專題18,選修2-1綜合練習（理）（解析版）

1、專題18,選修2-1綜合練習（理）（解析版） 1 題 專題 18 選修 2-1 綜合練習 一、選擇題：本題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1圓 12 2= + y x 與直線 3 - = kx y 有公共點的充分不必要條件是( )。 a、 2 2 - £ k 或 2 2 ³ k b、 2 2 - £ k c、 2 ³ k d、 2 2 - £ k 或 2 > k 【答案】b 【解析】圓 12 2= + y x 與直線 3 - = kx y 有公共點 Û 1132

2、£+ kÛ 2 2 - £ k 或 2 2 ³ k ， " 2 2 - £ k '是"圓 12 2= + y x 與直線 3 - = kx y 有公共點的充分不必要條件'，故選 b。 2已知雙曲線 c ： 12222= -byax( 0 > a ， 0 > b )的一條漸近線方程是 x y 3 = ，它的一個焦點坐標為 ) 0 2 ( ， ，則雙曲線 c 的方程為( )。 a、 12 62 2= -y x b、 1322= - yx c、 16 22 2= -y x d、 1322= -yx 【答

3、案】d 【解析】雙曲線 c ： 12222= -byax( 0 > a ， 0 > b )的一個焦點坐標為 ) 0 2 ( ， ， 2 = c ，焦點在 x 軸上， 漸近線方程是 x y 3 = ， 3 =ab，令 m b 3 = ( 0 > m )，則 m a= ， 2 22 2= = + = m b a c ， 1 = m ， 1 = a ， 3 = b ，雙曲線方程為 1322= -yx ，故選 d。 3已知點 ) 1 2 ( ， a 為拋物線 py x 22= ( 0 > p )上一點，則 a 到其焦點 f 的距離為( )。 a、23 b、212 + 2 c、

4、2 d、 1 2 + 【答案】a 【解析】把 ) 1 2 ( ， a 代入拋物線中，解得 1 = p ，則拋物線的準線方程為21- = y ， 由拋物線的定義得23)21( 1 | | = - - = af ，故選 a。 4若 a 、 b 、 c 是空間的非零向量，則下列命題中的真命題是( )。 a、 a c b c b a × × = × × ) ( ) ( b、若 | | | | b a b a × - = × ，則 b a/ c、若 c b c a × = × ，則 b a/ d、若 b b a a 

5、5; = × ，則 b a = 【答案】b 【解析】 c b a × × ) ( 是與 c 共線的向量， a c b × × ) ( 是與 a 共線的向量， a 與 c 不一定共線，a 錯， 若 | | | | b a b a × - = × ，則 a 與 b 方向相反， b a/ ，b 對， 若 c b c a × = × ，則 0 ) ( = × - c b a ，即 c b a - ) ( ，不能推出 b a/ ，c 錯， 若 b b a a × = × ，則 | |

6、| | b a = ， a 與 b 方向不一定相同，不能推出 b a = ，d 錯， 故選 b。 5如果1p 、2p 、np 是拋物線 c ： x y 42= 上的點，它們的橫坐標依次為1x 、2x 、nx ， f 是拋物線c 的焦點，若 102 1= + × + +nx x x ，則 = + × + + | | | | | |2 1f p f p f pn( )。 a、 10 + n b、 20 + n c、 10 2 + n d、 20 2 + n 【答案】a 【解析】由題可知拋物線的焦點為 ) 0 1 ( ， ，準線為 1 - = x ， 由拋物線定義可知 1 | |

7、1 1+ = x f p 、 1 | |2 2+ = x f p 、， 故 10 | | | | | |2 1+ = + × + + n f p f p f pn，故選 a。 6正方體1 1 1 1d c b a abcd- 中， m 、 n 分別為 d a 1 、 ac 上的點，且滿足 md d a 31= ， nc an 2 = ，則異面直線 mn 與1 1 dc 所成角的余弦值為( )。 3 a、55 b、42 c、55 2 d、33 【答案】c 【解析】以 d 為原點， da 、 dc 、1dd 為 x 軸、 y 軸、 z 軸建系，設 3 = ab ， 則由 md d a 3

8、1= 、 nc an 2 = 可得： ) 3 3 0 (1， ， c 、 ) 3 0 0 (1， ， d 、 ) 1 0 1 ( ， ， m 、 ) 0 2 1 ( ， ， n ， ) 0 3 0 (1 1， ，- = d c ， ) 1 2 0 ( - = ， ， mn ，則55 2| | | |cos1 11 11 1- =××>= <mn d cmn d cmn d c ， ， 又 mn 與1 1 dc 所成角為銳角， 則異面直線 mn 與1 1 dc 所成角的余弦值為55 2| cos |1 1= > < mn d c ， ， 故選 c。 7

