借助直觀經(jīng)歷過程發(fā)展思維

1、    借助直觀經(jīng)歷過程發(fā)展思維    謝東伊摘 要：作為小學(xué)數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”的內(nèi)容，如何在課堂教學(xué)中做到“綜合運(yùn)用”與“實(shí)踐探究”并重，且能高效地達(dá)成兩個(gè)方面的教學(xué)目標(biāo)一直都是筆者關(guān)注的核心問題。本文基于對(duì)探索圖形的教材研讀及后續(xù)課堂教學(xué)實(shí)踐，主要從“借助直觀教具開展活動(dòng)，使學(xué)生經(jīng)歷整個(gè)探究過程，逐步抽象得出規(guī)律，最終用于解決問題”等環(huán)節(jié)進(jìn)行“反饋式”思考。為實(shí)現(xiàn)上述兩個(gè)方面目標(biāo)指向的學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)能力和思維能力的提升與發(fā)展提出一定的見解。關(guān)鍵詞：直觀；過程；發(fā)展思維在整個(gè)小學(xué)階段的數(shù)學(xué)中，使用教具、學(xué)具帶來的直觀體驗(yàn)，始終是學(xué)生學(xué)習(xí)“圖形與幾何”知識(shí)

2、的最佳手段。即使到了高年級(jí)，當(dāng)空間想象受阻或?qū)W習(xí)較為抽象的知識(shí)時(shí)，提供操作材料動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，依然是最為有效的教學(xué)策略。毫無疑問，對(duì)于探索圖形內(nèi)容的教學(xué)，首先要實(shí)現(xiàn)的就是有效的實(shí)踐操作，使學(xué)生在具體的活動(dòng)中，動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，多種感官協(xié)調(diào)參與，在獨(dú)立思考與小組合作中多角度地感悟該教學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，豐富自己的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。一、借助“真”直觀，真實(shí)達(dá)成高效在“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的課堂教學(xué)中，一直存在著這樣一種現(xiàn)象：因?yàn)榻叹?、學(xué)具準(zhǔn)備的難度較大，使得教學(xué)設(shè)計(jì)的思路受限于課堂實(shí)施的可行性。在此種情況下，教師通常會(huì)退而求其次，用課件演示的方式加以替代。然而，從學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)來分析，這樣的方式僅僅能夠達(dá)成視覺

3、上的直觀，而缺少了其余各方面的體驗(yàn)。以本課教學(xué)為例，圖1是兩種方式下課堂呈現(xiàn)的立方體效果對(duì)比圖。用課件的方式似乎更為標(biāo)準(zhǔn)，并可以在演示涂色效果的基礎(chǔ)上，通過顏色的對(duì)比、動(dòng)畫等手段把各種不同涂色情況“直觀”地呈現(xiàn)在屏幕上。相比之下，立方體包裝盒搭建的大立方體并沒有進(jìn)行涂色的具體操作，但在學(xué)生親手搭建的過程中，對(duì)于各種涂色小立方體所處位置的理解卻更為直觀和真切。在操作過程的組織上，結(jié)合所教班級(jí)的實(shí)際情況，以四人小組的形式，利用同桌合作拼成棱長(zhǎng)為2的立方體，兩個(gè)小組合作搭建棱長(zhǎng)為3的立方體，利用四個(gè)小組的立方體組成棱長(zhǎng)為4的立方體，最后全班學(xué)生的小立方體拼成棱長(zhǎng)為5的立方體。這樣的設(shè)計(jì)和實(shí)施，充分調(diào)

