勾股定理分享資料

1、北大清華等名校生、一線名師真人在線互動家教平臺 初中數(shù)學(xué)初中數(shù)學(xué) 勾股定理勾股定理北京師范大學(xué) 田開蘭【重點難點 考點】學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解勾股定理的內(nèi)容，已知直角三角形的兩邊，會運用勾股定理求第三邊.2.勾股定理的應(yīng)用.3.會運用勾股定理的逆定理，判斷直角三角形.重點：掌握勾股定理及其逆定理.難點：理解勾股定理及其逆定理的應(yīng)用.考點：勾股定理 勾股定理的逆定理 勾股定理的應(yīng)用2【知識架構(gòu)】3【考點一】勾股定理一）勾股定理的推導(dǎo)法一：面積證法： SA+SB=SC結(jié)論：兩條直角邊上的正方形面積之和等于 斜邊上的正方形的面積ABC圖圖1-1 相傳相傳2500年前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家里做客時，發(fā)年

2、前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家里做客時，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面中反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面中反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系關(guān)系4【考點一】勾股定理一）勾股定理的推導(dǎo)法二：趙爽弦圖的證法S大正方形=S小正方形+ 4S直角三角形在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為勾，下半部分稱為股。我國古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.中黃實中黃實( (b- -a) )2 2cbabababacccc2(ba)24 ab21c2 =a2+ b2勾勾股股5【考點一】勾股定理一）勾股定理的推導(dǎo)法三：茄菲爾德的證法有趣的總統(tǒng)證法

3、美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法。bacbacccc2 =a2+ b2(ab)(ab)21ab21ab21c2216【考點一】勾股定理二、勾股定理一）勾股定理:如果直角三角形的兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么一定有勾股定理的另一種表述：直角三角形兩直角邊的平方和和等于斜邊的平方。 二）勾股定理的其他表示形式：解題技巧：1、勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，是解決有關(guān)線段計算問題的重要依據(jù)2、勾股定理的探索與驗證，一般采用“構(gòu)造法”通過構(gòu)造幾何圖形，并計算圖形面積得出一個等式，從而得

4、出或驗證勾股定理c2=a2 + b27【考點一】勾股定理例1：如圖3，分別以Rt ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之間有的關(guān)系式 S1S2S3圖4 8【考點一】勾股定理例2：如圖，學(xué)校有一塊長方形花鋪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花鋪內(nèi)走出了一條“路”他們僅僅少走了 步路（假設(shè)2步為1米），卻踩傷了花草 ?“路”?4m?3m9【考點一】勾股定理例3：如圖2，一個3米長的梯子AB，斜著靠在豎直的墻AO上，這時AO的距離為2.5米求梯子的底端B 距墻角O多少米？如果梯的頂端A沿墻下滑0.5米至C. 算一算，底端滑動的距離近似值（結(jié)果

5、保留兩位小數(shù)）OBDACCAOBOD10【考點二】勾股定理的逆定理一）勾股定理的逆定理（直角三角形的判定）: 如果三角形的三邊長a,b,c滿足 ,那么這個三角形是直角三角形.符號語言： 在ABC中，若a2 + b2 = c2，則ABC是直角三角形。注意：1、這一命題是勾股定理的逆定理2、它可以幫助我們判斷三角形的形狀.為根據(jù)邊的關(guān)系解決角的有關(guān)問題提供了新的方法.3、定理的證明采用了構(gòu)造法.利用已知三角形的邊a,b,c(a2+b2=c2)，先構(gòu)造一個直角邊為a,b的直角三角形，由勾股定理證明第三邊為c,進(jìn)而通過“SSS”證明兩個三角形全等，證明定理成立.c2=a2 + b211【考點二】勾股定

6、理的逆定理二）勾股數(shù)組：定義：能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)組.常見勾股數(shù)組：(1)a=3,b=4,c=_(2)a=9,b=_c=15(3)a=_,b=40,c=50(4)a=24,b=32,c=_(5)a=5,b=_,c=13(6)a=_,b=36,c=39(7)a=25,b=60,c=_12【考點二】勾股定理的逆定理三）解題技巧： 在中考中，很多問題常常要證明兩條直線互相垂直，當(dāng)題中給出線段的長度要證明它們互相垂直時，往往用到勾股定理的逆定理通過計算得到證明勾股定理的逆定理是用來判定一個三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用來證明兩直線是否垂直,勾股定理是直角

7、三角形的性質(zhì)定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不僅可以判定三角形是否為直角三角形，還可以判定哪一個角是直角，從而產(chǎn)生了證明兩直線互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通過計算來證明，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想13【考點二】勾股定理的逆定理四）逆命題與互逆命題u 1）互逆命題: 兩個命題中, 如果第一個命題的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論, 而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的題設(shè),那么這兩個命題叫做互逆命題. 如果把其中一個叫做原命題, 那么另一個叫做它的逆命題. u 2）互逆定理: 如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題, 那么它也是一個定理, 這兩個定理叫做互逆定理, 其中一個叫做另一個的

8、逆定理.u 3）注意：任何一個命題都有 _，但任何一個定理未必都有 _五）勾股定理判別三角形形狀三角形的三邊分別為a、b、c，其中c為最大邊，若a2 + b2=c2，則三角形是直角三角形；若a2 + b2c2,則三角形是銳角三角形；若a2 + b2c2,則三角形是鈍角三角形所以使用勾股定理的逆定理時首先要確定三角形的最大邊14【考點二】勾股定理的逆定理例4：說出下列命題的逆命題。這些命題的逆命題成立嗎？兩直線平行，內(nèi)錯角相等；如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值相等；全等三角形的對應(yīng)角相等；角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上。例5：思考：我們知道3、4、5是一組勾股數(shù)，那么3k、4k、

9、5k（k是正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)嗎？一般地，如果a、b、c是一組勾股數(shù)，那么ak、bk、ck（k是正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)嗎？15【考點二】勾股定理的逆定理例6：在ABC中，三條邊的長分別為a，b，c，an21，b2n，cn2+1(n1，且n為整數(shù))，這個三角形是直角三角形嗎？若是，哪個角是直角16【考點二】勾股定理的逆定理例7：下列不是一組勾股數(shù)的是（ ）A、5、12、13 B、 C、12、16、20 D、 7、24、25 例8：下面有幾組數(shù)可以作為直角三角形的邊長？ ( ) (1) 9, 12, 15 (2) 12,35,36 (3) 15,36 39 (4) 12, 18,32 (5) 5,12,13 (6) 7,24 ,25 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 17【考點三】勾股定理的應(yīng)用1、已知兩邊求第三邊2、利用列方程求線段的長3、判別一個三角形是否是直角三角形4、靈活變通例：如圖一個圓柱，底圓周長6cm，高4cm，一只螞蟻沿外 壁爬行，要從A點爬到B點，則最少要爬行 cm18【考點三】勾股定理的應(yīng)用一）利用勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù) （n為正整數(shù)）的點:例9：在數(shù)軸上畫出表示 的點？（尺規(guī)作圖）n1719【考點三】勾股定理的應(yīng)用一）直角三角形面積法：的長為多少？則，是斜邊上的高，中，：如圖：在例CDBCACCDACBABCRt4390100DCAB的面積嗎？你能求