9、已知橢圓 c ： 12222= +byax( 0 > > b a )，點 m 、 n 、 f 分別為橢圓 c 的左頂點、上頂點、左焦點，若 = Ðmfn o90 + Ðnmf ，則橢圓 c 的離心率是( )。 a、21 2 - b、21 3 - c、21 5 - d、23 【答案】c 【解析】依題意有2 2b a mn + = ， c a mf - = ， a nf = ，o90 + Ð = Ð nmf mfn ， nmf nmf mfn Ð = + Ð = Ð cos ) 90 sin( sino，即2 2b

10、aaab+= ，解得21 522-=ab， 離心率21 5122-= - =abe ，故選 c。 8如圖，正方體1 1 1 1d c b a abcd- 的棱長為 1 ， e 、 f 分別是棱 bc 、1dd 上的點，若 e b 1 平面 abf ， 4 則 ce 與 df 的長度之和為( )。 a、21 b、22 c、23 d、 1 【答案】d 【解析】以1 1 ad 、1 1 cd 、 d d 1 為 x 、 y 、 z 軸建系，設0x ce = ，0y df = ， 則 ) 1 1 (0， ， x e ， ) 0 1 1 (1， ， b ， ) 1 0 0 (0y f - ， ， ， )

11、 1 1 1 ( ， ， b ， ) 1 0 1 (0 1， ， - = x e b ， ) 1 1 (0y fb ， ， = ，由于 e b 1 平面 abf ， 1 0 0 1 ) 1 1 ( ) 1 0 1 (0 0 0 0 0 0 1= + Þ = + + - = × - = × y x y x y x fb e b ， ， ， ， ， 故 ce 與 df 的長度之和為 1 ，故選 d。 9已知拋物線 c ： x y 162= ，焦點為 f ，直線 l ： 1 - = x ，點 l aÎ ，線段 af 與拋物線 c 的一個交點為 b ，若 fb

12、fa 5 = ，則 = | | af ( )。 a、 3 4 b、 2 6 c、 35 d、 40 【答案】c 【解析】過 b 作 be l 于 e ，設 l 與 x 軸的交點為 d ，則| | | | |fdbefaba= ， fb fa 5 = ， | |5| | |45| | |be befdbafa= = = ， 4 | | = be ， 又 7 3 | | | | = + = be fb ， 35 | | 5 | | = = fb fa ，故選 c。 10如圖，邊長為 2 的正方形 abcd 中，點 e 、 f 分別是 ab 、 bc 的中點，將 ade d 、 ebf d 、 fc

13、d d 分別沿 de 、 ef 、 fd 折起，使得 a 、 b 、 c 三點重合于點a¢，若四面體 efda¢的四個頂點在同一個球面上，則該球的表面積為( )。 a、 p 5 b、 p 6 c、 p 8 d、 p 10 5 【答案】d 【解析】四面體 efda¢為底面為等腰 efa¢d ，頂點為 d 的三棱錐 ef a d ¢ - ， 則 1 = ¢ = ¢ f a e a ， 2 = ef ， 2 =¢da ， 5 = = df de ， 則 e a a d¢ ¢， f a a d¢

14、; ¢，則 ¢ a d平面 efa¢， 又2 2 2ef f a e a = ¢ + ¢ ，則 efa¢d 為直角三角形， f a e a ¢ ¢ ， 以a¢為原點如圖建系，則 ) 0 0 0 ( ， ，a¢， ) 0 0 1 ( ， ， e ， ) 0 1 0 ( ， ， f ， ) 2 0 0 ( ， ， d ， 設四面體 efda¢的外接圓的圓心為 ) ( z y x o ， ， ，則 od of oe a o = = = ¢ ， 由空間兩點間距離公式知：2 2 2 2

15、 2 2) 1 ( z y x z y x + + - = + + ，2 2 2 2 2 2) 1 ( z y x z y x + - + = + + ， 2 2 2 2 2 2) 2 ( - + + = + + z y x z y x ，解得21= x ，21= y ， 1 = z ， 半徑為26231 )21( )21(2 2 2= = + + = r ， 該球的表面積為 p = ´ p = p = 6 )26( 4 42 2r s ，故選 b。 11已知1f 、2f 分別是雙曲線 e ： 12222= -byax( 0 > a ， 0 > b )的左、右焦點，且 2

