結(jié)構(gòu)力學(xué)靜定結(jié)構(gòu)的受力分析

1、第1節(jié) 靜定平面桁架一、桁架的內(nèi)力計(jì)算方法1、結(jié)點(diǎn)法取結(jié)點(diǎn)為隔離體，建立平衡方程求解的方法，每個(gè)結(jié)點(diǎn)最多只能含有兩個(gè)未知力。該法最適用于計(jì)算簡(jiǎn)單桁架。根據(jù)結(jié)點(diǎn)法，可以得出一些結(jié)點(diǎn)平衡的特殊情況，能使計(jì)算簡(jiǎn)化：（1）兩桿交于一點(diǎn)，若結(jié)點(diǎn)無(wú)荷載，則兩桿的內(nèi)力都為零（圖2-2-1a）。（2）三桿交于一點(diǎn)，其中兩桿共線，若結(jié)點(diǎn)無(wú)荷載，則第三桿是零桿，而共線的兩桿內(nèi)力大小相等，且性質(zhì)相同（同為拉力或壓力）(圖2-2-1b)。（3）四桿交于一點(diǎn)，其中兩兩共線，若結(jié)點(diǎn)無(wú)荷載，則在同一直線上的兩桿內(nèi)力大小相等，且性質(zhì)相同（圖2-2-1c）。推論，若將其中一桿換成力FP，則與FP在同一直線上的桿的內(nèi)力大小為FP

2、，性質(zhì)與FP相同（圖2-2-1d）。圖2-2-1（4）對(duì)稱結(jié)構(gòu)在正對(duì)稱荷載作用下，對(duì)稱軸處的“K”型結(jié)點(diǎn)若無(wú)外荷載作用，則斜桿為零桿。例如圖2-2-2所示對(duì)稱軸處與A 點(diǎn)相連的斜桿1、2都是零桿。圖2-2-2 圖2-2-3（5）對(duì)稱結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱荷載作用下，對(duì)稱軸處正對(duì)稱的未知力為零。如圖2-2-3a中AB桿為零桿，因?yàn)槿魧⒔Y(jié)構(gòu)從對(duì)稱軸處截?cái)?，則AB桿的力是一組正對(duì)稱的未知力，根據(jù)上述結(jié)論可得。（6）對(duì)稱結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱荷載作用下，對(duì)稱軸處的豎桿為零桿。如圖2-2-4a中AB桿和B支座的反力均為零。其中的道理可以這樣理解：將圖a結(jié)構(gòu)取左右兩個(gè)半結(jié)構(gòu)分析，對(duì)中間的桿AB和支座B的力，若左半部分為正，則

3、根據(jù)反對(duì)稱，右半部分必定為相同大小的負(fù)值，將半結(jié)構(gòu)疊加還原回原結(jié)構(gòu)后正負(fù)號(hào)疊加，結(jié)果即為零。圖2-2-42、截面法截面法取出的隔離體包含兩個(gè)以上的結(jié)點(diǎn)，隔離體上的外力與內(nèi)力構(gòu)成平面一般力系，建立三個(gè)平衡方程求解。該法一般用于計(jì)算聯(lián)合桁架，也可用于簡(jiǎn)單桁架中少數(shù)桿件的計(jì)算。在用截面法計(jì)算時(shí)，充分利用截面單桿，也能使計(jì)算得到簡(jiǎn)化。截面單桿的概念：在被某個(gè)截面所截的內(nèi)力為未知的各桿中，除某一桿外其余各桿都交于一點(diǎn)（或彼此平行），則此桿稱為截面單桿。截面單桿的內(nèi)力可從本截面相應(yīng)隔離體的平衡條件直接求出。截面單桿可分為兩種情況：（1）截面只截?cái)嗳鶙U，且此三根桿不交于一點(diǎn)，則其中每一桿都是截面單桿。計(jì)算

