概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(I)課件

1、在許多實(shí)際問題中在許多實(shí)際問題中, , 常需要考慮隨機(jī)變量函常需要考慮隨機(jī)變量函數(shù)的分布數(shù)的分布. .如在一些試驗(yàn)中如在一些試驗(yàn)中, ,所關(guān)心的隨機(jī)變所關(guān)心的隨機(jī)變量往往不能直接測量得到量往往不能直接測量得到, , 而是某個(gè)能直接而是某個(gè)能直接測量的隨機(jī)變量的函數(shù)測量的隨機(jī)變量的函數(shù). .在本節(jié)中在本節(jié)中, ,我們將討我們將討論如何由論如何由已知的隨機(jī)變量已知的隨機(jī)變量X 的分布去求它的的分布去求它的函數(shù)函數(shù)Y= =f( (X) )分布分布. .設(shè)設(shè) X 為為離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量,其其分分布布律律為為, 2 , 1,)( ipxXPii,隨隨機(jī)機(jī)變變量量)(XgY ,從從而而 Y 的的

2、所所有有可可能能取取值值為為, 2 , 1),( ixgyii,因因此此 Y 也也是是離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量.注注意意到到j(luò)i 時(shí)時(shí),也也有有可可能能出出現(xiàn)現(xiàn))()(jixgxg 的的情情況況,故故 Y的的分分布布律律為為 , 2 , 1 ),()()( ixXPyYPikyxgki X -1 0 1 2 P 0.2 0.3 0.1 0.4 Y 0 1 4 P 0.1 0.7 0.2 例例 1 1 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X的分布律如下表的分布律如下表, ,試求試求Y=Y=( (X-X-1)1)2 2的分布律的分布律. .解解 Y所有可能取的值為所有可能取的值為0,1,4.0,1,4.由

3、由即得即得Y Y的分布律為的分布律為1 . 0)1()0)1()0(2 XPXPYP)1)1()1(2 XPYP7 . 04 . 03 . 0)2()0( XPXP2 . 0)1()4)1()4(2 XPXPYP例例 2 2 設(shè)設(shè)X服從參數(shù)為服從參數(shù)為的泊松分布的泊松分布, ,試求試求Y= =f( (X) )的的分布列分布列. .其中其中 為為奇奇數(shù)數(shù)為為偶偶數(shù)數(shù)xxxxf, 10, 0, 1)(解解 易知易知Y的可能取值為的可能取值為-1,0,1,-1,0,1,且有且有 0120)!12()12()1(kkkekkXPYP eXPYP)0()0( 121)!2()2()1(kkkekkXPY

4、P 設(shè)設(shè) X 為連續(xù)型隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量,已知其分布函數(shù)已知其分布函數(shù))(xFX和密度函數(shù)和密度函數(shù))(xfX,隨機(jī)變量隨機(jī)變量)(XgY ,要求要求 Y 的分布函數(shù)的分布函數(shù))(yFY和密度函數(shù)和密度函數(shù))(yfY. 其他其他0408)(xxxfX求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量Y=2X+8Y=2X+8的概率密度的概率密度. .例例3 3 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X具有概率密度具有概率密度解解 先求先求Y=2=2X+8+8的分布函數(shù)的分布函數(shù)FY( (y).).82)(yXPyYPyFY 于是得于是得Y=2=2X+8+8的概率密度為的概率密度為2828)( yyfyfXY 28)()28(yXdx

5、xfyXP 其其他他 , 04280 ,21)28(81yy 其他其他 , 0168 ,328yy例例4 4 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X具有概率密度具有概率密度fX( (x),-),-x0 0 時(shí)時(shí), ,有有dxxfyXyPyXPyYPyFyyXY )()()()()(2于是得于是得Y的概率密度為的概率密度為 0 ),()(210 ,0)(yypypyyYXXyf例例 5 5 設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量),(2 NX, ,試試求求)0( abaXY的的密密度度函函數(shù)數(shù). . 解解 先根據(jù)先根據(jù)Y與與X的函數(shù)關(guān)系式求的函數(shù)關(guān)系式求Y的分布函數(shù)的分布函數(shù))()()(ybaXPyYPyFY 0),(1)(

6、0),()(aabyFabyXPaabyFabyXPXX若若若若)( ,( , ,21 21 2)(2)(2)(2222 aabNYyeaeaaabyaby 即即其中其中 從而從而 0,1)(0,1)()()(aaabyfaaabyfdyydFyfXXYY若若若若aabyfX1)( 例例 6 設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量)1 , 0( UX,求求122 XY的的密密度度函函數(shù)數(shù). 解解 X的取值范圍為的取值范圍為(0,1), 從而從而Y 的取值范圍的取值范圍為為(1,3) 當(dāng)當(dāng)1y3時(shí)時(shí),Y的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為)12()()(2yXPyYPyFY 2121yXyP 2121yFyFXXdyydFyfYY)()( 而而Y1和和Y4是不可能事件是不可能事件, 從而有從而有 21)(yFyFXY0)( ,0 xFxX時(shí)時(shí)由由于于當(dāng)當(dāng)021 yFX從而從而因此當(dāng)因此當(dāng)1y0(或或g(x)0),則則Y=g(X)的概率密度為的概率密度為 其他其他0|,)( |)()( yyhyhfyfXY )(),(max )(),(min ,)()( ggggxgyh 的的反反函函數(shù)數(shù)是是其其中中證明證明 (略略)例例7 7 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X具有概率密度具有概率密度求求Y= =ln X 的概率密度的概率密度. . 其他其他, 00,)1(2)