16、 | |2 1= f f ，若 p 是該雙曲線右支上一點，且滿足 | | 2 | |2 1pf pf = ，則2 1 fpf d 面積的最大值是( )。 a、 1 b、34 c、35 d、 2 【答案】b 【解析】設 m pf = | |1， n pf = | |2， q = Ð2 1 pff ，由題意得 n m 2 = ， 1 = c ， 由雙曲線定義得 a n m 2 = - ， a a c a n - = - ³ = 1 2 Þ31³ a Þ32³ n Þ942³ n ， 由余弦定理得22 2 244 524

17、cosnnmnc n m -=- += q ， 2222)44 5( 1 sin212 1nnn mn sf pf- = q =d 349256)920( 94116 40 9412 2 2 4³ + - - = - + - = n n n ， 當949202> = n 時，2 1 fpf d 面積的最大值是34，故選 b。 6 12點 p 到曲線 c 上每一點的距離的最小值稱為點 p 到曲線 c 的距離，已知點 ) 0 2 ( ， p ，若點 p 到曲線 c 的距離為 3 ，在下列曲線中不符合題意的是( )。 a、 0 32 2= - y x b、 3 ) 3 ( ) 1 (

18、2 2= - + + y x c、 45 9 52 2= + y x d、 x y 22= 【答案】c 【解析】a 選項，由 0 32 2= - y x 可知 0 3 = ± y x ， 則點 ) 0 2 ( ， p 到直線 0 3 = ± y x 的最短距離為 3 = d ，符合題意， b 選項， 3 ) 3 ( ) 1 (2 2= - + + y x 是圓心為 ) 3 1 ( ， - c ，半徑為 3 = r 的圓， 則點 ) 0 2 ( ， p 到曲線 c 的最短距離為： 3 3 ) 3 ( ) 1 2 ( | |2 2= - + + = - = r pc d ，符合

19、題意， c 選項， 45 9 52 2= + y x 可化為橢圓 c ： 15 92 2= +y x，設 c 上任意一點 ) sin 5 cos 3 ( q q， q ， 則點 ) 0 2 ( ， p 到曲線 c 上任意一點的距離為： q + q + q - = q + q - = =2 2 2 2sin 5 cos 9 cos 12 4 ) sin 5 ( ) cos 3 2 ( | | pq d q - = - q = + q - q = cos 2 3 ) 3 cos 2 ( 9 cos 12 cos 42 2， 5 1 £ £ d ，最小值為 1 ，不符合題意， d

20、 選項， x y 22= 上任意一點 ) 2 2 (2t t m ， ，則點 ) 0 2 ( ， p 到曲線 c 上任意一點的距離為： 2 2 4 2 2 24 4 8 4 ) 2 ( ) 2 2 ( | | t t t t t pm d + + - = + - = = 343)21( 2 4 4 42 2 2 4³ + - = + - = t t t ，符合題意， 故填 c。 二、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分。 13已知1f 、2f 為橢圓 c ： 116222= +yax的左、右焦點， m 為橢圓上一點，且2 1 fmf d 內(nèi)切圓的周長等于 p 3 ，

21、若滿足條件的點 m 恰好有兩個，則 = a 。 【答案】 5 ± 【解析】由題意得內(nèi)切圓的半徑等于23，因此2 1 fmf d 的面積為2) ( 3) 2 2 (2321 c ac a+= + ´ ´ ， 7 即 c yc am2 | |212) ( 3´ ´ =+，滿足條件的點 m 恰好有兩個， m 為橢圓短軸端點，即 4 | | =my ， c a 5 3 = ，而 162 2= -c a ， 252= a ， 5 ± = a 。 14已知拋物線 y x 42= 的焦點為 f ，準線為 l ， p 為拋物線上一點，過 p 作 l

22、pa 于點 a ，當o30 = Ðafo ( o 為坐標原點)時， = | | pf 。 【答案】34 【解析】令 l 與 y 軸交點為 b ，在 abf rtd 中，o30 = Ðafb ， 2 = bf ， 33 2= ab ，若 ) (0 0y x p ， ( 00 >x )，則33 20= x ， 代入 y x 42= 中，則310 =y ，而341 | | | |0= + = = y pf pf 。 15如圖所示，平行六面體1 1 1 1d c b a abcd- 中， 11 = = aa ad ab ，o1201 =Ð = Ð baa

