第11章穩(wěn)恒電流磁場

1、11-1 求圖中各種情況下O 點處的磁感應強度B 。解：（a）連接 A 和 D 兩點，電流 a 可以看成是由直線電流和矩形電流合成的。直線電流在 O 點產生的磁感應強度0I / (2 (a/ 2)，方向垂直紙面向外。矩形電流由兩條長度為a、兩條長度為 b 的直線電流組成， 在 O 點產生的磁感應強度為：20 Isin( / 2) sin(/2) 20 Isin(/ 2)sin(/ 2)4 (a/ 2)4 (b / 2)2 0 I s i n (/ 2)2 0I s i n (/ 2)2 0 Ibb22 0 Iaabaa2ba2b22 0 I( ba ) 方向垂直紙面向內。a 2b2 abO 點

2、的磁感應強度為： B0 I20 I( ba )0 I20 Ia 2b 2aa 2b2abaab（ b）電流 b 由兩條直線電流和一個圓弧電流組成：B0I 13520 I3 0 I0 I0.350 I2R 360(sin 90 sin 0)16 R2 RR4 R（ c）電流 c 中兩條直線電流的延長線都過圓心，由畢 -薩定律知道在圓心處產生的磁感應強度為 0，圓弧產生的磁感應強度為B0 I 1l10 I 2l 22R2R2R2 R由于兩端的電壓相同，有l(wèi)1l 2VSI 1S I 2 帶入上式得到 B=011-2如圖所示，一扇形薄片，半徑為R ，張角為，其上均勻分布正電荷，電荷密度為，薄片繞過角頂

3、O 點且垂直于薄片的軸轉動，角速度為，求 O 點處的磁感應強度。解答 1：將扇形薄片分割成半徑為r 的圓弧形面積元，電荷量為：dqrdr轉動時相當于園電流，對應的電流強度為：dqrdrdI2 /rdrT2產生的磁場為 dB0 dI0dr2r4R圓心處的磁場為 B40 dr0R04解答 2：以 o 為圓心，采用極坐標系將扇形薄片分割成小的面積元dqdsrd dr利用運動電荷產生磁場的公式dB0dqv0rd drr0d dr4r 24r 24RR對上式積分得： B0d dr0ddr04440011-3 在半徑 R1.0cm 的無限長半圓柱形金屬薄片中，自下而上地通有電流I 5.0 A ，求圓柱軸線

4、上任一點 P 處的磁感應強度。（這里把自上而下改為自下而上，求解時對應右圖。如不改時方向相反。）解：從電流的頂上看是個半圓形， 在其上取一段圓?。▽谝粺o限長載流直導線） ，電流強度為：dIIRdIdR產生的磁場方向如圖，由此可見合磁場方向沿水平向右為：dBx0 dI0 Idcos(/ 2)0 Id2 R2 2 Rsin2 2 R磁感應強度為：B Bx0 Idsin20 I0 I=6.37×10-5T 方向沿 x 軸正向。02 2 R2 R 02 R11-4 圖中所示為實驗室中用來產生均勻磁場的亥姆霍茲圈。它由兩個完全相同的匝數(shù)為 N 的共軸密繞短線圈組成（N 匝線圈可近似視為在同

5、一平面內） 。兩線圈中心 O1 , O2 間的距離等于線圈半徑R ，載有同向平行電流J。以 O1, O2 連線中點為坐標原點，求軸線上在 O1 和 O2之間、坐標為 x 的任一點 P 處的磁感應強度 B的大小，并算出 B0、B01、B02 進行比較。解：由圓電流在軸線上一點的磁感應強度公式：B0 IR22(R2x2 )3 / 22線圈 1 產生的磁感應強度B10NIR2(R2( xR/ 2)2)3/22線圈 2 產生的磁感應強度B20NI R2(R2( xR/2)2 )3/2B02B1(R20NIR 20 NI0.7150 NIx 0(R/ 2)2)3/2(5/4)3/2RRB01B020 N

6、I0 NIR20NI113/2 )0.6780 NI2R2(R22)3 / 2(22(2)RRR兩個圓環(huán)之間的磁場變化緩慢。11-5 有一半徑為 R 的半圓形電流，求在過圓心O 垂直于圓面的軸線上離圓心距離為x 處 P 點的磁感應強度。解：如右圖利用畢 -薩定律分析可知z 方向的 B 分量為 0：dB0 IRd4r 2x 軸分量為： dBx0 IRdcos(/ 2)0 IRdsin4r 24 r 2/ 20 IRd0 IR0 IR2Bxcos(/ 2)sin4 r24r24r3/ 2y 軸分量為：dBy0 IRdsin(/ 2) cos0 IRdcoscos0 IRdx222cos4 r4 r

