導(dǎo)數(shù)定義及公式

1、導(dǎo)數(shù):1. 若 f (x) =c,則f ' (x)=2. 若 f (x)=xn (n e Q * ),貝lf ' (x)二3. 若 f (x)=sin x,則f ' (x)=4. 若 f(x)二cosx,則f(x)二5. 若 f (x)= ax,則f ' (x)=6. 若 f (x)= ex,則f ' (x)=7. 若 f (x)= logaX,則f * (x)=8. 若 f (x)= Inx,則f ' (x)二9. f (x)± g(x)】二10. f (x) . g(x) 1 =12. cf (x)=13. y 二 f (u) ,u

2、 二 g(x),則 y 二f (g (x)；yx =sin 2x二(e-x)#導(dǎo)數(shù)：-lim _-般地，函數(shù)yh (x)在x二xo處的瞬時變化率是"心。+3-"。)，稱函數(shù)y-f (x)在x-xo處的導(dǎo)數(shù)，記xTOaxTOAx作：f 1 (x)或y二 X0o 即 f ' (xo)_ I im _ I im f(xg + Ax) - f (xo)Ax->0 * 4xT0Ax#函數(shù)y=f (x)在點xo處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義、就是曲線yh (x)在 點P (xo, f (xo)處的切線斜率，也就是說曲線y二f (x)在點P(xo, f (xo)處的切線斜率是f 

3、9; (xo) o相應(yīng)地，過p點的切 線方程為：y-f (xo)二f ' (xo) (x-xo)#導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)yh (x)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)每一點都可導(dǎo)， 就說函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)。若函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，則f (x)在(a, b)內(nèi)每一點的導(dǎo)數(shù)構(gòu)成一個新 函數(shù)，把這一新函數(shù)叫做f (x)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)(簡 稱導(dǎo)數(shù))記作f ' (x)或y '或y '乂。即f_ I im A y _' f(x + /x) _ f (x)xTOAx-*OAx一、函數(shù)的單調(diào)性一般地，與其導(dǎo)函數(shù)的正負有如下關(guān)系：在

4、某個區(qū)間(a, b) 內(nèi)，如果卡(x)> 0,那么函數(shù)y=f (x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f ' (x)< 0那么函數(shù)y二f (x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。1 . 如果于(x)> 0,則f (x)嚴(yán)格增函數(shù)；如果f *(x)< 0,則f (x)嚴(yán)格減函數(shù)。2. 如果在(a, b)內(nèi)恒有f * (x) =0,那么f (x)在(a, b)內(nèi)是常數(shù)。3. f * (x) > 0是f (x)在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分而不必要條件。求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：1 .確定y二f (x)的定義域；2. 求導(dǎo)數(shù)f ' (x),求出f * (x) =0的根；3. 函數(shù)的無

5、定義點和f * (x) =0的根將f (x)的定義域分成若 干區(qū)間，列表考查這若干區(qū)間內(nèi)f ' (x)的符號，進而確定f(x)的單調(diào)區(qū)間。注意：A.如果一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不止一個，明|! 個這些單調(diào)區(qū)間不能用“U”連接，只能用逗號或“和”字隔 開。B. 求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時易忽視函數(shù)的定義域。應(yīng)優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域。二、函數(shù)的極值：1定義，設(shè)函數(shù)f (x)在點X。附近有定義，如果對X0附近的 所有點，都有f (x)< f (xo),則稱f (xo)是函數(shù)f(X)的一個極大值；如果對X0附近的所有點，都有f(X)> f (xo),則稱 f (xo)是函數(shù)f (x)的一個

6、極小值。極大值點、極小值點統(tǒng)稱極值 點，極大值和極小值統(tǒng)稱極值。2 判斷f(xo)是極大值或極小值的方法：第一步，確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)f * (x)；第二步，求方程f * (x) =0的根；第三步，檢查f ' (x)在f * (x) =0的根左右兩側(cè)的值的符 號1 如果“左正右負”，那么f(X)在這個根處取到極大值；2 如果“左負右正”,那么f (x)在這個根處取到極小值；3. 如果左右不改變符號，即都為正或都為負，則f (x)在這 個根處無極值。在此步聚中，最好利用方程f ' (x) =0的根，順次將函數(shù)的 定義區(qū)間分成若干個開區(qū)間，并列表，依表格內(nèi)容得出結(jié)論。函數(shù)在極值

