2015高考數(shù)學(xué)四川(理工科類)試卷真題與答案解析【最新】

1、2015年四川省高考數(shù)學(xué)（理）試卷真題答案及解析23 / 20一、選擇題1. 設(shè)集合 A x | ( x1)(x2)0，集合 B x |1x3 ，則 ABA. x |1x3B. x |1x1C. x |1x2D. x | 2x3【答案】 A【解析】A x |1x2 ，且 B x |1x3ABx | 1x3，故選 A2. 設(shè)i 是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)i 32 iA.iB.3iC. iD. 3i【答案】 C【解析】 i32i2ii ，故選 Cii 23. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出S 的值是A. 321B. 321B.C.2D.2【答案】 D【解析】進(jìn)入循環(huán)，當(dāng) k5 時(shí)才能輸出 k 的值，則 Ss

2、in 5162，故選 D4. 下列函數(shù)中，最小正周期為且圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)是A. ycos(2x) 2B. ysin(2 x) 2C. ysin 2 xcos 2xD.ysin xcos x【答案】 A【解析】A. yB. ycos(2 xsin(2 x)sin 2x 可知其滿足題意2)cos 2x 可知其圖像的對稱中心為(k 242,0)( kZ ) ，最小正周期為C. ysin 2 xcos 2 x2 sin(2 x)可 知 其 圖 像 的 對 稱 中 心 為4k(,0)( kZ ) ，最小正周期為28D. ysin xcos x2 sin( x) 可知其圖像的對稱中心為( k4,0)

3、( kZ ) 小4正周期為 25. 過雙曲線y 2x21的右焦點(diǎn)且與 x軸垂直的直線， 交該雙曲線的兩條漸近線3于 A 、 B 兩點(diǎn)，則 | AB |A.43 3【答案】 D【解析】B. 2 3C.6D. 43由題可知漸近線方程為y3x ，右焦點(diǎn) (2,0) ，則直線 x2 與 兩條 漸近 線的 交點(diǎn) 分別 為 A (2,23) ， B (2, 23) ， 所以| AB |436. 用數(shù)字 0，1，2，3，4，5 組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000 大的偶數(shù)共有（ A）144 個(gè)（B）120 個(gè)（ C）96 個(gè)（ D）72 個(gè)【答案】 B【解析】分類討論34 當(dāng) 5 在萬位時(shí)，個(gè)位可以

4、排 0、2 、4 三個(gè)數(shù)，其余位置沒有限制， 故有 C1 A372種。24 當(dāng) 4 在萬位時(shí)， 個(gè)位可以排 0 、2 兩個(gè)數(shù)，其余位置沒有限制， 固有C1 A348種，綜上：共有 120 種。故選 B。7. 設(shè) 四邊 形 ABCD為 平 行四 邊 形 ， AB6 , AD4. 若 點(diǎn) M,N滿足BM3MC， DN2 NC ，則 AMNM（）（ A）20（ B） 15（C）9（D） 6【答案】 C【解析】 C.本題從解題方式方法上可有兩種思路。方法：這個(gè)地方四邊形 ABCD 為平行四邊形，可賦予此四邊形為矩形，進(jìn)而以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。 由 A（ 0,0）， M6,3（）4,4N（），進(jìn)

5、而 AM(6,3)， NM(2,1) ， AMNM9 。方法：這個(gè)地方可以以 AB ， AD為基底向量，利用三角形法則將 AM， NM分別用基底向量表示可得AMAB3 AD，4NM1 AB1 AD 則34AMNMAB3 AD1 AB1 AD1AB 223 AD9 。43434b綜合兩種方法，顯然方法更具備高考解題的準(zhǔn)確性和高效性。8. 設(shè)a, b 都是不等于 1 的正數(shù)，則“ 3a33 ”是“ log a 3log b 3”的（ A）充要條件（B）充分不必要條件（ C）必要不充分條件（D）既不充分也不必要條件【答案】 Bab【解析】條件 33b3等價(jià)于 ab1 。當(dāng) ab1 時(shí)， log 3

6、alog 3 b0 。所以，11log 3 alog3 b，即 log 3log 3。所以，“ 3a33 ”是“ log a 3logb 3 ”的充分條件。但ab1a, b33 也滿足 loga 3logb 3 ，而不滿足ab1 。所以，a“ 33b3 ”是“ loga 3logb 3 ”的不必要條件。故，選 B 。9. 如果函數(shù) fx1m2x22n8x 1m0， n0 在區(qū)間 1 ，22單調(diào)遞減，則 mn 的最大值為81（ A）16（B）18（ C） 25（D）2【答案】 B【錯(cuò)誤解析】由 fx 單調(diào)遞減得： fx0 ，故 m2 xn80 在 1 ，2 上2恒成立。而m2 xn8 是一次函數(shù)