7、4 rrBy/ 20 IRdxcos0 IRx/ 20 IRx/ 2 4 r 2r4 r 3cos d2r 3/ 2B0IR 2i0 IRx這里rR2x2是圓環(huán)到軸線的距離。4r32 r3 j11-6 半徑為 R 的均勻帶電球面的電勢為U ，圓球繞其直徑以角速度轉動，求球心處的磁感應強度。解：由球面的電勢表示式Uq40 R得到球面電荷量 q40 RU電荷面密度q0U4 R 2R取球坐標系，將圓球分割成圓環(huán)，圓環(huán)帶電量為dq2 R sinRd圓環(huán)轉動產生的等效電流為dIdq2 R sinRdR 2 sindT2 /利用圓電流軸線上一點的磁感應強度公式，得到分割出的圓環(huán)在圓心處產生的磁場的磁感應強

8、度為dB0 (R2 sin d)( Rsin) 20R sin 3d2(Rsin)2( R cos)2 3/22（本題中圓環(huán)半徑為 rR sin，待求點球心到圓環(huán)中心的距離為yR cos ）B0R3d0Rsin3d0R(12)d cos2sin22cos0000R1cos3)0R2(11)2R2U(cos200 023033311-7地球上某處的磁感應強度水平分量為1.7 10 5 T ，試計算該處沿水平方向的磁場強度。解：H1.710 513.5A/ mB410 7011-8 螺線環(huán)中心周長l10cm ，環(huán)上線圈匝數(shù)N200 匝，線圈中通有電流I 100mA 。（1）求管內的磁感應強度 B

9、，及磁場強度 H ；（ 2）若管內充滿相對磁導率 r 4200 的鐵磁質時，管內的磁感應強度和磁場強度為多大 ?（3）鐵磁質內由傳導電流 I 產生的磁場 B ，與由磁化電流產生的磁場B' 各為多大 ?解：（ 1）由安培環(huán)路定律HdlI ii選擇螺線環(huán)中心為環(huán)路路徑：Hdl HlNI得到磁場強度NI2000.1H200 A / ml0.1磁感應強度B00 NI410 72002.5 10 4Tl（ 2）管內充滿相對磁導率r4200的鐵磁質時磁場強度不變，磁感應強度為Br 0 NI4200 2.5 10 41.06Tl（ 3）傳導電流 I 產生的磁場 B0 為： B00 NI2.5 10

10、4Tl磁化電流產生的磁場 B' 為： B' B B01.06T11-9 在半徑為 R 的長圓柱導體內與軸線平行地挖去一個半徑為r 的圓柱形空腔兩圓柱形軸線之間的距離為d (dr ) 。電流 I 在截面內均勻分布，方向平行于軸線。求： （1）實心圓柱軸線上磁感應強度的大小；（2）空心部分中任一點的磁感應強度。解：（1）這個電流可以看成是：在空腔內補上同樣電流密度的電流，在于同一位置再加上一條方向相反的電流，這時磁場是這兩個電流各自產生的磁場的矢量和。柱體的電流密度為I。在實心圓柱軸線上大圓柱產生的磁感應強j(R2r 2 )度為 0，小圓柱產生的磁感應強度由安培環(huán)路定律求解。B d

11、l B 2 d0 j r 2求得： B0 jr20 Ir 2r 2 )2d2 d (R2（ 2）空心部分的磁感應強度由大圓柱與小圓柱各自產生的磁感應強度的矢量和。大圓柱產生的磁感應強度由安培環(huán)路定律求解B1dl B12 r10 j r12得到B110 j r12同樣可得小圓柱的磁感應強度B21j r202如下圖，合場強為：B B1B21(sinicosj )1j r2(sinicosj )0 j r12021yx10 j r2 (ydx10 j r1 (ij )2ij )0 jd j2r1r1r2r220 Idj2 ( R22r)11-10、半徑為 R 的無限長半圓柱形金屬棒中，通有自下而上沿

12、長度方向電流I，且橫截面上電流分布均勻。試求該半圓柱軸線上的磁感應強度。解：電流密度： jI2I2 / 2R2R利用 11-3 的結果，磁感應強度在 x 軸方向，選擇如右圖所示的半圓弧電流元 dI j rdr在圓心處產生的磁感應強度為：dB0 dI0 jrdr0 jdr2 r2 rR0 jR20 IB0 jd r02 R11-11 根據(jù)安培環(huán)路定理 B dl0 I ， 求得磁感應強度為：0 Ir2 ( rR)2RB方向垂直紙面向里，取矩形法線方向為垂直紙面向里0 I (r2R)rR2 R0 I ln 2B dS0 Irdr0 Idr0 I0 2R2R 2 r4211-12 把圓盤割成許多圓環(huán)，