4、動(dòng)了學(xué)生參與活動(dòng)的熱情，并在潛移默化之中感受到合作學(xué)習(xí)的重要性。借助于真實(shí)的直觀，還能極大地提升課堂教學(xué)的實(shí)效性，這也使得通過本課教學(xué)，對(duì)學(xué)生“綜合運(yùn)用知識(shí)”方面的目標(biāo)設(shè)定有了更高的起點(diǎn)，最終達(dá)成“經(jīng)歷過程”與得出“數(shù)學(xué)模型”的兩者兼顧。二、經(jīng)歷“全”過程，水到方能渠成任何數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與習(xí)得都須符合其特有的客觀規(guī)律。就“探索圖形”內(nèi)容本身來說，是發(fā)展學(xué)生推理能力、空間觀念、幾何直觀非常好的教學(xué)載體。那么，如何在一堂課的教學(xué)中盡可能多地去豐富學(xué)生開展多方面思維活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)?zāi)?？結(jié)合教學(xué)實(shí)際，筆者認(rèn)為：給全體學(xué)生創(chuàng)設(shè)并提供足夠的活動(dòng)空間與時(shí)間，使他們積極主動(dòng)地參與實(shí)踐操作的整個(gè)過程，無疑是實(shí)現(xiàn)上述目

5、標(biāo)的最佳策略。因此，在課始搭建研究了棱長(zhǎng)為2的立方體涂色情況之后，展開以下探索：【片段一】分類計(jì)數(shù)師：現(xiàn)在要搭建棱長(zhǎng)為3的立方體，只用你桌子上的夠不夠？（不夠）怎么辦？（用兩個(gè)小組的立方體拼起來）請(qǐng)大家試一試。（學(xué)生操作）師：現(xiàn)在給這個(gè)立方體表面涂上顏色，會(huì)有幾種情況？生：3種。8個(gè)頂點(diǎn)上的是三面涂色，中間的是一面涂色，還有兩面涂色。師：中間的一面涂色是指在立方體的哪里？（面上）兩面涂色的呢？（棱上）涂色的會(huì)產(chǎn)生三種情況，不涂色的呢？有沒有？（有）在立方體上找一找。師：這樣，我們把涂色情況分成了幾類？（四類）你能分別找出個(gè)數(shù)嗎？填在學(xué)習(xí)單上。根據(jù)回答板書。小結(jié)：這種方法就叫作分類計(jì)數(shù)（板書），

6、想一想，這樣分類的依據(jù)是什么？（三面涂色的在頂點(diǎn)上，兩面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，沒有涂色的在內(nèi)部）也就是依據(jù)了？（正方體的特征）板書：依據(jù)特征?！酒味刻剿靼l(fā)現(xiàn)師：現(xiàn)在把兩張桌子上的小立方體集中在一起，試試看能搭成更大的立方體嗎？（學(xué)生操作搭成兩個(gè)棱長(zhǎng)為4的立方體）完成學(xué)習(xí)單，在填的過程中如果有疑惑，可以隨時(shí)對(duì)立方體進(jìn)行觀察和操作。指名回答：三面涂色的有8個(gè)，兩面涂色的有24個(gè)。（追問：說說你是怎么數(shù)的？）一條棱上有2個(gè)，有12條棱，一共有24個(gè)。一面涂色的有24個(gè)（你又是怎么數(shù)的呢？）在一個(gè)面上一面涂色的有4個(gè)，4乘以6個(gè)面就是24個(gè)。師：最后這個(gè)有點(diǎn)難，沒有涂色的有幾個(gè)？（4個(gè)，

7、8個(gè)）我們可以用總數(shù)減去這三類，結(jié)果是8，也可以在立方體上找一找，操作演示：把涂色的都移開，取出不涂色的部分，有幾個(gè)？（8個(gè)）你能在這些教具中找一找嗎？也就是誰？（棱長(zhǎng)為2的立方體）請(qǐng)這個(gè)小組把桌上的立方體拼到這張桌子上，形成棱長(zhǎng)為5的立方體。（學(xué)生操作）其他同學(xué)可以思考棱長(zhǎng)為5的立方體不同情況的個(gè)數(shù)。如果你在填的時(shí)候有問題，可以上來對(duì)這個(gè)立方體進(jìn)行觀察操作。總數(shù)會(huì)是幾個(gè)？（125個(gè)）三面涂色的？（8個(gè)）為什么還是8個(gè)？（立方體始終是8個(gè)頂點(diǎn)）兩面涂色呢？生：36個(gè)，因?yàn)槊織l棱上有3個(gè)，乘以12就是36個(gè)。（一面？）有54個(gè)，因?yàn)榇罅⒎襟w一個(gè)面上可以找到9個(gè)，乘以6就是54個(gè)。（請(qǐng)你上來找一找

