2018版高中數(shù)學(xué)第二章函數(shù)2.2函數(shù)的表示法學(xué)案北師大版必修1

1、2. 2 函數(shù)的表示法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖像法、列表法（重點）；2.會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)；3. 了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用（重、難點）.|謙前預(yù)習(xí)自 4 學(xué)習(xí).積淀基訕預(yù)習(xí)教材 P28-31 完成下列問題：知識點一函數(shù)的三種表示方法表示法定義解析法用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系圖像法用圖像表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系列表法列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系【預(yù)習(xí)評價】1.函數(shù)的三種表示方法各有什么優(yōu)、缺點?提示 三種表示方法的優(yōu)、缺點比較：優(yōu)點缺點解析法1簡明、全面地概括了變量間的關(guān)系；2可以通過解析式求出任意一個自變量所對應(yīng)的函數(shù)值不

2、夠形象、直觀列表法不通過計算就可以直接看出與自變量的值相對應(yīng)的函數(shù)值一般只能表示部分自變量的函數(shù)值圖像法直觀、形象地表示出函數(shù)的變化情況， 有利于通過圖形研究函數(shù)的某些性質(zhì)只能近似地求出自變量所對應(yīng)的函數(shù) 值，有時誤差較大2.任何一個函數(shù)都可以用解析法、列表法、圖像法三種形式表示嗎？提示不一定.并不是所有的函數(shù)都可以用解析式表示，不僅如此，圖像法也不適用于所有函數(shù)，如0,x QQx） =列表法雖在理論上適用于所有函數(shù)，但對于自變量有無數(shù)個取值的情1,x ?RQ況，列表法只能表示函數(shù)的一個概況或片段.知識點二分段函數(shù)有些函數(shù)在它的定義域中， 對于自變量x的不同取值，對應(yīng)關(guān)系也不同，這樣的函數(shù)通

3、常稱為分段函數(shù).【預(yù)習(xí)評價】分段函數(shù)的定義域和值域是如何確定的？2提示 分段函數(shù)是一類特殊的函數(shù)， 其解析式是由幾個不同的式子構(gòu)成，它們合為一個3(1)y=x+ 1(x Z)；y=x2 2x(x 0,3).解(1)這個函數(shù)的圖像由一些點組成，這些點都在直線y=x+ 1 上，如圖(1)所示.如圖所示.的定義域，再在定義域內(nèi)化簡函數(shù)解析式，再列表畫出圖像.2函數(shù)的圖像可能是平滑的曲線，也可能是一群孤立的點，畫圖時要注意關(guān)鍵點，如圖像與坐標(biāo)軸的交點、 區(qū)間端點，二次函數(shù)的頂點等等, 空心點.【訓(xùn)練 1】 作出下列函數(shù)的圖像.(1)y=x+1(xw0);2(2)y=x 2x(x1，或x1,或x 1)是

4、拋物線分后剩余曲線如圖(2).題型二列表法表示函數(shù)因為 Owx3,所以這個函數(shù)的圖像是拋物線y=x2 2x介于 Owxg(f(x)的解為x= 2.答案 12規(guī)律方法 解決此類問題關(guān)鍵在于弄清每個表格表示的函數(shù).對于f(g(x)這類函數(shù)值的求解應(yīng)從內(nèi)到外逐層解決，而求解不等式，則可分類討論或列表解決.【訓(xùn)練 2】已知函數(shù)f(x),g(x)分別由下表給出x123f(x)211x123g(x)321(1)f(g(i) =_;若g(f(x) = 2,貝y x=_.解析 (1)由表知g(i) = 3,-f(g(i) =f(3) = 1;(2) 由表知g(2) = 2，又g(f(x) = 2,得f(x)

