萬有引力定律常見題型及針對性訓(xùn)練

1、萬有引力定律 常見題型及針對性訓(xùn)練、萬有引力定律:（1687 年）mim22r適用于兩個質(zhì)點(diǎn)或均勻球體；r為兩質(zhì)點(diǎn)或球心間的距離；G為萬有引力恒量（1798年由英國物理學(xué)家卡文迪許利用扭秤裝置測出）G = 6.67 10 J1 N m2/ kg2、萬有引力定律的應(yīng)用1 解題的相關(guān)知識:（1）在高考試題中，應(yīng)用萬有引力定律解題的知識常集中于兩點(diǎn)：一是天體運(yùn)動的向心2“2力來源于天體之間的萬有引力，即v4二m 丁 = m 一2- r = m - r ；二是地球?qū)ξ矬w的 rT萬有引力近似等于物體的重力，即(2)圓周運(yùn)動的有關(guān)公式:G mMR22兀- =, v= ，r。T, 2=mg從而得出GM =R

2、 g。討論:1)由 GMm r2v=m2rGMr越大，v越小。2)r越大，3越小。3)m j r可得:IT丿T =2 . r3GM r越大，T越大。4)ma向可得：a向r越大,ra向越小。萬有引力定律中兩個物體的距離，對于未特別說明的天體，都可認(rèn)為是均勻球體，則指的是兩個球心的距對于相距很遠(yuǎn)因而可以看作質(zhì)點(diǎn)的物體需要說明的是，就是指兩質(zhì)點(diǎn)的距離；離。人造衛(wèi)星及天體的運(yùn)動都近似為勻速圓周運(yùn)動。2常見題型萬有引力定律的應(yīng)用主要涉及幾個方面:（1）測天體的質(zhì)量及密度：（萬有引力全部提供向心力）Mm4:2r3GT2又 M - - R333-了323GT R【例1】中子星是恒星演化過程的一種可能結(jié)果，它

3、的密度很大。現(xiàn)有一中子星，觀測到1它的自轉(zhuǎn)周期為 T=s。問該中子星的最小密度應(yīng)是多少才能維持該星的穩(wěn)定，不致因自轉(zhuǎn)0而瓦解。計算時星體可視為均勻球體。（引力常數(shù)G=6.67 10 m3/kg.s2 ）解析：設(shè)想中子星赤道處一小塊物質(zhì)，只有當(dāng)它受到的萬有引力大于或等于它隨星體所需的向心力時，中子星才不會瓦解。設(shè)中子星的密度為：?，質(zhì)量為M，半徑為R,自轉(zhuǎn)角速度為-，位于赤道處的小物塊質(zhì)GMm 22 二43量為m，則有2 m RmR3R2T3由以上各式得匸二，代入數(shù)據(jù)解得：=1.27 1014kg/m3。GT2點(diǎn)評：在應(yīng)用萬有引力定律解題時，經(jīng)常需要像本題一樣先假設(shè)某處存在一個物體再分 析求解是

4、應(yīng)用萬有引力定律解題慣用的一種方法。（2）行星表面重力加速度、軌道重力加速度問題：（重力近似等于萬有引力）表面重力加速度:MmR2二 mg。 goGMR2軌道重力加速度:GMmEF ghGMR h 2【例2】一衛(wèi)星繞某行星做勻速圓周運(yùn)動，已知行星表面的重力加速度為go,行星的質(zhì)量M與衛(wèi)星的質(zhì)量 m之比M/m=81，行星的半徑Ro與衛(wèi)星的半徑 R之比R）/R= 3.6,行星與衛(wèi)星之間的距離r與行星的半徑 Ro之比r/Ro = 60。設(shè)衛(wèi)星表面的重力加速度為g，則在衛(wèi)星表面有GMm經(jīng)過計算得出：衛(wèi)星表面的重力加速度為行星表面的重力加速度的1/3600。上述結(jié)果是否正確？若正確，列式證明；若有錯誤，

5、求出正確結(jié)果。解析：題中所列關(guān)于g的表達(dá)式并不是衛(wèi)星表面的重力加速度，而是衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運(yùn)動的向心加速度。正確的解法是Gm一 亠 GMR0 2 m g衛(wèi)星表面 =g 行星表面 2 =g0 即（）=-R2R°R M g°即 g =0.16g°。（3）人造衛(wèi)星、宇宙速度：人造衛(wèi)星分類（略）：其中重點(diǎn)了解同步衛(wèi)星宇宙速度：（弄清第一宇宙速度與發(fā)衛(wèi)星發(fā)射速度的區(qū)別）【例3】我國自行研制的“風(fēng)云一號”、“風(fēng)云二號”氣象衛(wèi)星運(yùn)行的軌道是不同的?！疤枴笔菢O地圓形軌道衛(wèi)星。其軌道平面與赤道平面垂直，周期是12h; “二號”是地球同步衛(wèi)星。兩顆衛(wèi)星相比 號離地面較高； _ 號