4、時(shí)，對(duì)其中兩桿的交點(diǎn)取矩，建立力矩平衡方程，就可求出第三桿的軸力，如圖2-2-5（a）中，CD、AD、AB桿都是截面m-m的單桿。 圖2-2-5 圖2-2-6（2）截面所截桿數(shù)大于3，但除某一桿外，其余各桿都交于一點(diǎn)（或彼此平行），則此桿也是截面單桿，如圖2-2-6(a),（b）中，a桿是截面m-m的單桿。3、結(jié)點(diǎn)法與截面法的聯(lián)合應(yīng)用聯(lián)合應(yīng)用結(jié)點(diǎn)法和截面法可以求解復(fù)雜桁架（求解復(fù)雜桁架也可以用下面講到的通路法和代替桿法）。4、通路法（初參數(shù)法）通路法和代替桿法主要用于求解復(fù)雜桁架。通路法的基本思路是從三桿相交的結(jié)點(diǎn)中取任一桿件的軸力作為初參數(shù)x（待定），由此結(jié)點(diǎn)出發(fā)，沿著可以用結(jié)點(diǎn)法求解的一個(gè)

5、回路依次取結(jié)點(diǎn)算出各桿軸力與x的關(guān)系，最后利用閉合條件求出x后，再計(jì)算其余各桿軸力。圖2-2-7例如圖2-2-7中，設(shè)，依次取結(jié)點(diǎn)E、G、F和B。由結(jié)點(diǎn)E，求得， ；由結(jié)點(diǎn)G，求得， ；由結(jié)點(diǎn)F，得， ；由結(jié)點(diǎn)B，得。 根據(jù)閉合條件有（這里桿4的軸力從結(jié)點(diǎn)E經(jīng)G、F到B所求的應(yīng)該相等），解得已知FN4后，可求出其余各桿軸力，結(jié)果見(jiàn)表2-1。表2-1桿號(hào)1，23，45，67，89，1011軸力（×FP）3/23/25/2桿長(zhǎng)2aaaaa2a5、代替桿法此法是利用更換桿件連結(jié)部位使復(fù)雜桁架變成簡(jiǎn)單桁架，并使新桁架與原桁架等價(jià)（各桿軸力相同）以求得原桁架軸力。例如圖2-2-7中，把AG桿改

6、為CF桿，就變換為圖2-2-8（a）所示的簡(jiǎn)單桁架。如果新桁架在原有荷載和FNAG（真值）共同作用下使新桿軸力FNCF為零，那么根據(jù)靜定內(nèi)力解答唯一性，新桁架的各桿軸力就是原桁架各桿軸力。圖2-2-8下面討論具體計(jì)算步驟。（1）分別求新桁架在原荷載單獨(dú)作用下和在被替換桿的軸力為單位力作用下各桿的軸力FNP和，如圖2-2-8（b）和（c）所示。（2）對(duì)CF桿建立，即：，求得（3）按求得原桁架各桿軸力FN，本例結(jié)果如圖（d）所示，與表2-1所得結(jié)果相同。注意：用代替桿法分析桁架內(nèi)力的關(guān)鍵是選取被代替桿。選取的原則是拆除此桿后所確定的代替桁架易于內(nèi)力計(jì)算。例2-2-1 用桿件代替法求圖2-2-9所示

7、桁架的內(nèi)力FN1。（同濟(jì)大學(xué)1998）圖2-2-9解: （1）確定代替桁架。取B支座鏈桿為被代替桿，代替桁架如圖b所示。（2）建立等價(jià)條件。對(duì)CD桿有。對(duì)圖b的代替桁架先求支座反力，判斷零桿。然后取結(jié)點(diǎn)D，由，求得 ；在代替桁架的被代替桿位置作用單位力（圖c），求得； ， 代入等價(jià)條件求得（3）求FN1 （壓力）四、桁架內(nèi)力計(jì)算的技巧（1）先判斷是否有零桿，以減少計(jì)算量。（2）用截面法時(shí)，盡量利用截面單桿的概念，使一個(gè)平衡方程只包含一個(gè)未知力，避免解聯(lián)立方程。（3）利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算。五、例題解析（一）零桿的應(yīng)用例2-2-2 圖2-2-10a所示桁架零桿（包括支座鏈桿）的數(shù)目為：（ ）（浙江大

8、學(xué)2005） A、3根； B、5根； C、7根； D9根。圖2-2-10答案：C。利用對(duì)稱，零桿示于圖b。例2-2-3 圖2-2-11a所示對(duì)稱桁架中，零桿的根數(shù)為（不含支座鏈桿） 。(中南大學(xué)2005)圖2-2-11答案：8根。零桿示于圖b。例2-2-4 圖2-2-12a所示結(jié)構(gòu)桁架桿件零桿的個(gè)數(shù)為 。(南京工業(yè)大學(xué)2005)圖2-2-12答案：7根。示于圖b。例2-2-5 圖2-2-13a桁架中的零桿數(shù)（包括支座鏈桿）為 。（西安建筑科技大學(xué)2004）圖2-2-13答案：17根。提示：根據(jù)靜定結(jié)構(gòu)的性質(zhì)如果僅靠靜定結(jié)構(gòu)的某一局部就可以與荷載維持平衡，則只有這部分受力，其余部分不受力。零桿示