7、，在 1 ，22上的圖像是一條線段。故只須在兩個(gè)端點(diǎn)處 f10, f220 即可。即1 m222 m2n80,1，n80,2由 212 得： mn10 。所以， mn2mn25 . 選 C 。2【錯(cuò)誤原因】 mn 當(dāng)且僅當(dāng) mn5 時(shí)取到最大值 25 ，而當(dāng) mn5 ， m, n 不滿足 條 件 1 , 2 ?！菊_解析】同前面一樣m,n 滿足條件 1 , 2 。由條件 2 得： m21 12n 。2于是， mn1 n 12n1n12n18。 mn 當(dāng)且僅當(dāng) m3, n6 時(shí)取到最222大值18 。經(jīng)驗(yàn)證， m3, n6 滿足條件 1 , 2 。故選 B 。210. 設(shè)直線l 與拋物線y4x

8、相交于22A, B 兩點(diǎn)，與圓 x5yr 2r0 相切于點(diǎn) M ，且 M 為線段 AB 的中點(diǎn) .若這樣的直線 l 恰有 4 條，則 r 的取值范圍是（ A） 1，3（B） 1，4（ C） 2，3（ D） 2，4【答案】 D【解析】當(dāng)直線 l 與 x 軸垂直的時(shí)候，滿足條件的直線有且只有2 條。當(dāng) 直 線 l與 x軸 不 垂 直 的 時(shí) 候 ， 由 對 稱 性 不 妨 設(shè) 切 點(diǎn)M 5rcos , rsin0，則切線的斜率為：kABcos sin。另一方面，由于 M 為 AB 中點(diǎn)，故由點(diǎn)差法得：k AB2r sin。故 r2， r2 。cos由于 M5r cos,rsin在拋物線內(nèi)， 所 以

9、滿 足y24x 。代入并利用r c o s2化簡得到 r4 。故 2r4 。當(dāng) 2r4 時(shí)，由r2cos知滿足條件且在 x 軸上方的切點(diǎn) M 只有 1個(gè)。從而總的切線有 4 條。故選 D 。2二、填空題11. 在 2 x81的展開式中，含x 的項(xiàng)的系數(shù)是 （用數(shù)字填寫答案）答案 -40解析由題意知x2 的系數(shù)為：5C3x2 ( 1)34012.sin15 °sin 75°的值是 答案62解析sin15sin(4530 )sin 45 cos30cos 45 sin 30=32216222224sin75sin(4530 )sin 45 cos30cos45 sin30322

10、16222224sin15sin 756213. 某食品的保鮮時(shí)間 y （單位：小時(shí)）與儲藏溫度 x （單位： °C ）滿足函數(shù)關(guān)系 yekx b （ e=2.718為自然對數(shù)的底數(shù)， k，b為常數(shù)）。若該食品在 0 °C 的保鮮時(shí)間是 192 小時(shí)，在 23 °C 的保鮮時(shí)間是 48 小時(shí)，則該食品在 33 °C 的保鮮時(shí)間是小時(shí)。答案 24解析ek 0+ b192bln192, ek22 b48kln 422故當(dāng) x3333 時(shí)， eln 422ln192eln 242414. 如圖，四邊形 ABCD 和 ADPQ 均為正方形， 它們所在的平面相互垂

11、直， 動點(diǎn)M 在線段 PQ 上， E，F(xiàn) 分別為 AB， BC 中點(diǎn)，設(shè)異面直線 EM 與 AF 所成的角為 ，則cos 的最大值為 答案 25解析AB 為 x 軸， AD 為 y 軸， AQ 為 z 軸建立坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長為 2cos2m 5m2, 令 f5(m)2m(m 5m2250,2 )5m225(2m)10mf (m)2 5m22525m25m0,2 ,f ( m)0f (m)maxf (0)2 ，即 cos52max515. 已知函數(shù)f ( x)2 x , g( x)x 2ax(其中aR) 。對于不相等的實(shí)數(shù)x1 ， x 2 ，設(shè)mf (x1) x1f ( x2 ) ， n x