6、觀察范圍較大； 號運(yùn)行速度較大。若某天上午8點(diǎn)“風(fēng)云一號”正好通過某城市的上空，那么下一次它通過該城市上空的時刻將解析：根據(jù)周期公式丁=2兀爵知，高度越大，周期越大，則“風(fēng)云二號”氣象衛(wèi)星離地面較高；根據(jù)運(yùn)行軌道的特點(diǎn)知，“風(fēng)云一號” 觀察范圍較大；根據(jù)運(yùn)行速度公式 v=GM 知，高度越小，速度越大，則“風(fēng)云一號”運(yùn)行速度較大，由于“風(fēng)云一號”衛(wèi)星的周期是12h,每天能對同一地區(qū)進(jìn)行兩次觀測，在這種軌道上運(yùn)動的衛(wèi)星通過任意緯度的地方時時間 保持不變。則下一次它通過該城市上空的時刻將是第二天上午8點(diǎn)?！纠?】可發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，使其圓軌道滿足下列條件（）A、與地球表面上某一緯度線（非赤道）是共面

7、的同心圓B、與地球表面上某一經(jīng)度線是共面的同心圓C、 與地球表面上的赤道線是共面同心圓，且衛(wèi)星相對地面是運(yùn)動的D、 與地球表面上的赤道線是共面同心圓，且衛(wèi)星相對地面是靜止的解析：衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的向心力由萬有引力提供，且萬有引力始終指向地心，因此衛(wèi)星的軌道不可能與地球表面上某一緯度線（非赤道）是共面的同心圓，故A是錯誤的。由于地球在不停的自轉(zhuǎn)，即使是極地衛(wèi)星的軌道也不可能與任一條經(jīng)度線是共面的同心圓，故B是錯誤的。赤道上的衛(wèi)星除通信衛(wèi)星采用地球靜止軌道外，其它衛(wèi)星相對地球表面都是運(yùn)動的，故C、D是正確的?！纠?】偵察衛(wèi)星在通過地球兩極上的圓軌道上運(yùn)行，它的運(yùn)行軌道距地面高度為h,要使衛(wèi)星在一天的

8、時間內(nèi)將地面上赤道各處在日照條件的情況下全都拍攝下來，衛(wèi)星在通過赤道上空時，衛(wèi)星上的攝像機(jī)至少應(yīng)拍攝地面上赤道圓周的弧長是多少？設(shè)地球半徑為R，地面處的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為 T。解析：如果周期是12小時，每天能對同一地區(qū)進(jìn)行兩次觀測。如果周期是6小時，每天能對同一緯度的地方進(jìn)行四次觀測。如果周期是 2小時，每天能對同一緯度的地方進(jìn)行 n次 觀測。設(shè)上星運(yùn)行周期為Mm(h R)24 2(h R)物體處在地面上時有GMm0R2解得:在一天內(nèi)衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為，即在日照條件下有TiT次經(jīng)過赤道上空,Ti所以每次攝像機(jī)拍攝的赤道弧長為將Ti結(jié)果代入得4二2 (h R)3T , gTi【

9、例6】在地球（看作質(zhì)量均勻分布的球體）上空有許多同步衛(wèi)星，下面說法中正確的是（ ）A .它們的質(zhì)量可能不同B .它們的速度可能不同C.它們的向心加速度可能不同D.它們離地心的距離可能不同解析：同步衛(wèi)星繞地球近似作勻速圓周運(yùn)動所需的向心力由同步衛(wèi)星的地球間的萬有引力 提供。設(shè)地球的質(zhì)量為 M，同步衛(wèi)星的質(zhì)量為 m,地球半徑為R,同步衛(wèi)星距離地面的高度為2 I 2h，由F引=F向，GmM=m 4 2 ( R+h)得：h= 3 GMT R，可見同步衛(wèi)星離地心的距 (R+h)2TV離是一定的。,-mMv2 /白:GM、由G=m 得：v= ，所以同步衛(wèi)星的速度相同。(R h)2R hR h由g mM =