13、其中對單個小圓環(huán)，設它的半徑為r ，寬為 dr ，帶電為 dq ，則dq2rdrdIdqrdrdmr 3drdtRRr 3drR4 drkr5mdm則整個圓盤的磁矩為00k r垂直紙面向05外，所以Mkr 5B平行于紙面且垂直于 B 向上511-13 據(jù)霍爾效應 V RHIB1 IB2.53 10 5 (V )bqn b電場強度EV2.5310a2.01051.27 10 3( N.C 1)211-14U AA'3，說明A端電勢比 電勢高，A端積累正電荷、 端6.65 10 VAA積累負電荷。根據(jù)洛侖茲力公式FqvB ，可以判斷這塊導體的載流子帶負電荷，所以這塊導體是n 型。又IB1

14、IBIB203RH bbqU A A ， 帶入數(shù)據(jù)，得 n2.82 10( m )U A Aqn bn11-15 ：由安培力公式可知，當兩條導線電流方向相同時，兩導線相互吸引，如下圖，導線 2對導線 1單位長度的引力的大小為： f 120I1I 20I 22r2，導線 3對導線 1單位a長度的引力 f130 I 2，引力 f13和 f12 正好在等邊三角形2a的兩條邊上，它們之間的夾角為600 ，而且在數(shù)值上大小相等，所以合力的大小為f1 f13 cos30 0f 12 cos3000 I 2cos3003.46 10 4 N / cm 方向如圖a11-16. 在線圈的上下兩段弧da 和 bc

15、 上，因長直電流 I1產生的磁場與和電流I 2 方向平行，所以圓弧da 和 bc受力為零。長直電流 I 1 在線圈的直線部ab 和 cd 處產生的磁場的方向別沿著 y 軸的正向和負向，磁感應強度的大小為 B0I1。因此，作用在線圈上的合力為2 RF2I 2 h 0 I19.33 10 4 N 沿著 x 軸負向2R11-17.載流導線中兩段直線部分所受安培力大小相等，方向相反，兩力平衡。整個載流導線受力就是半圓形導線所受的磁場力。我們知道，載流導線在勻強磁場中受力，等于從起點到終點連接的一根直導線通過相同電流時受到的磁場力。因此整個載流導線受力的大小為F2BIR ,方向豎直朝上。11-18 載流

16、的半圓形鉛絲環(huán)受到磁力的大小為：F IDB,沿著水平向右，用 T表示圓弧兩端 a，b 受到另外半圓弧的張力，在平衡時有：2TF0TFBIR 1.07.0 0.050.35 N2相應的拉應力為： fT0.355 10 5 N m 2S0.7 10 611.19 矩形回路的上下兩段導線所受安培力F1 , F2 的矢量和為零，則回路所受的總安培力等于左右兩段所受的安培力F3 , F4 的矢量和，它的大小為FF3F40I 2 I 1l0 I 2 I1l0 I 2 I1lb1.28 10 3 N2 d2 ( d b)2 (d b)方向水平向左。11-20 金屬圓環(huán)徑向電阻R2RR1drln R2，徑向電

17、流 I2 d。Rln R2 R12 rd 2 d R1金屬環(huán)受到的磁力矩，等于沿徑向電流所受的安培力的力矩之和。 在 d范圍內圓 環(huán) 上 r到 rdr 處 的 小 電 流 元 為dIIIrdd ，該電流元所受的安2r2培力為 BdIdr ，對轉軸的力矩為 rBdIdr，因此圓環(huán)所受安培力矩為MrBdIdrBdR2rdrdBd( R22R12 )2ln( R2 R1 ) R10ln( R2R1)方向垂直紙面朝外。IR211-21線圈的磁矩為 mIS2方向垂直紙面朝里，與B 垂直。因此，線圈所受的磁力矩的大小為：M mBBI R27.85 10 2 N m 磁力矩的方向為豎直向下。211-22 假

18、設摩擦力足夠大， 圓柱不向下滑動。重力繞過切點 0 的軸的力矩為：M gmgr sin繞組所受的磁力矩M mmgRsinNIB 2Rl sin磁力矩應大于或等于重力矩，圓柱才不至于沿斜面向下滾動，即M mM gNIB 2Rl sinmgRsinmg2.45 AI2BNl11-23 因為 dR , 則通有電流 I 的長直導線在小線圈位置的磁感應強度近似為B0 I2 d方向垂直紙面朝外。線圈正法線方向與B 的方向成角時，線圈所受磁力矩為MIR2B sin線圈平面轉至與紙面重疊時， 線圈正法線方向與B 的夾角減為 0。轉動方向與的增加方向相反，因此磁力做功為AM ( d )I R20I sindI R2 0 I (1 cos 0 )00002d2d由剛體轉動動能定理 A1 J2（其中 J1 mR2 ），有22I R20I (1cos 0 )1 mR2 22d422 0II0 )(1 cosmd11-24 在離子加速過程中，由動能定理知qU1mv22離子在磁場中受洛倫茲力作圓周運動時， 由牛頓定律知v2qvB m聯(lián)立上面兩x / 2式可證。僅供個人用于學習