12、2g( x1 )x1g( x2 ) x2?，F(xiàn)有如下命題：(1) 對于任意不相等的實(shí)數(shù) x 1 ， x 2 ，都有 m0 ；(2) 對于任意 a 的及任意不相等的實(shí)數(shù) x 1 ， x 2 ，都有 n0 ；(3) 對于任意的 a ，存在不相等的實(shí)數(shù) x 1 ， x 2 ，使得 mn ;(4) 對于任意的 a ，存在不相等的實(shí)數(shù) x 1 ， x 2 ，使得 mn.其中的真命題有寫(出所有真命題的序號） 。答案 (1) (4)x解析(1) 設(shè)x 1 >x 2 , 函 數(shù) 2單 調(diào) 遞 增 ， 所 有2 x1>2 x 2, x 1 -x 2 >0,則mf (x1)f ( x2 ) =2

13、x 12x 2>0, 所以正確；x1x2x1x2(2) 設(shè)x > x ,則x - x>0, 則ng( x1 )g( x2 )1212x1x2x1x2a( x1x2 )( x1x2 )( x1x2a)x1x2x1x22212xxa ，可令12x =1 ， x =2 ，a= 4 ，則 n= 1<0 ，所以錯(cuò)誤；(3) 因?yàn)?mn ，由（ 2）得：f (x1)x1f (x2) x2x1x2a ，分母乘到右邊，右邊即為 g(x1)g(x2 ) ，所以原等式即為f (x1 )f ( x2 ) =g( x1 )g( x2 ) ，即為 f ( x1 )g( x2 ) =f ( x1

14、)g( x2 ) ，令h( x)f ( x )g( x ) ,則原題意轉(zhuǎn)化為對于任意的a ，函數(shù)h(x)f ( x )g( x) 存在不相等的實(shí)數(shù)x 1 ，x2 使 得 函 數(shù) 值 相 等 ，h( x)2 xx 2ax ， 則h ( x)2 x ln22xa ， 則h (x)2（xln2） 2 ，"令 hx0 ，且 1x2 ，可得 h'x為極小值。若 a10000 ，則 h'x0 ，'即hx0 ， h x 單調(diào)遞增，不滿足題意，所以錯(cuò)誤。(4) 由(3)得f ( x1 )f ( x2 ) =g( x1 )g( x2 ) ，則f x1g x1gx2fx2 ，設(shè)h

15、 xfxg x ， 有x1，x2 使其函數(shù)值相等，則 h x 不恒為單調(diào)。h x2xx2ax ，h'x2x ln 22xa ，h''x2 xln 2 220 恒成立， h' x''單調(diào)遞增且 h0 ，h0 。所以h x 先減后增，滿足題意，所以正確。三、簡答題16.（本小題 12 分）設(shè)數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和 Sn2ana1 ，且 a1,a21, a3成等差數(shù)列。（1） 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；1（2） 記數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和 Tn ，求得使|Tn1|11000成立的 n 的最小值。解：（ 1）當(dāng) n2 時(shí)有， anSnSn 12ana1

16、(2 an 1a1)則an2an1 (n2)an= 2an- 1（ n 3 2 ）則 an是以 a1 為首項(xiàng)， 2 為公比的等比數(shù)列。又由題意得2a22a1a32 2a12a14a1a12則an2n(nN* )11（ 2）由題意得(nN* )na2 n11 n2 1( 2 ) 1 n由等比數(shù)列求和公式得 Tn1121()2則 Tn11 2（-）1 n=()22n101 1019又 當(dāng)時(shí) ， （ ） =1024，（ ）=51222Tn111000成立時(shí)， n 的最小值的 n10 。點(diǎn)評：此題放在簡答題的第一題，考察前n 項(xiàng)和Sn 與通項(xiàng)an 的關(guān)系和等比數(shù)列的求和公式，難度較易，考察常規(guī)?？梢哉f

17、是知識點(diǎn)的直接運(yùn)用。所以也提醒我們在復(fù)習(xí)時(shí)要緊抓課本，著重基礎(chǔ)。17. （本小題 12 分）某市 A,B 兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽， A 中學(xué)推薦 3 名男生， 2 名女生， B 中學(xué)推薦了 3 名男生， 4 名女生，兩校推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)， 由于集訓(xùn)后隊(duì)員的水平相當(dāng)， 從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取 3 人，女生中隨機(jī)抽取 3 人組成代表隊(duì)（1） ）求 A 中學(xué)至少有 1 名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率 .（2） ）某場比賽前。從代表隊(duì)的 6 名隊(duì)員中隨機(jī)抽取 4 人參賽，設(shè) X 表示參賽的男生人數(shù)，求 X 得分布列和數(shù)學(xué)期望 .【解析】（1）正難則反。求出 A 中學(xué)中無學(xué)生入選代表隊(duì)的概率，再

