值，即得最大值和最小值3.3 函數(shù)的極值最值第16頁/共

7、31頁第十六頁，共32頁。17例1求在上的最大值和最小值解(1)令(2)(3)最大值最大值3.3 函數(shù)的極值最值第17頁/共31頁第十七頁，共32頁。18例2鐵路線上段的距離為100km工廠距 處為20km，垂直于為了運(yùn)輸需要， 要在上線上選定一點(diǎn)向工廠修筑一條公 路 已知鐵路每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)與公路上每公 里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)之比為3:5為了使貨物(huw)從供應(yīng)站 運(yùn)到工廠的運(yùn)費(fèi)最省，問點(diǎn)應(yīng)選在何處？ 100kmC20kmD鐵路(til)運(yùn)費(fèi)km:公路運(yùn)費(fèi)km=3:5x3.3 函數(shù)的極值最值第18頁/共31頁第十八頁，共32頁。19kxy3100kx54002100, 0 x得km所以(suy)當(dāng)1

8、5km時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最少3.3 函數(shù)的極值最值第19頁/共31頁第十九頁，共32頁。20例3 甲船以20海里小時(shí)的速度(sd)向東航行，正午時(shí)其正北面82海里處有乙船正以16海里小時(shí)的速度(sd)向正南航行問兩船何時(shí)距離最近？o設(shè)兩船經(jīng)過t小時(shí)(xiosh)距離最近甲乙令得小時(shí)(xiosh)3.3 函數(shù)的極值最值第20頁/共31頁第二十頁，共32頁。21 在實(shí)際問題中，往往根據(jù)問題的實(shí)際意義就可斷定函數(shù)f(x)必有最大值或最小值如果函數(shù)在定義(dngy)區(qū)間內(nèi)有只有一個(gè)駐點(diǎn)，x0則不必討論f(x0)是不是極值，就可斷定函數(shù)f(x0)是最大值或最小值3.3 函數(shù)的極值最值第21頁/共31頁第二十一頁

9、，共32頁。22通過研究一組學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)接受能力（即學(xué)生掌握一個(gè)概念的能力）依賴于在概念引入之前老師提出和描述問題所用(su yn)時(shí)間講座開始時(shí)，學(xué)生的興趣激增，但隨著時(shí)間的延長，學(xué)生的注意力開始分散分析結(jié)果表明，學(xué)生掌握概念的能力由下式給出：其中(qzhng)是接受能力的一種度量，x是提出概念所用時(shí)間（單位：min）3.3 函數(shù)的極值最值第22頁/共31頁第二十二頁，共32頁。23(1)x為何值時(shí)，學(xué)生接受(jishu)能力增強(qiáng)或降低？(2)第十分鐘時(shí)，學(xué)生的興趣是增長還是(hi shi)注意力下降？(3)最難的概念應(yīng)該在何時(shí)講授？(4)一個(gè)概念需要55的接受能力，它適于對

10、這組學(xué)生講授嗎？3.3 函數(shù)的極值最值第23頁/共31頁第二十三頁，共32頁。24解 令得x xG+ 所以當(dāng)提出概念(ginin)所用的時(shí)間小于13分鐘，接受能力增強(qiáng)；當(dāng)提出概念(ginin)所用的時(shí)間大于13 分鐘時(shí)，接受能力降低。(1)x為何(wih)值時(shí)，學(xué)生接受能力增強(qiáng)或降低？ 436 . 21 . 02xxxG3.3 函數(shù)的極值最值第24頁/共31頁第二十四頁，共32頁。25 xG單調(diào)上升(shngshng)，學(xué)生的興趣在增長。 xG在13x時(shí)，取極大值所以(suy)最難的概念應(yīng)該提出問題(wnt)后的13分鐘講授因?yàn)檫@個(gè)概念需要55的接受能力，這個(gè)概念需要55的接受能力，所以可以對

11、這組學(xué)生講授該概念(2)第十分鐘時(shí)，學(xué)生的興趣是增長還是注意力下降？(3)最難的概念應(yīng)該在何時(shí)講授？(4)一個(gè)概念需要55的接受能力，它適于對這組學(xué)生講授嗎？3.3 函數(shù)的極值最值第25頁/共31頁第二十五頁，共32頁。26微型計(jì)算機(jī)把數(shù)據(jù)(shj)存儲在磁盤上磁盤是帶有磁性介質(zhì)的園盤，并由操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心圓軌道，扇區(qū)是指被圓心角分隔(fng)所成的扇形區(qū)域磁道上的定長弧段可作為基本存儲單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，這個(gè)基本單元通常被稱為比特(bit)磁盤的構(gòu)造如圖所示3.3 函數(shù)的極值最值第26頁/共31頁第二十六頁，共32頁。27r為了

12、(wi le)保障磁盤的分辨率，磁道寬度必須大于每比特(b t)所占用的磁道長度(chngd)不得小于為了數(shù)據(jù)檢索的便利，磁盤格式化時(shí)要求所有磁道要具有相同的比特?cái)?shù)現(xiàn)有一張半徑為的磁盤，它的存儲量是半徑介于r與之間的環(huán)行區(qū)域，試確定r，使磁盤具有最大儲存量3.3 函數(shù)的極值最值第27頁/共31頁第二十七頁，共32頁。28存儲量磁道數(shù)每磁道的比特(b t)數(shù)設(shè)存儲(cn ch)區(qū)的半徑介于r與之間，故磁道數(shù)最多可達(dá)由于每條磁道上的比特(b t)數(shù)相同，為獲得最大存儲量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特?cái)?shù)可達(dá)到所以，磁盤總存儲量3.3 函數(shù)的極值最值第28頁/共31頁第二十八頁，共32頁。29令得故當(dāng)2Rr 時(shí)，磁盤(c pn)具有最大存儲量此時(shí)(c sh)最大存儲量3.3 函數(shù)的極值最值第29頁/共31頁第二十九頁，共32頁。30條腿長度(chngd)相等的椅子放在起伏不平(bpng)的地面上，條腿能否一定同時(shí)著地？(1) 椅子的條腿一樣長，腳的連線是正 方形(2)地面是數(shù)學(xué)上的光滑曲面，即沿任意方向，切面能連續(xù)移動(dòng)3.3 函數(shù)的極值最值第30頁/共31頁第三十頁，共32頁。31感謝您的觀看(gunkn)！第31頁/共31頁第三十一頁，共32頁。NoImage內(nèi)容(nirn