10、ma得：a= G一M即同步衛(wèi)星的向心加速度相同。(R h)2(R h)2由以上各式均可看出地球同步衛(wèi)星的除質(zhì)量可以不同外，其它物理量值都應(yīng)是固定的。 所以正確選項(xiàng)為A。點(diǎn)評：需要特別提出的是：地球同步衛(wèi)星的有關(guān)知識必須引起高度重視，因?yàn)樵诟呖荚囶}中多次出現(xiàn)。所謂地球同步衛(wèi)星，是相對地面靜止的且和地球有相同周期、角速度的衛(wèi)星。其運(yùn)行軌道與赤道平面重合?！纠?】地球同步衛(wèi)星到地心的距離r可由r3a2b2c求出，已知式中a的單位是m，b的單位是s, c的單位是m/s2，則：A . a是地球半徑，b是地球自轉(zhuǎn)的周期，C是地球表面處的重力加速度；B . a是地球半徑。b是同步衛(wèi)星繞地心運(yùn)動的周期，C是同

11、步衛(wèi)星的加速度；C. a是赤道周長，b是地球自轉(zhuǎn)周期，C是同步衛(wèi)星的加速度D . a是地球半徑，b是冋步衛(wèi)星繞地心運(yùn)動的周期，C是地球表面處的重力加速度。再將其與題給表達(dá)式中各項(xiàng)解析：由萬有引力定律導(dǎo)出人造地球衛(wèi)星運(yùn)轉(zhuǎn)半徑的表達(dá)式, 對比，以明確式中各項(xiàng)的物理意義。AD正確?！纠?】我國自制新型“長征”運(yùn)載火箭，將模擬載人航天試驗(yàn)飛船“神舟三號”送入預(yù) 定軌道，飛船繞地球遨游太空t = 7天后又順利返回地面。飛船在運(yùn)動過程中進(jìn)行了預(yù)定的空間科學(xué)實(shí)驗(yàn)，獲得圓滿成功。設(shè)飛船軌道離地高度為 h,地球半徑為R,地面重力加速度為 g.則"神舟三號”飛船繞 地球正常運(yùn)轉(zhuǎn)多少圈?(用給定字母表示)

12、：若h= 600 km , R= 6400 km，則圈數(shù)為多少解析：(i)在軌道上GmMv2 金2 = m(R h)2R h2二(R h) v=T在地球表面：GmM=mgR2聯(lián)立式得："竿嚴(yán)J故n=tR g2二(R h) R h代人數(shù)據(jù)得：n=105圈(4) 雙星問題：【例9】兩個星球組成雙星，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動?，F(xiàn)測得兩星中心距離為R,其運(yùn)動周期為 T,求兩星的總質(zhì)量。解析：設(shè)兩星質(zhì)量分別為 M!和M2,都繞連線上 O點(diǎn)作周期為T的圓周運(yùn)動，星球1和星球2到O的距離分別為li和由萬有引力定律和牛頓第二定律及幾何條件可得Mi：G M

13、iM 2 R22 二=Mi ()Tli二 M2 =4二作2”GT2對 M2： G MiM 2 = M2 ( ) 2 12R2T42r2I2GT2兩式相加得Mi + M 2 =4:2r2GT2(li+ I2)42R3GT2(5) 有關(guān)航天問題的分析:【例10】無人飛船“神州二號”曾在離地高度為H = 3. 4 105m的圓軌道上運(yùn)行了 47小時。求在這段時間內(nèi)它繞行地球多少圈？（地球半徑R=6.37 106m，重力加速度g= 9.8m/s2）解析：用r表示飛船圓軌道半徑 r=H+ R=6. 71 106m 。M表示地球質(zhì)量，m表示飛船質(zhì)量， 表示飛船繞地球運(yùn)行的角速度，G表示萬有引力利用G =

14、g得R2gR2r32由于 =, T表示周期。解得T常數(shù)。由萬有引力定律和牛頓定律得GMm2m zrr22 r 1 rtT=，又n= 代入數(shù)值解得繞行圈數(shù)為n=31。R gT【例11】2003年10月16日北京時間6時34分，中國首位航天員楊利偉乘坐“神舟”五號飛船在內(nèi)蒙古中部地區(qū)成功著陸，中國首次載人航天飛行任務(wù)獲得圓滿成功。中國由此成為世界上繼俄、美之后第三個有能力將航天員送上太空的國家。據(jù)報道，中國首位航天員楊利偉乘坐的“神舟”五號載人飛船，于北京時間十月十五日九時，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用“長征二 號F”型運(yùn)載火箭發(fā)射升空。此后，飛船按照預(yù)定軌道環(huán)繞地球十四圈，在太空飛行約二十一 小時，若其