5、= 2，再由表知x= 1.答案(1)1(2)1題型三待定系數(shù)法求函數(shù)解析式【例 3】(1)已知f(x)是一次函數(shù)，且f(f(x) = 4x 1,求f(x);(2)已知二次函數(shù)f(x) =ax2+bx+c,若f(0) = 0,且f(x+1) =f(x) +x+1,求此二次函數(shù)f(x)的解析式.解(1)vf(x)是一次函數(shù)，.設(shè)f(x) =ax+b(a0)，則f(f(x) =f(ax+b) =a(ax2+b) +b=a x+ab+b.2又vf(f(x) = 4x 1，二a x+ab+b= 4x 1,a2= 4,a=2,a= 2 ,解得丫1或 Lab+b= 1,皆1|b= 1.61 f(x) = 2

6、x 3 或f(x) = 2x+ 1 .3 f(0) = 0, c= 0,f(x) =ax2+bx,/f(x+ 1) =f(x) +x+ 1,當(dāng)x= 0, 有f(1) =f(0) + 1= 1，即a+b= 1.當(dāng)x= 1 時，有f(2) =f(1) + 1 + 1= 3, 即 4a+ 2b= 3,1 1由解得a= 2b=2規(guī)律方法1.對于特征已明確的函數(shù)一般用待定系數(shù)法求解析式.2.若所求函數(shù)為一次k函數(shù)，通常設(shè)f(x) =kx+b(k豐0)；若為反比例函數(shù)，通常設(shè)為f(x) =-(kz0)；若為二次x2函數(shù)，則解析式有以下三種：(1) 一般式y(tǒng)=ax+bx+c(azo) ； (2)兩根式y(tǒng)=a

7、(xx(xf b X2)(az0)，其中X1,X2是二次函數(shù)圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)；(3)頂點式y(tǒng)=a x+石f+已知二次函數(shù)f(x)滿足f(0) = 1,f(1) = 2,f(2) = 5,求該二次函數(shù)的解析式.解 設(shè)二次函數(shù)的解析式為f(x) =ax2+bx+c(az0), 1),則x= (t- 1)2,所以f(t) = (t- 1)2+ 2t-1 2=t2- 1, 所以f(x) =x2-1(x1).法二(配湊法)因為x+ 2x= (x+ 1)2- 1,所以f( +1) = (x+1)2- 1 .又因為，x +1 1,所以f(x) =x2- 1(x 1).1(2)由題意知f(x) + 2f

8、=x，令x=7(t豐0),丿t1 1 1則x=t，則f it+ 2f(t) =p,”，口2x解得f(x) = 3x-30豐o).規(guī)律方法換元法(或配湊法)、方程組法求函數(shù)解析式的思路(1) 已知f(g(x) =h(x)，求f(x)，常用的有兩種方法:1換元法，即令t=g(x)，解出x,代入h(x)中，得到一個含t的解析式，即為函數(shù)解 析式，注意：換元后新元的范圍.2配湊法，即從f(g(x)的解析式中配湊出g(x) ”，即用g(x)來表示h(x)，然后將 解析式中的g(x)用x代替即可.(2) 方程組法：當(dāng)同一個對應(yīng)關(guān)系中的含有自變量的兩個表達式之間有互為相反數(shù)或互 為倒數(shù)關(guān)系時，可構(gòu)造方程組求

9、解.【訓(xùn)練 4】 已知f(x- 1) =x2+ 4x-5，則f(x)的解析式是()2 2A. f(x) =x+ 6xB. f(x) =x+ 8x+ 7C.f(x) =x2+ 2x-3D.f(x) =x2+ 6x- 10解析 法一 設(shè)t=x- 1,則x=t+ 1,因為f(x- 1) =x2+ 4x-5,所以f(t) = (t+ 1)2+ 4(t+ 1) - 5=t+ 6t,f(x)的解析式是f(x) =x2+ 6x.222法二 因為f(x 1) =x+ 4x- 5 = (x- 1) + 6(x- 1)，所以f(x) =x+ 6x.所以f(x)的解析式是f(x) =x+ 6x.A2f(x) =1，