7、點的導(dǎo)數(shù)為0,但導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值 點.如函數(shù)f (x) =x3,點x=0就不是極值點，但f ' (0)=0；函數(shù)的極大值不一定大于極小值;在給定的一個區(qū)間上.函數(shù)可能有若干個極值點, 也可能不存在極值點。三函數(shù)的最值:設(shè)函數(shù)yh (x)是定義在區(qū)間a, b上的函數(shù)，yh (x)在 區(qū)間(a, b)內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求y二f (x)在a, b上的最大值與最小 值，其步驟為：先求函數(shù)y=f (x)在(a, b)內(nèi)的極值；再將函數(shù)y=f (x)的 各極值與端點的函數(shù)值f (a)、f (b )比較，其中最大的一個是 最大值，最小的一個是最小值。如果在區(qū)間a, b上，函數(shù)yh (x)的圖象是一條

8、連續(xù)不 斷的曲線，則函數(shù)在a, b上一定能夠取得最大值和最小 值，并且函數(shù)的最值必在極值點或端點處取得。提示：1. 若函數(shù)yh (x)在區(qū)間a, b上單調(diào)遞增，則f (a)為最小值，f(b)為最大值；若若函數(shù)yh (x)在區(qū)間a, b上單調(diào)遞減，則f (a)為最 大值，f (b)為最小值。2. 圖象連續(xù)不斷的函數(shù)在開區(qū)間(a, b)上不一定有最大(小)值，如果 圖象連續(xù)不斷的函數(shù)在開區(qū)間(a, b)上只有一個極值，則該極值就是最值。3. 函數(shù)的極值不一定是最值，求函數(shù)的最值與函數(shù)的極值不同的是，在求 可導(dǎo)函數(shù)的最值時，不需要對各導(dǎo)數(shù)為0的點討論，其是極大值還是極小值， 只需將導(dǎo)數(shù)為0的點的函數(shù)

9、和端點函數(shù)值時行比較。在解決實際生活中優(yōu)化問題注意事項：1必須考慮是否符合實際意義2只 有一個點使f (x) =0的情形，如果在點有最大(小)值，不與端點比較也 能知道是最大(小)值。3不僅注意將問題涉及變量關(guān)系用函數(shù)關(guān)系表示出 來，而且還應(yīng)確定函數(shù)關(guān)系式中自變量的定義區(qū)間。四.定積分及應(yīng)用定積分定義：若函數(shù)yh (x)在區(qū)間a, b上連續(xù)用分點 a = xo < XJ < Xi - 1 Xi Xn=b,將區(qū)間a, b等分成 n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間x1, Xi上任取點§： (j=1, 2,3, “),作和式( 4 i)=(§i),當(dāng)too時，上述和式無限接近某

10、個常數(shù)，這個常數(shù)叫函數(shù)yh(x)在區(qū)間a, b上定積分，記作J：f (x) dxo即J：f (x) dx 二詛蟲斗“字f(J)其中f (x)叫做被積函數(shù)，a做積分下限，b做積分上限。定積分j：f (x) dx不是一個表達式，是一個常數(shù)。定積分幾何意義：從幾何上看，若函數(shù)yh (x)在區(qū)間a, b 上連續(xù)且恒有f (x)$ 0,那么定積分J：f (x) dx表示直線x二a,x二b (a =# b) , y二0和曲線y=f (x)所圍成的曲邊梯形的 面積；定積分性質(zhì)：J：kf (x) dx二kJ：f (x) dx(k為常數(shù))J：f (x)± g(x)dx二J：f (x) dx ±

11、; J：g (x) dx(x) dx = - J；f (x) dx以上是線性性質(zhì).下面是對區(qū)間可加性J；f (x) dx =J：f (x) dx +J；f (x) dx (a < b < c)微積分基本定理一一牛頓一萊布尼茲公式一般地，如果f (x)在區(qū)間a, b上的連續(xù)函數(shù)，并且F ' (x)= f (x),那么(x) dx = F (b) F (a) o定積分的簡單應(yīng)用：、求平面圖形面積的應(yīng)用1. 定積分與平面圖形面積的關(guān)系通過定積分運算可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可以取正也可以取負，也 可為0.(1 )當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于X軸上方，定積分值取正值，且 等于曲邊梯形的面積；(2) 當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于X軸下方，定積分值取負值，且 等于曲邊梯形面積的相反數(shù)；(3) 當(dāng)位于X軸上方的曲邊梯形的面積等于位于X軸下方的 曲邊梯形的面積時，定積分的值為0,且等于位于X軸上方的曲邊梯形的