15、運(yùn)動可近似認(rèn)為是勻速圓周運(yùn)動，飛船距地面高度約為 340千米，已知萬有引力常量為G=6.67 X 1011牛米2/千克2,地球半徑約為 6400千米，且地球可視為均勻球體，則試 根據(jù)以上條件估算地球的密度。（結(jié)果保留1位有效數(shù)學(xué)）解析：設(shè)地球半么為 R,地球質(zhì)量為 M，地球密度為p ;飛船距地面高度為 h,運(yùn)行周期 為T,飛船質(zhì)量為m。據(jù)題意題 T21 36°° s=5400sn 14飛船沿軌道運(yùn)行時有mM(R h)224 m(R h)43而 M =VR333由式得:(_3"R h)gt2r3代入數(shù)據(jù)解得:6 103 kg/m33 3.14 (6400 10334

16、0 103)36.67 101 54002 (6400 103)3(6) 天體問題為背景的信息給予題近兩年，以天體問題為背景的信息給予題在全國各類高考試卷中頻頻出現(xiàn)，不僅考查學(xué)生對知識的掌握，而且考查考生從材料、 信息中獲取有用信息以及綜合能力。這類題目一般由兩部分組成：信息給予部分和問題部分。信息給予部分是向?qū)W生提供解題信息，包括文字?jǐn)⑹觥?數(shù)據(jù)等，內(nèi)容是物理學(xué)研究的概念、定律、規(guī)律等，問題部分是圍繞信息給予部分來展開，考 查學(xué)生能否從信息給予部分獲得有用信息，以及能否遷移到回答的問題中來。從題目中提煉有效信息是解決此類問題的關(guān)鍵所在?！纠?2】 地球質(zhì)量為M，半徑為R,自轉(zhuǎn)角速度為 。萬有

17、引力恒量為 G,如果規(guī)定物 體在離地球無窮遠(yuǎn)處勢能為0,則質(zhì)量為m的物體離地心距離為 r時，具有的萬有引力勢能可表示為Ep二-GMm。國際空間站是迄今世界上最大的航天工程，它是在地球大氣層上空繞r地球飛行的一個巨大人造天體，可供宇航員在其上居住和科學(xué)實(shí)驗(yàn)。設(shè)空間站離地面高度為 h，如果雜該空間站上直接發(fā)射一顆質(zhì)量為m的小衛(wèi)星，使其能到達(dá)地球同步衛(wèi)星軌道并能在軌道上正常運(yùn)行，由該衛(wèi)星在離開空間站時必須具有多大的動能？解析：由GM)mr得,衛(wèi)星在空間站上動能為Ek1 2mv2Mm2(R h)衛(wèi)星在空間站上的引力勢能為EpMm(R h)機(jī)械能為E1 =Ek EpMm2(R h)故其軌道半徑r同步衛(wèi)星

18、在軌道上正常運(yùn)行時有由上式可得同步衛(wèi)星的機(jī)械能£2詈新3心八2E2設(shè)離開航天飛機(jī)時衛(wèi)星運(yùn)動過程中機(jī)械能守恒，故離開航天飛機(jī)的衛(wèi)星的機(jī)械能應(yīng)為衛(wèi)星的動能為Ekx則Ekx=E2-Ep= -丄口'-.G2M2.2 0衛(wèi)巴p 2R +h【例13】1997年8月26日在日本舉行的國際學(xué)術(shù)大會上，德國Max Planek學(xué)會的一個研究組宣布了他們的研究成果：銀河系的中心可能存在大黑洞，他們的根據(jù)是用口徑為 3.5m 的天文望遠(yuǎn)鏡對獵戶座中位于銀河系中心附近的星體進(jìn)行近六年的觀測所得的數(shù)據(jù)。他們發(fā) 現(xiàn)，距離銀河系中約60億千米的星體正以 2000km/s的速度圍繞銀河系中心旋轉(zhuǎn)。根據(jù)上面數(shù)

19、 據(jù)，試在經(jīng)典力學(xué)的范圍內(nèi)（見提示2）通過計算確認(rèn)，如果銀河系中心確實(shí)存在黑洞的話，其最大半徑是多少？（引力常數(shù)是G= 6.67X 10 2°km3 kg 1s 2）解析：表面上的所有物質(zhì)， 即使速度等于光速 c也逃脫不了其引力的作用。本題的題源背景是銀河系中心的黑洞，而題目的“提示”內(nèi)容則給出了本題的基本原理：（1）它是一個“密度極大的天體”，表面引力強(qiáng)到“包括光在內(nèi)的所有物質(zhì)都逃脫不了其引力的作用”，（2）計算采用“拉普拉斯黑洞模型”。這些描繪當(dāng)代前沿科學(xué)的詞匯令人耳目一新，讓人感到高深莫測。但是反復(fù)揣摩提示就會看到，這些詞句恰恰是本題的“眼”，我們據(jù)此可建立起“天體環(huán)繞運(yùn)動模型