8、）學(xué)生數(shù)1，2，3，8，9。（還有別的方法嗎？）3乘以3。（為什么？）這里一面涂色的剛好形成了一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形。（你太棒了，掌聲?。煟簺]有涂色的有幾個(gè)？（27個(gè)）能在臺(tái)上找到嗎？（棱長(zhǎng)為3的立方體）“經(jīng)歷過程”比“得出結(jié)果”更重要，這在課題“探索圖形”中已經(jīng)做出了明確的課堂定位。以上環(huán)節(jié)實(shí)施中，利用學(xué)具逐步搭建棱長(zhǎng)為3、4、5的立方體的過程，同時(shí)也是引導(dǎo)學(xué)生自主探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程。從知識(shí)特征分析，三面涂色、兩面涂色、一面涂色，再到?jīng)]有涂色，各種立方體的數(shù)量規(guī)律呈現(xiàn)出較為明顯的“梯次難度”，這種現(xiàn)象與整個(gè)“空間與圖形”知識(shí)的編排形成對(duì)應(yīng)。正是豐富了學(xué)生親歷過程的“源頭之水”，才能真正開拓

9、他們頭腦中的“思維之渠”。endprint【片段三】得出規(guī)律生：老師，我已經(jīng)知道了沒有涂色的公式，是（n-2）3。（追問：你的想法？）當(dāng)棱長(zhǎng)為n時(shí)，沒有涂色的個(gè)數(shù)正好是棱長(zhǎng)為（n-2）的立方體總個(gè)數(shù)。師：你真棒，已經(jīng)預(yù)先知道了下面要講的知識(shí)。我們一起來研究當(dāng)棱長(zhǎng)為n時(shí)的情況，先在學(xué)習(xí)單上獨(dú)立完成，再進(jìn)行小組的討論交流。指名回答：當(dāng)棱長(zhǎng)為n的時(shí)候，總個(gè)數(shù)是n3，三面涂色是8個(gè)，兩面涂色（n-2）×12。（說說你的想法？）因?yàn)樵谝粭l棱上是（n-2）個(gè)，再乘以12。師：這里為什么要減去2？（根據(jù)學(xué)生回答直觀演示）減去的2是處于頂點(diǎn)位置的兩個(gè)立方體。生：一面涂色的是（n-2）2×6

10、。（又是怎么得出來的呢？）一面涂色的個(gè)數(shù)正好是邊長(zhǎng)為（n-2）的正方形。沒有涂色的為什么是（n-2）3呢？學(xué)生回答后，利用教具直觀演示（如圖2）。利用這些規(guī)律，請(qǐng)你先想象一下，等棱長(zhǎng)是6或者9的時(shí)候，各種小立方體的位置和個(gè)數(shù)是多少？（展開想象）你能把它們分別計(jì)算出來嗎？板書：解決問題（學(xué)生練習(xí)，分析過程略）在這里，首先引用數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀在“空間觀念”一節(jié)中的闡述：“空間想象力主要體現(xiàn)在對(duì)諸如一維、二維、三維空間中方向、方位、形狀、大小等空間概念的理解水平及其幾何特征的內(nèi)化水平上，體現(xiàn)在對(duì)簡(jiǎn)單形體空間位置的想象和變換上，以及對(duì)抽象的數(shù)學(xué)式子（算式或代數(shù)式等）給予具體幾何意義的想