9、于圖b。例2-2-6 如圖2-2-14a所示桁架結(jié)構(gòu)1桿軸力一定為：（ ）（一級(jí)注冊(cè)結(jié)構(gòu)工程師基礎(chǔ)考試復(fù)習(xí)題）A、拉力； B、壓力； C、零； D、需要給出內(nèi)部三個(gè)鉸的位置才能確定具體受力性質(zhì)。答案：C。解：取I-I截面內(nèi)部為隔離體，對(duì)任意兩個(gè)未知力的交點(diǎn)取矩，都可求出第三個(gè)未知力等于零，進(jìn)一步得出組成內(nèi)部三角形的桿件都是零桿，因此1桿的軸力等于零。 圖2-2-14 圖2-2-15例2-2-7 判斷圖2-2-15a所示結(jié)構(gòu)零桿的個(gè)數(shù)。答案：4根，見(jiàn)圖b。提示：反對(duì)稱荷載下，對(duì)稱軸處的豎桿為零桿。例2-2-8 求圖2-2-16a所示桁架C支座反力和桿件1的軸力。(同濟(jì)大學(xué)2006)圖2-2-16

10、解：首先判斷零桿，分析可知桿FB、DB、AG均為零桿，去除零桿后，原結(jié)構(gòu)變?yōu)閳Db所示。用結(jié)點(diǎn)法，取D結(jié)點(diǎn)分析，(壓力)由結(jié)點(diǎn)F易知，再取C結(jié)點(diǎn)分析 (¯)例2-2-9 求出圖2-2-17a所示桁架體系中1、2、3桿的軸力。(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)2005)解：先判斷零桿（圖b），F(xiàn)N10，再由結(jié)點(diǎn)B、A受力平衡可求出。 圖2-2-17 圖2-2-18例2-2-10 計(jì)算圖2-2-18所示桁架中桿件a、b、c的軸力。（重慶大學(xué)2005）解：先判斷零桿，易得，再取A結(jié)點(diǎn)，得（壓力）。（二）結(jié)點(diǎn)法與截面法例2-2-11 圖2-2-19所示靜定平面桁架，在荷載作用下，桿件1的軸力FN1= ,桿件2的軸

11、力FN2 。(湖南大學(xué)2006)圖2-2-19解：法一、截面法。先取I-I截面右側(cè)分析，由求出(拉力)。再取II-II截面右側(cè)分析，由求出(壓力)。最后由C結(jié)點(diǎn)水平方向受力平衡求出(拉力)。法二、截面法與結(jié)點(diǎn)法的聯(lián)合應(yīng)用先取II-II截面右側(cè)分析，由得。再取結(jié)點(diǎn)C分析，由得，聯(lián)立求解方程即得答案。例2-2-12 圖2-2-20a所示桁架a桿的內(nèi)力FNa 。（湖南大學(xué)2004） 圖2-2-20解：用截面法截取上半部分分析（圖b）。由。例2-2-13 試分析圖2-2-21所示桁架并計(jì)算桿1、2、3的軸力FN1、FN2和FN3。（同濟(jì)大學(xué)2005）圖2-2-21解：由整體0得FxAFP；0得FyB3

12、FP；0得FyA2FP 作II截面，分析左側(cè)，0得FN2FP2.309FP 分析結(jié)點(diǎn)B，0即FNBEsin60°FyB0得FNBEFP 0即FN3FNBEcos60°FP得FN32.732FP 作IIII截面，分析左側(cè)，0 可得FN4FP 分析結(jié)點(diǎn)F，ÞFN10； 綜上，F(xiàn)N10， FN22.309FP（壓力）， FN32.732FP（拉力）例2-2-14 求圖2-2-22所示桁架結(jié)構(gòu)桿1和桿2的軸力。(西南交大2005)圖2-2-22解：選取II截面，取右側(cè)分析，； 再取II-II截面右側(cè)分析，(壓力)。再取結(jié)點(diǎn)F、E分析，易得 （拉力）。例2-2-15 計(jì)算圖