20、”，且可用光速c作為“第一宇宙速度”來進(jìn)行計算。M，繞其旋轉(zhuǎn)的星體質(zhì)量為m,星體做勻速圓周運(yùn)動,R= 2.67 X 105km設(shè)位于銀河系中心的黑洞質(zhì)量為Mmv2貝U有：G =mrr根據(jù)拉普拉斯黑洞模型有:Mm c2G =m聯(lián)立上述兩式并代入相關(guān)數(shù)據(jù)可得:R2R三、針對訓(xùn)練1 利用下列哪組數(shù)據(jù)，可以計算出地球質(zhì)量：（）A .已知地球半徑和地面重力加速度B .已知衛(wèi)星繞地球作勻速圓周運(yùn)動的軌道半徑和周期C.已知月球繞地球作勻速圓周運(yùn)動的周期和月球質(zhì)量D .已知同步衛(wèi)星離地面高度和地球自轉(zhuǎn)周期A、B兩顆天體各有一顆靠近表面2. “探路者”號宇宙飛船在宇宙深處飛行過程中，發(fā)現(xiàn)飛行的衛(wèi)星，并測得兩顆衛(wèi)

21、星的周期相等，以下判斷錯誤的是A .天體A、B表面的重力加速度與它們的半徑成正比B 兩顆衛(wèi)星的線速度一定相等C.天體A、B的質(zhì)量可能相等D .天體A、B的密度一定相等3. 已知某天體的第一宇宙速度為8 km/s，則高度為該天體半徑的宇宙飛船的運(yùn)行速度為A . 2 , 2 km/sB . 4 km/sC. 4、2 km/sD . 8 km/s4. 探測器探測到土星外層上有一個環(huán).為了判斷它是土星的一部分還是土星的衛(wèi)星群，可以測量環(huán)中各層的線速度v與該層到土星中心的距離R之間的關(guān)系來確定A .若vx R,則該環(huán)是土星的一部分B .若v2x R,則該環(huán)是土星的衛(wèi)星群C.若vx 1/R,則該環(huán)是土星的

22、一部分D .若v2x 1/R,則該環(huán)是土星的衛(wèi)星群5. 2002年12月30日凌晨，我國的“神舟”四號飛船在酒泉載人航天發(fā)射場發(fā)射升空， 按預(yù)定計劃在太空飛行了 6天零18個小時，環(huán)繞地球108圈后，在內(nèi)蒙古中部地區(qū)準(zhǔn)確著陸, 圓滿完成了空間科學(xué)和技術(shù)試驗(yàn)任務(wù)，為最終實(shí)現(xiàn)載人飛行奠定了堅實(shí)基礎(chǔ)若地球的質(zhì)量、半徑和引力常量 G均已知，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可估算出“神舟”四號飛船的A.離地高度B.環(huán)繞速度C.發(fā)射速度D.所受的向心力6. 航天技術(shù)的不斷發(fā)展，為人類探索宇宙創(chuàng)造了條件.1998年1月發(fā)射的“月球勘探者號” 空間探測器，運(yùn)用最新科技手段對月球進(jìn)行近距離勘探，在月球重力分布、 磁場分布及元素測定

23、等方面取得最新成果探測器在一些環(huán)形山中央發(fā)現(xiàn)了質(zhì)量密集區(qū)，當(dāng)飛越這些重力異常區(qū) 域時A .探測器受到的月球?qū)λ娜f有引力將變大B 探測器運(yùn)行的軌道半徑將變大C.探測器飛行的速率將變大D 探測器飛行的速率將變小7. (1998年全國卷)宇航員站在某一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一小球。經(jīng) 過時間t，小球落到星球表面，測得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為L。若拋出時的初速度增大到2倍，則拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為,3 L。已知兩落地點(diǎn)在同一水平面上，該星球的半徑為R,萬有引力常數(shù)為 G。求該星球的質(zhì)量 M。&我國自制新型“長征”運(yùn)載火箭，將模擬載人航天試驗(yàn)飛船“神舟三號”送入預(yù)定軌 道，飛船繞地球遨游太空 t=7天后又順利返回地面飛船在運(yùn)動過程中進(jìn)行了預(yù)定的空間科學(xué) 實(shí)驗(yàn)，獲得圓滿成功。(1) 設(shè)飛船軌道離地高度為h,地球半徑為 R,地面重力加速度為 g.則“神舟三號”飛 船繞地球正常運(yùn)轉(zhuǎn)多少圈 ？(用給定字母表示).(2) 若h = 600 km