18、用1 減去即能得到題目所求。（ 2）由題意，知 X1,2,3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X 的分布列和期望。【答案】（ 1） 設(shè)事件 A 表示“A 中學(xué)至少有 1 名學(xué)生入選代表隊(duì)”，C3C3199P( A)1341C3C310010066（ 2） 由題意，知 X1,2,3 ,P( X1)31CC C15433; P( X2)62213CC CCC C35415433; P( X3)3366因此 X 的分布列為：X123P期望為：E( X )1 11315552 33 12555【點(diǎn)評】本題主要考察了利用排列組合解決概率問題。 第一問用了正難則反的思想。題意容易理解，入手點(diǎn)容易找到，并且計(jì)

19、算也并無門檻，是一道常規(guī)題，容 易得分。18. （本小題滿分 12 分）一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示，在正方體中， 設(shè) BC 的中點(diǎn)為 M ， GH 的中點(diǎn)為 N 。（I） ）請將字母標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處（不需說明理由）（II） ）證明：直線 MN / / 平面 BDH（III） ）求二面角 AEGM 余弦值CDGEEABFDCMHAB【答案】（ I）直接將平面圖形折疊同時(shí)注意頂點(diǎn)的對應(yīng)方式即可如圖HNGLEFDCKQMAB（ II）連接 BD ，取 BD 的中點(diǎn) Q ，連接 MQ因?yàn)?M 、Q 為線段 BC 、 BD 中點(diǎn)，所以MQ / /CD/ /GH 且

20、MQ1 CD1 GH又因 N 為GH 中點(diǎn)，所以 NH221 GH2得到 NHMQ 且 NH / / MQ所以四邊形 QMNH 為Y得到 QH / / MN又因?yàn)?QH平面 BDH所以 MN / / 平面 BDH （得證）（ III）連接 AC ， EG ，過點(diǎn) M 作 MKAC ，垂足在 AC 上，過點(diǎn) K 作平面 ABCD 垂線，交 EG 于點(diǎn) L ，連接 ML ，則二面角 AEGMMLK因?yàn)?MK平面 ABCD ，且 AEABCD所以 MKAE又 AE ， AC平面 AEG所以 MK平面 AEG且 KLAEG ，所以 MKKL ，所以三角形 MKL 為 RT設(shè)正方體棱長為 a ，則 AB

21、BCKLa ，所以 MCa ，2因 為 MCK45 ，三角形 MCK 為 RT，所以MKMCcos452a4所以 tan2aMLKMK42 ，所以 cosMLK22KLa43所以 cosAEGMcosMLK223【點(diǎn)評】考點(diǎn) 1. 立體圖形的展開與折疊 2.線線平行、線面平行 3. 二面角的求解。此次立體幾何題加入了讓學(xué)生“畫圖” ，不過圖象為長方體，降低了認(rèn)識圖形上的難度。19. （本題滿分 12 分）如圖， A, B,C, D 為平面四邊形 ABCD 的四個(gè)內(nèi)角 .（ 1）證明： tan A21sin Acos A ；（ 2 ） 若 AC180o，AB6，BC3，CD4，AD5 ， 求ta

22、n Atan Btan C 222tan D .2DCAB【解析】（ 1）證明：As i n2 s i n2Atan A221cos A22sin A cos Ac o sA . sin A22（ 2）解：方法（一）ABCDtantantantan2222(tan Atan C )(tan Btan D )2222(1cos A1cosC )(1cos B1cos D )sin Asin Csin Bsin D (1cos A) sin C(1cos C) sin A (1cos B) sin D(1cos D) sin B sin Asin Csin Bsin Dsin Asin C(sin

23、 C cos Acos C sin A)sin Bsin D(sin D cos Bcos D sin B)sin Asin Csin Bsin D sin Asin Csin( AC) sin Bsin Dsin( BD)sin Asin Csin Bsin C由 AC180o可 知 BDo180， 所 以有 sin Asin C,sin( AC)0， 同理s i nBs iDn ， sin( BD )0 ，進(jìn)一步上式化簡可得：tan Atan Btan Ctan D2222( sin Asin C )(sin Bsin D )sin Asin Csin Bsin D( 2sin A)(2s