23、bad ，o601 =Ðdaa ，則線段1ac 的長度是 。 【答案】 2 【解析】1 1aa ad ab ac + + = ， 1 1212 2 212 2 2 aa ad aa ab ad ab aa ad ab ac × + × + × + + + = 2211 1 2 )21( 1 1 2 )21( 1 1 2 1 1 1 = ´ ´ ´ + - ´ ´ ´ + - ´ ´ ´ + + + = ， 2 | |1= ac 。 16已知 f 是雙曲線 c ： 1

24、822= -yx 的右焦點， p 是 c 左支上一點， ) 6 6 0 ( ， a ，當 apf d 周長最小時，該三角形的面積為 。 【答案】 6 12 【解析】設雙曲線的左焦點為1f ，由雙曲線定義知， | | 2 | |1pf a pf + = ， apf d 的周長為 a af pf pa af pf a pa af pf pa 2 | | | | | | | | | | 2 | | | | | | | |1 1+ + + = + + + = + + ， 由于 a af 2 | | + 是定值，要使 apf d 的周長最小，則 | | | |1pf pa + 最小， 即 p 、 a 、

25、1f 共線， ) 6 6 0 ( ， a ， ) 0 3 (1， - f ， 直線1af 的方程為 16 6 3= +-y x，即 36 2- = =yx ， 代入 1822= -yx 整理得： 0 96 6 62= - + y y ，解得 6 2 = y 或 6 8 - = y 舍)， 8 p 點的縱坐標為 6 2 ， 6 12 6 2 6216 6 6211 1= ´ ´ - ´ ´ = - =d d d pff aff apfs s s 。 三、解答題：本題共 6 小題，共 70 分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 17（10 分）已知

26、r mÎ ，設命題 p ： 1 1 ， - Î "x ， 0 2 8 4 22 2³ - + - - m m x x 成立，命題 q ： 2 1 ， Î $x ，1 ) 1 ( log221- < + -mx x 成立。如果" q pÚ '為真，" q pÙ '為假，求 m 的取值范圍。 【解析】若 p 為真：對 1 1 ， - Î "x ， 2 2 8 42 2- - £ - x x m m 恒成立， 設 2 2 ) (2- - = x x x f ，

27、配方得 3 ) 1 ( ) (2- - = x x f ， ) (x f 在 1 1 ， - 上的最小值為 3 - ， 3 8 42- £ - m m ，解得2321£ £m ， p 為真時2321£ £m ， 3 分 若 q 為真： 2 1 ， Î $x ， 2 12> + -mx x 成立，xxm12-< 成立， 設xxxxx g1 1) (2- =-= ，易知 ) (x g 在 2 1 ， 上是增函數(shù)， ) (x g 的最大值為23) 2 ( = g ， 23< m ， q 為真時23< m ， 6 分

28、q pÚ 為真， q pÙ 為假， p 與 q 一真一假， 當 p 真 q 假時ïïîïïíì³£ £232321mm，23= m ，當 p 假 q 真時ïïîïïíì<> <232321mm m 或，21< m ， 綜上所述， m 的取值范圍是21< m 或23= m 。 10 分 18 （12分）已知等腰梯形 abcd 如圖1所示，其中 cd ab/ ， e 、 f 分別為

29、 ab 、 cd 的中點，且 2 = =ef ab ，6 = cd ， m 為 bc 中點，現(xiàn)將梯形 abcd 按 ef 所在直線折起，使平面 efcb 平面 efda ，如圖 2 所示，n 是線段 cd 上一動點，且 nd cn l = 。 (1)當21= l 時，求證： / mn 平面 adfe ； (2)當 1 = l 時，求二面角 f na m - - 的余弦值。 【解析】(1)證明：過點 m 作 ef mp 于點 p ，過點 n 作 fd nq 于點 q ，連接 pq ， 1 分 由題意，平面 efcb 平面 efda ， 9 mp 平面 efda ，且 22=+=cf bemp ，

30、 2 分 ef cf ， ef df ， ef 平面 cfd ， ef nq ，由 fd nq ， 3 分 nq 平面 efda ，又 nd cn21= ， 232= = cf nq ，即 nq mp/ ， nq mp = ， 4 分 則 pq mn / ，由 Ë mn 平面 adfe ， Ì pq 平面 adfe ， / mn 平面 adfe ； 5 分 (2)以 f 為坐標原點， fe 方向為 x 軸， fd 方向為 y 軸， fc 方向為 z 軸，如圖建系， 則 ) 2 0 1 ( ， ， m ， ) 0 1 2 ( ， ， a ， ) 0 0 0 ( ， ， f ，

