求解函數(shù)最值問題策略

1、求解函數(shù)最值問題策略最值問題遍及代數(shù)、三角、立體幾何及解析幾何各科之中，在生產(chǎn)實(shí)踐中也有廣泛 的應(yīng)用最值問題長(zhǎng)期是各類考試的熱點(diǎn)，求函數(shù)最值常用方法有：一、配方法主要運(yùn)用于二次函數(shù)或可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的函數(shù)解題過程中要注重自變量的取值 范圍.例1已知函數(shù)y=(ex-a)2+(e x-a)2 (a R,aO) ,<函數(shù)y的最小值.分析：將函數(shù)表達(dá)式按ex+e-配方,轉(zhuǎn)化為關(guān)于為變 ex+e '的二次函數(shù)解：y = (ex-a)2+- -a)2= 0 -x)2-2a(x +八)+ 2/_2，令 t=ex+e- f(i) = P- +22 - 2，l2：.f(t) = t2 -2a2a1

2、 -2=(t-a)2 al-2 的左義域2,g).拋物線 y=f 的對(duì)稱軸 為 t=a,當(dāng) a2 且 a0 時(shí), = /(2) = 29 1)2當(dāng) a>2 時(shí)，幾曲=(<2) = <22 - 2-評(píng)注:利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值要注意到自變量的取值范弗I和對(duì)稱軸與區(qū)間的相 對(duì)位置關(guān)系.二、不等式法運(yùn)用不等式法求最值必須關(guān)注三個(gè)條件即“一正二泄三相等”.例2求函數(shù)y= a? + x + 1(x>-l且a>0)的最小值.+l解:y= az2 + x÷l .a+ _f_+(i-a)=a(x+l)+ -+ l-2a > 2 L(X +1)+1 -2a= 1+

3、1X 十1X 十1一 V ' +l當(dāng)a(x+l)= 旦,即X=O時(shí)等號(hào)成立，7 . =1X十1三、換元法主要有三角換元和代數(shù)換元換兩種用換元法時(shí),要特別關(guān)注中間變量的取值范用.例3 求函數(shù)y=屈+ E 的最大值和最小值.解 1 ：先求左義域得 l 令 X=Sin 2 6Q O, - , y=sin +cos g= 2sir< +2為眄“手手當(dāng)0或?qū)r(shí)y孑1,當(dāng)8=2時(shí)，y us= 2444424例4求函數(shù)y= 1十力的最大值和最小值.解 2 :令 V? =uOJ, JI-X =Ve j, /. ua ÷r2 = 1 (uO,vO)貝IJ y=u+v 即 v=-u+y 由

4、直線方程斜截式縱截距的幾何意義知:yS 2解:f(x)=卜 "戲 一17, + X1+2x2 +X11 + 22 + xi 1 + x2 1 + 2令 x=tan ,則2f(x)=f()=cos2+ ISm= -sin2+ 丄血Sl =-(Sin.,.當(dāng) sm= i 時(shí)，f(x=二當(dāng) Sin=-I 時(shí)，/(幼孑-1 4Io2四. 數(shù)形結(jié)合法主要適用于具有幾何意義的函數(shù),通過函數(shù)的圖象求最值.例 5 已知 x2+y2-2x+4y-20=0 求 x2+y2 的最值.分析:本題已知條件轉(zhuǎn)化為(x-l)2+(y+2)2=25.可用三角代換轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問 題處理,也可借助幾何圖形數(shù)形結(jié)合

5、處理解：作x2+y2-2x+4y-2O=O的圖形，它是圓心在P(l,-2)半徑為5的圓,依題總有x2+y2=2x-4y+20.設(shè)x?+y2=z,則z=2x4y+20即y=丄卄竺其圖形是斜率為丄且與已242知圓相交的一簇平行線,于是求Z的最值問題就是求這簇平行線中在y軸的截距最大或最 小問題由平而幾何知識(shí)知,圓心P(L-2)到切線2x-4y+20-z=0的距離小于或等于半徑,即最小值,Z2 = 30+L05為最大值.即x2+y2最大值為30+10厲,最小值為30-10厲.五. 函數(shù)的單調(diào)性法先判明函數(shù)給泄區(qū)間上的單調(diào)性,而后依據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最值.例6已知函數(shù)f(X)立義域R.為對(duì)任意的XhX2

6、R都有f(X1+X2)=f(X1)+f(X2)且x>0時(shí)f(x)<O.f( 1)=-2試判斷在區(qū)間-3,3上f(x)是否有最大值和最小值?如果有試求出最大值 和最小值,如果沒有請(qǐng)說明理由.解:令 x1 =x2=0,KJ f(O)=f(O)+f(O)f(0)=0,令 x=x, X2=-X 則 f(x)+f(-x)= f(0)=0, f(x)=-f(-x), .f(x)為奇函數(shù).設(shè) X1,X2R,JL X1<X2,則 X2-Xl>0. ： f(Xl)-f(X 1 )=f(X2)÷f(-X 1 )=f(X2 -X1 )<0,.f(x2)<f(X1 ),.

7、f(x)在 R 上為減函數(shù).又 f( 1)=-2,RP.f(3)=f( 1 +2)=f( 1 )+f(2)=3f( 1 )=-6,f(-3)=-f(3)=6,又 f(x)在卜3,3上為減函數(shù),故當(dāng) x=3 時(shí),f(X)max=f(-3)=6 ,當(dāng) X=3 時(shí),f(X)nun=f(3)=-6六. 判別式法主要適用于可化為關(guān)于X的二次方程的函數(shù),當(dāng)X的范圍是R時(shí),僅考慮A即可,當(dāng)X 的范圍非R時(shí),還需要結(jié)合圖形另解不等式.例7 求函數(shù)y= y =：一弘+ 4的最大值和最小值x +3 + 4解：函數(shù)的定義域?yàn)镽這是因?yàn)閤2+3x+4的判別式l = 32-4x1x4=-7<0故 x2+3x+4>O對(duì)一切xR均成立函數(shù)表達(dá)式可化為(y-l)x2+(3y+3)x+4y-4=O,當(dāng)yl時(shí)© xR,上而的一元二次方程必須有實(shí)根，. = (3y + 3)2-4(Iy-1)(4Ly÷4)>0解得 lp7,(yl)當(dāng) y=l 時(shí),X=O.故 yma=7, y =L.7 L丿 mL 7例8求函數(shù)y=x+ JXd 的最大值和最小值解：y-x= JXd 兩邊平方整理W：2x2-2(y+l)x+y2是=0, ® X是實(shí)數(shù)- = 4(> + 1)2-Sy2 >0 解之得2&l