10、于是得到關(guān)于xx&與f(x)的方程組8答案 A9|x| x【探究 2】已知函數(shù)f(x) = 1+2( 2xw2).(1) 用分段函數(shù)的形式表示該函數(shù)；(2) 畫出該函數(shù)的圖像；(3) 寫出該函數(shù)的值域.”,x x解(1)當(dāng) OWXW2時，f(x) = 1 +=1;,一X一X當(dāng)一 2x0 時，f(x) = 1+ 2 = 1 x,1,OWxW2,-f(x)=11x, 2x0.(2)函數(shù)f(x)的圖像如圖所示:L1d-2 O2(3)由 知，f(x)在(一 2,2上的值域為1,3)2x+ 1,x 1.(1) 試比較f(f( 3)與f(f(3)的大?。?2) 畫出函數(shù)的圖像；(3) 若f(x)

11、= 1,求x的值.解(1) 31,互動探究題型五分段函數(shù)及應(yīng)用”1【探究 1】函數(shù)f(X) = i2XX,X1f(3) = 32 3 3 = 3,所以廠y2x解析10 f(3)= 2X(3)+1=7./ 71,112 f(f(-3)=f(7)=7-2X7=35./ 31,.f(3) = 32-2X3= 3,f(f(3) = 3.f(f( - 3)f(f(3).函數(shù)圖像如圖所示.(3)由f(x) = 1 和函數(shù)圖像綜合判斷可知，當(dāng)x在(一汽 1)上時，得f(x) =- 2x+ 1 =1,解得x= 0 ；當(dāng)x在1,+8)上時，得f(x)=X2-2x=1,解得x=1+. 2 或x=1-2(舍去).綜

12、上可知x的值為 0 或 1+ 2.規(guī)律方法(1)求分段函數(shù)值的方法先確定要求值的自變量屬于哪一段，然后代入該段的解析式求值，直到求出值為止.特別地，當(dāng)出現(xiàn)f(f(Xo)的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.已知函數(shù)值求字母的值的四個步驟1討論：對字母的取值范圍分類討論.2代入：由不同取值范圍，代入對應(yīng)的解析式中.3求解：通過解方程求出字母的值.【探究 4】 已知函數(shù)f(x)=3x- 2x,x 1,I2-2x+ 3,x1,求使f(x) 1,解由題意可得彳23x- 2x2-2x2+ 3 1,由*123x2- 2x2,綜上可知，使f(x)2 的x值的集合為或務(wù)皆124檢驗：檢驗所求的值是否在所討論的區(qū)間內(nèi).

13、課堂反饋自眾氏如救3.13課堂達標(biāo)1.已知f(x+ 2) = 6x+ 5,貝 yf(x)等于()A. 18x+ 17B. 6x+ 5C. 6x 7D. 6x 5解析設(shè)x+ 2=t，得x=t 2, f(t) = 6(t 2) + 5 = 6t 7,.f(x) = 6x 7,故選C.答案 Cx+2,xw1,答案y= x2+ 4x 2, 1x35.已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足 3f(x+ 1) = 6x+ 4,求f(x)的解析式. 解 因為f(x)是一次函數(shù)，所以設(shè)f(x) =kx+b(k豐0).則 3f(x+ 1) = 3k(x+ 1) +b = 3kx+ 3k+ 3b= 6x+ 4,3k= 6

14、,3k+ 3b= 4,22.已知函數(shù)f(x)=島則f(2)等于(x 1A. 0C. 1B.D. 2解析f(2) = 2 1 = 1.答案 C3.已知函數(shù)f(x)由下表給出，貝 Uf(f(3) =_24 .如圖所示，函數(shù)圖像是由兩條射線及拋物線的一部分組成，則函數(shù)的解析式為14所以f(x) = 2x3.課堂小結(jié)1.函數(shù)三種表示法的優(yōu)缺點一是琦朗、 全面地覘括 了變量閭的芙報；二 是利用解析式可求住一岀軟他-bR點不夠誓象、 直觀.而且 并苓是所有西鞍都有 辭析式能冊象、直觀地表示 函數(shù)的査化情渡點只能址似求曲d査蚩 的臨所對應(yīng)的禹tut麗JL有時譙集擬大不満計茸可創(chuàng)立接看點儀能表示自變是取戦 少的有限值時