31、 ) 3 0 0 ( ， ， c ， ) 0 3 0 ( ， ， d ， )23230 ( ， ， n ， 6 分 設平面 amn 的法向量分別為 ) (1 1 1 1z y x n ， ， = ， ) 2 1 1 ( ， ，- - = am 、 )21231 ( - - = ， ， mn 則ïîïíì= - + - = ×= + - - = ×021230 21 1 1 11 1 1 1z y x mn nz y x am n，取 11 =x ，則 11 =y 、 11 =z ，即 ) 1 1 1 (1， ， = n ，

32、8 分 設平面 fan 的法向量分別為 ) (2 2 2 2z y x n ， ， = ， ) 0 1 2 ( ， ， = fa 、 )23230 ( ， ， = fn 則ïîïíì= + = ×= + = ×023230 22 2 22 2 2z y fn ny x fa n，取 12 =x ，則 22- = y 、 22 =z ，即 ) 2 2 1 (2， ，- = n ， 10 分 設二面角 f na m - - 的平面角為 q ，經(jīng)觀察 q 為銳角， 則93|9 32 1 ) 2 ( 1 1 1| | | | | |

33、 cos | cos2 12 12 1=´´ + - ´ + ´=××= > < = qn nn nn n， ， 二面角 f na m - - 的余弦值為93。 12 分 19（12 分）設圓 0 15 22 2= - + + x y x 的圓心為 a ，直線 l 過點 ) 0 1 ( ， b 且與 x 軸不重合， l 交圓 a 于 c 、 d 兩點，過 b 作 ac 的平行線交 ad 于點 e 。 (1)證明 | | | | eb ea + 為定值，并寫出點 e 的軌跡方程； (2)設點 e 的軌跡為曲線1c ，直線 l

34、 交1c 于 m 、 n 兩點，過 b 且與 l 垂直的直線與圓 a 交于 p 、 q 兩點，求四邊形 mpnq 面積的取值范圍。 【解析】(1)證明： | | | | ac ad = ， ac eb/ ，故 adc acd ebd Ð = Ð = Ð ， | | | | ed eb = ，故 | | | | | | | | | | ad ed ea eb ea = + = + ， 1 分 又圓 a 的標準方程為 16 ) 1 (2 2= + + y x ，從而 4 | | = ad ， 4 | | | | = + eb ea ， 2 分 10 由題設得 ) 0

35、1 ( ， - a ， ) 0 1 ( ， b ， 2 | | = ab ， 點 e 的軌跡是以 a 、 b 為焦點的橢圓， 設 e ： 12222= +byax( 0 > > b a )， 0 ¹ y ， 3 分 則 2 = a 、 1 = c ， 3 = b ，則軌跡 c 的方程為 13 42 2= +y x( 0 ¹ y )； 4 分 (2)當 l 與 x 軸不垂直時，設 l 的方程為 ) 1 ( - = x k y ( 0 ¹ k )， ) (1 1y x m ， 、 ) (2 2y x n ， ， 由îíì= +

36、- =12 4 3) 1 (2 2y xx k y得： 0 12 4 8 ) 4 3 (2 2 2 2= - + - + k x k x k ， 0 > d 恒成立， 6 分 則222 14 38kkx x+= + ，222 14 312 4kkx x+-= × ，222 124 3) 1 ( 12| | 1 | |kkx x k mn+= - + = ， 7 分 過點 ) 0 1 ( ， b 且與 l 垂直的直線 m ： ) 1 (1- - = xky ， a 到 m 的距離為122+ k， 8 分 13 44 )12( 4 2 | |22222+=+- =kkkpq ， 故

37、四邊形 mpnq 的面積3 411 12 | | | |212+ = ´ ´ =kpq mn s， 9 分 可得當 l 與 x 軸不垂直時，四邊形 mpnq 面積的取值范圍為 ) 3 8 12 ( ， ， 10 分 當 l 與 x 軸垂直時，其方程為 1 = x ， 3 | | = mn ， 8 | | = pq ，四邊形 mpnq 的面積為 12 ， 11 分 綜上，四邊形 mpnq 面積的取值范圍為 ) 3 8 12 ， 。 12 分 20（12 分）四棱錐 abcd p - 中， pd 平面 abcd ， a bc ad 2 2 = = ( 0 > a )， b