13、2-2-23a桁架中a、b、c桿的軸力。（中國(guó)礦業(yè)大學(xué)2006）圖2-2-23解：按與幾何組成相反的順序進(jìn)行內(nèi)力分析，即求出支座反力后，截?cái)郃B、CD、EF三根桿件，取三角形ADE作受力分析（圖b）：由kN(壓力)再由結(jié)點(diǎn)D，得（拉力）。例2-2-16 試求圖2-2-24a所示桁架中a桿和b桿的內(nèi)力。(北京科技大學(xué)2004)圖2-2-24解：先取截面以左分析（圖b）。由（壓力）。再取截面以左分析（圖c），由（壓力）。例2-2-17 請(qǐng)求出圖2-2-25a所示桁架a，b桿的內(nèi)力。(華中科技大學(xué)2004)圖2-2-25解：取整體分析，易得：取截面以左為研究對(duì)象，由(拉力)；再取截面以右為研究對(duì)象，

14、由(拉力)；最后，取結(jié)點(diǎn)C為研究對(duì)象，由（拉力）；由（拉力）例2-2-18 求圖2-2-26a所示桁架中1、2桿件的軸力。(北京交大2006)圖2-2-26解：先將零桿示于圖b，取I-I截面以左部分分析（圖c），(壓力)取D點(diǎn)（圖d），(­)。再對(duì)整體分析：由，則(壓力)。取結(jié)點(diǎn)F分析，可求得(拉力)，(壓力)，最后分析結(jié)點(diǎn)G，由得(拉力)。例2-2-19 求圖2-2-27a所示桁架各桿的軸力。（西南交大2006）圖2-2-27解：取截面左半部分為研究對(duì)象，由可得A支座的反力等于零，從而可以判斷出更多的零桿，剩下桿件的軸力也極易求出，見(jiàn)圖b。例2-2-20 對(duì)圖2-2-28a所示桁架

15、結(jié)構(gòu)，（1）指出零桿；（2）求出支座反力；（3）求出其余桿的軸力。(西安建筑科技大學(xué)2003)圖2-2-28解：過(guò)程略，零桿和其余桿的軸力示于圖b。支座反力；。例2-2-21 計(jì)算圖2-2-29a所示桁架各桿的內(nèi)力。其中，板面承受3m寬的水壓力。(清華大學(xué)2004)圖2-2-29解：計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖b，圖中，再將線性力化為結(jié)點(diǎn)力，用結(jié)點(diǎn)法或截面法求得各桿軸力如圖c，梁式桿的彎矩圖和剪力圖也見(jiàn)圖c，注意：彎矩圖為三次曲線，剪力圖為二次曲線。例2-2-22 試求圖2-2-30a所示桁架指定桿件的內(nèi)力FN1、FN2。圖2-2-30解： 作閉合截面I-I，則所截得四根桿件，除外，其余各桿內(nèi)力均交于結(jié)點(diǎn)C

16、（圖b），由 再取II-II截面以上部分為隔離體（圖c）， 結(jié)點(diǎn)D（圖d）， 結(jié)點(diǎn)E（圖e）， （三）對(duì)稱性的利用例2-2-23 圖2-2-31a所示桁架結(jié)構(gòu)桿1的軸力為零。（ ）（天津大學(xué)2005）圖2-2-31答案：Ö。提示：將原荷載分成正對(duì)稱和反對(duì)稱（圖b），兩圖中桿1軸力均為零。例2-2-24 圖2-2-32a所示桁架支座A的反力（向上為正）是：（ ）（大連理工2005） A、FP； B、2 FP； C、FP /2； D、0。圖2-2-32答案：B。提示：先判斷零桿，可知，兩端支座反力都是零，易得答案。例2-2-25 求圖2-2-33a所示桁架中a、b桿的內(nèi)力FNa、FNb。（南京工業(yè)大學(xué)2005）圖2-2-33提示：先判斷零桿，再取I-I截面以上計(jì)算。（拉力），(壓力)。例2-2-26 計(jì)算在圖2-2-34a所示荷載作用下靜定桁架中指定桿的軸力。(長(zhǎng)安大學(xué)2007)圖2-2-34解：由于荷載反對(duì)稱，可判斷出A支座的豎向反力為零，見(jiàn)圖b，又由整體，得A支座的水平反力為零，從而判斷出更多的零桿，故有。再取對(duì)稱軸右半部分分析，