24、in B)sin2 Asin2 B2(sin Asin B)sin A sin B112()（* ）sin Asin B連接 BD ，設(shè) BDx ，在 ABD 和 CBD 中分別利用余弦定理及 AC180o 可得cos AcosC ，即 65x3242x解得 x2247，從而得cos A3 ，22222 6 52 3 477sin A2107. 同 理 可 得 ，cos B1， sin B 1961019. 代 入 （ * ） 式 可 得tan Atan Btan Ctan D22222(11)sin Asin B2(11)2 106 107194 103方法（二）由 方 法 （ 一 ） 知c

25、os A3， sin A 72 107， 又 由 （ 1） 有At a n31c Ao s1710， 因 為 AC180o， 所 以 AC90o， 所以2s Ain2105227C11 016 10B3 10t a n2tan A2=，同理可得：2cos B， sin B19，解得 tan，19210D110tan2=.tan B32ABCD所以 tantantantan103 1010104 10 .2222510233【點(diǎn)評】本題主要考查三角函數(shù)中正切半角公式的推導(dǎo)，三角函數(shù)化簡求值， 余弦定理等知識?？疾閷W(xué)生轉(zhuǎn)化思想、計(jì)算能力.本題將三角函數(shù)化簡求值與解三 角形結(jié)合， 并且兩小問以正切函

26、數(shù)出題， 既考查考生基礎(chǔ)知識， 又體現(xiàn)題目的新穎！x2y2220.（本小題 13 分）如圖，橢圓E :22ab1 的離心率是，過點(diǎn)2P(0,1) 的動直線 l 與橢圓相交于 A, B 兩點(diǎn)。當(dāng)直線 l 平行于 x 軸時(shí)，直線 l 被橢圓 E 截得的線段長為 22 。（1） ） 球橢圓 E 的方程；（2） ） 在平面直角坐 標(biāo)系 x o y中， 是否存 在與點(diǎn) P 不同的定點(diǎn) Q ， 使得QAPAQBPB恒成立？若存在，求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。【答案】解：（ 1）由題知橢圓過點(diǎn)2,1 。得ec2a2211解得： a2,bc2 。a2b2a2b2c222所以，橢圓方程為： xy1

27、。42(2) 假設(shè)存在滿足題意的定點(diǎn) Q 。QAPA當(dāng)直線 l 平行于 x 軸時(shí)，1， A, B 兩點(diǎn)關(guān)于 y 軸對稱，得 Q 在 y 軸上。QBPB不妨設(shè) Q 0,aQAa當(dāng)直線 l 為 y 軸時(shí)，QBa2 , PA2PB12 , a121 。解得 a2下證對一般的直線l : ykx1 ， Q0,2也滿足題意。QAPA由QBPB得 y 軸為 AQB 的角平分線。所以kQAkQB 。不妨設(shè)A x1, y1, B x2, y2y1kx11, y2kx21y12 x1y22，化簡得x22kx1x2x1x2 又橢圓方程與直線方程聯(lián)立得：ykx1， 12 k 2x24kx20x22 y2xx44k,

28、x x21212k 21 212k 2帶入得成立。故假設(shè)成立。綜上存在點(diǎn)滿足題意。【點(diǎn)評】此題的第一問求橢圓方程，考察簡單，較容易得分。第二問，出現(xiàn)了長度比值，由特殊到一般先找到了定點(diǎn)，再去驗(yàn)證，降低了試題的難度。并且通過題中線段比聯(lián)想到了角平分線的性質(zhì)，這點(diǎn)事學(xué)生不容易觀察到的。也提醒我們解析幾何是幾何和代數(shù)的結(jié)合，能夠有效快速地觀察到幾何關(guān)系可以大大地簡化我們的計(jì)算，從而節(jié)約時(shí)間！21（.本小題 14 分）已知函數(shù) fx2 xaln xx22ax2a2a ，其中 a0 。（1） ）設(shè) g x 是 fx 的導(dǎo)函數(shù)，討論 g x 的單調(diào)性；（2） ）證明：存在 a0,1，使得 fx0 在區(qū)間 1,內(nèi)恒成立， 且 fx0 在區(qū)間 1,內(nèi)有唯一解。答案：解：（ 1） fx2 xa2ln xx2 a2ax2aa2g xf ' x2ln x22 xx2a a0, x0g ' x22axx22 x2xa2x2a0, x0令 g ' x0 ，即 x2xa0 x0 ，討論此不等式的解，可得： 當(dāng)14 a恒單調(diào)遞增。0 時(shí)，即 a1時(shí)，不等式恒成立。即 g ' x40 恒成立，所以 g x 當(dāng) 0a1 時(shí)， x114a0, 1 , x114a1 ,11242