38、c ad/ ， a pd 3 = ，q = Ðdab 。 (1)若o60 = q ， a ab 2 = ， q 為 pb 的中點，求證： pc dq ； (2)若o90 = q ， a ab = ，求平面 pad 與平面 pbc 所成角的大小。 【解析】(1)證明：連接 bd ， abd d 中， a ad = ， a ab 2 = ，o60 = Ðdab ， 由余弦定理：o60 cos 22 2 2× × - + = ab da ab da bd ，解得 a bd 3 = ， 2 分 abd d 為直角三角形， ad bd ， bc ad/ ， bd

39、bc ， 11 又 pd 平面 abcd ， pd bc ， d bd pd = i ， bc 平面 pbd ， 3 分 Ì bc 平面 pbc ，平面 pbd 平面 pbc ， 又 a bd pd 3 = = ， q 為 pb 中點， pb dq ， 4 分 平面 i pbd 平面 pb pbc = ， dq 平面 pbc ， 又 Ì pc 平面 pbc ， pc dq ； 5 分 (2)由o90 = q ， a ab = ，可得 a cd bd 2 = = ，取 bc 中點 m ，則 abmd 為矩形， 以 d 為坐標原點分別以 da 、 dm 、 dp 所在直線為 x

40、 、 y 、 z 軸， 建立空間直角坐標系 xyz d - ， 則 ) 0 0 0 ( ， ， d 、 ) 0 0 ( ， ， a a 、 ) 0 ( ， ，a a b 、 ) 0 ( ， ，a a c - 、 ) 0 0 ( a m ， ， 、 ) 3 0 0 ( a p ， ， ， 7 分 dm 平面 pad ， dm 是平面 pad 的法向量， ) 0 0 ( ， ，a dm = ， 8 分 設平面 pbc 的法向量為 ) ( z y x n ， ， = ， ) 3 ( a a a pb - = ， ， ， ) 0 0 2 ( ， ， a bc - = ，ïî

41、9;íì= ×= ×00bc npb n， 令 1 = z ，可得ïîïíì= -= - +0 20 3axa ay ax，解得 ) 1 3 0 ( ， ， = n ， 10 分 設平面 pad 與平面 pbc 所成角的平面角為 q ，2323| | | | cos = =××= qaan dmn dm， 平面 pad 與平面 pbc 所成角為6p。 12 分 21 （12 分）如圖所示，在四棱錐 abcd p - 中，底面 abcd 是平行四邊形， pd 底面 abcd ， 2 =

42、=ab pa ， pa bc21= ， 3 = bd ， e 在 pc 邊上。 (1)求證：平面 pda 平面 pdb ； (2)當 e 是 pc 邊上的中點時，求異面直線 ap 與 be 所成角的余弦值； (3)若二面角 c bd e - - 的大小為o30 ，求 de 的長。 【解析】(1)證明：底面 abcd 是平行四邊形， 1 = = bc ad ， 又 3 = bd ， 2 = ab ，滿足2 2 2ab bd ad = + ， bd ad ， 1 分 又 pd 底面 abcd ， bd pd ， bd 平面 pad ， 2 分 Ì bd 平面 pdb ，平面 pda 平面

43、 pdb ； 3 分 12 (2)以 d 為原點建立如圖所示空間直角坐標系， 則 ) 0 0 0 ( ， ， d 、 ) 0 0 1 ( ， ， a 、 ) 0 3 0 ( ， ， b 、 ) 0 3 1 ( ， ， - c 、 ) 3 0 0 ( ， ， p ， 4 分 e 是 pc 邊上的中點， )232321( ， ， - e ， 則 ) 3 0 1 ( ， ， - = ap ， )232321( ， ，- - = be ， 5 分 設直線 ap 與 be 所成角的平面角為 a ， 77 2| | | | | | cos | cos =××= > < =

44、abe apbe apbe ap， ； 6 分 (3)由 c ， e ， p 三點共線，得 dc dp de ) 1 ( l - + l = ，且 1 0 £ l £ ， 從而有 ) 3 ) 1 ( 3 1 ( l l - - l = ， ， de ， ) 0 3 0 ( ， ， = db ， 7 分 設平面 edb 的法向量為 ) ( z y x n ， ， = ，ïîïíì= = ×= l + l - + - l = ×0 30 3 ) 1 ( 3 ) 1 (y db nz y x de n， 令 3 = x ，則 0 = y ，ll -=1z ，可取 )10 3 (ll -= ， ， n ， 1