11、象解釋或表象能力上?！比绾螌⒅庇^的經(jīng)歷內(nèi)化為學(xué)生個(gè)體的理解，并能對(duì)最終得出的規(guī)律進(jìn)行解釋，可以看作是對(duì)以上作為本課教學(xué)難點(diǎn)的環(huán)節(jié)進(jìn)行設(shè)計(jì)和實(shí)施時(shí)的“核心問題”。具體表現(xiàn)在本次課堂實(shí)踐中，當(dāng)有學(xué)生自己提出“老師，我已經(jīng)知道了沒有涂色的公式，是（n-2）3”并能有合理的解釋時(shí)，已然使筆者意識(shí)到源于直觀和親身經(jīng)歷的探索過程使得部分學(xué)生自主完成了對(duì)知識(shí)的初步內(nèi)化。因而在這里，筆者把教學(xué)設(shè)計(jì)中對(duì)棱長(zhǎng)為6的立方體各種涂色情況進(jìn)行推算的環(huán)節(jié)進(jìn)行了后置處理，順勢(shì)引出將規(guī)律抽象成數(shù)學(xué)模型的教學(xué)。對(duì)于如何引導(dǎo)學(xué)生從已有的初始經(jīng)驗(yàn)向更高更深的層次“歸流”與“掘進(jìn)”，在實(shí)際教學(xué)中，筆者采用了“直觀+抽象”的表現(xiàn)手法。

12、筆者借助顏色對(duì)比鮮明的小棒教具，使學(xué)生感受從一維到二維再到三維的空間轉(zhuǎn)換，在不斷加深對(duì)數(shù)學(xué)模型理解程度的同時(shí)，使學(xué)生頭腦中的空間想象和思維能力也得到了相應(yīng)的發(fā)展。三、拓展“新”方法，鞏固再謀發(fā)展在完成上述內(nèi)容的教學(xué)后，教材中呈現(xiàn)了另一組由小立方體按規(guī)律拼出的幾何體，旨在引導(dǎo)學(xué)生將解決問題的經(jīng)驗(yàn)和策略遷移應(yīng)用到新的問題中。然而，在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生很容易受到由“分類計(jì)數(shù)”這種方法造成的思維定式的影響。針對(duì)這一現(xiàn)象，筆者在鞏固已學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，對(duì)拓展環(huán)節(jié)進(jìn)行了不同的處理?！酒嗡摹空n堂小結(jié)師：（結(jié)合板書）我們來回顧一下整個(gè)過程（如圖3）。你覺得哪一個(gè)環(huán)節(jié)最重要？（指名回答）老師相信每一個(gè)回答背后都有

13、自己的理由，但是，你們感受到了嗎？這五個(gè)環(huán)節(jié)中每個(gè)環(huán)節(jié)都非常重要，環(huán)環(huán)相扣形成了一個(gè)整體。就像這節(jié)課上用全班同學(xué)的小立方體搭成了棱長(zhǎng)為5的大立方體，若缺少了其中一個(gè)，還能夠搭成嗎？【片段五】拓展延伸想不想試試難一點(diǎn)的？出示四層的實(shí)物教具（如圖4）?，F(xiàn)在涂色的情況會(huì)有幾類？生：五面涂色、四面涂色、三面涂色，還有兩面涂色、一面涂色、沒有涂色。師：要分幾類？（6類）太復(fù)雜了吧？注意對(duì)這個(gè)圖形的要求是計(jì)算涂色的總面積，也就是這個(gè)幾何體的？（表面積）我們可以考慮簡(jiǎn)單一點(diǎn)的，出示二層、三層的實(shí)物教具。數(shù)一數(shù)，二層的一共有幾個(gè)面涂色？（5+5+5+3=18個(gè)）你還有別的數(shù)法嗎？生：還可以3乘以6。（說說你的想法）因?yàn)橐粋€(gè)方向看過去有3個(gè)面涂色，總共要從6個(gè)方向去看，即上下、前后、左右。師：同學(xué)們聽懂了嗎？這個(gè)幾何體有幾個(gè)面？（6個(gè)）也就是說我們?nèi)匀灰罁?jù)了？（正方體的特征）那么三層的呢？（6×6=36）四層？（10×6=60）這里的層數(shù)和涂色總面積有什么關(guān)系呢？當(dāng)層數(shù)為的時(shí)候，涂色部分的總面積會(huì)是多少？這個(gè)問題就留到下課的時(shí)候同學(xué)們自己去思考解決。課堂小結(jié)中，重點(diǎn)突出對(duì)探索學(xué)習(xí)整個(gè)過程的回顧，也可以看作是引導(dǎo)學(xué)生歸納數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)。在最后的拓展環(huán)節(jié)，首先出示四層的幾何體實(shí)物教具，營(yíng)