二維定常不可壓縮N-S方程無(wú)量綱分析

1、二維定常不可壓縮 N-S方程無(wú)屋綱分析1/ 61二維定常不可壓縮N-S方程無(wú)量綱分析一、引言計(jì)算流體力學(xué)的控制方程通常認(rèn)為是 NS (Navier-Stroke s )方程 組，包含了能量方程、動(dòng)量方程、連續(xù)性方程等方程組的總稱。當(dāng)考慮流體 的黏性時(shí)，作用在流體質(zhì)點(diǎn)上的力除了質(zhì)量力、法向應(yīng)力(垂直于作用面的壓 力夕卜，還有與作用面相切的切向力.NS方程建立了流體微團(tuán)的動(dòng)量變化 率與作用在微團(tuán)上的慣性力，壓力以及粘性剪切力之間的關(guān)系.反映了黏性流 體運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律，對(duì)計(jì)算流體力學(xué)有著十分重要的意義.本文旨在對(duì)二維定常不可壓縮 N S 方程進(jìn)行無(wú)量綱化.方便倚化計(jì)算和 分析相似實(shí)驗(yàn)。呈綱分析就是對(duì)

2、有最綱的物理方程進(jìn)行參數(shù)的組合.實(shí)現(xiàn)參 數(shù)和方程的無(wú)量綱化，將方程無(wú)量綱化有以下幾點(diǎn)好處：1方程形式可以得到簡(jiǎn)化并且可能減少方程個(gè)數(shù)，進(jìn)而提高實(shí)際計(jì) 算速度；(2通過(guò)無(wú)量綱化盡可能的減少方程中的常數(shù)運(yùn)算，將這些常數(shù)轉(zhuǎn)化為 某個(gè)特征參數(shù)，這樣可以降低計(jì)算難度；(3防止方程中的物理參數(shù)在數(shù)量級(jí)上造成差異,從而降低精度損失；(4將方程中的物理量無(wú)量綱化后容易實(shí)現(xiàn)計(jì)算中的相似模擬。流體力學(xué)中的相似逋?？梢苑譃閹缀蜗嗨?、運(yùn)動(dòng)相 4 以和動(dòng)力相似。流動(dòng) 相似的概念來(lái)源于幾何相似的概念，兩個(gè)流動(dòng)如果相似,例如模型流動(dòng)與實(shí)際 流動(dòng)相似,則其流場(chǎng)中相應(yīng)點(diǎn)上各同類物理呈將具有各自固定的比例關(guān)系，也印 可將模型實(shí)驗(yàn)

3、的成果應(yīng)用于實(shí)際流動(dòng)中一相似原連指出，兩個(gè)流動(dòng)若相似必滿足一定條件，即滿足幾何相似、運(yùn)動(dòng) 相似、動(dòng)力相似，這些條件還應(yīng)包括邊界條件和初始條件相似。根 1S相似原 理，兩個(gè)流動(dòng)現(xiàn)象只要同時(shí)滿足上面的相似條件，它們之間就存在相似關(guān)系, 其對(duì)應(yīng)物理量都成一定的比例黃系.在應(yīng)用中，首先需要分析所要硏究的菰體， 找岀彫響流動(dòng)問(wèn)題的作用力，我們只需要滿足一個(gè)主要作用力相似， 而不必計(jì) 較其它作用力是否達(dá)到相似。 例如對(duì)于一些流動(dòng)現(xiàn)象，只要流功的雷諾數(shù)不 是很大，一般其相似條件都依賴于雷諾數(shù)。雷諾數(shù)是用來(lái)判斷流體流動(dòng)特性二維定常不可壓縮 N-S方程無(wú)量綱分析2/66的無(wú)量綱量，對(duì)于封閉壞境內(nèi)的流動(dòng)，當(dāng)雷諾數(shù)

4、小于 230 0 時(shí)的流動(dòng)為層漩， 能用 N-S方程表示：當(dāng)雷諾數(shù)大于 4000時(shí)的流動(dòng)為湍流,不能用 NS 方程 表力 7。二、二維定常不可壓縮流休的NS方程參照工程流體力學(xué)基礎(chǔ)I,在流場(chǎng)中任取一個(gè)平面六面體微團(tuán),作用在 六面體上的力有質(zhì)量力，作用在表面上的力除了法向力外，還有切向力，用P表示切向力.用 T表示切向力。對(duì)于這個(gè)六面體，每個(gè)面上都有三個(gè)應(yīng)力分呈，共有 18個(gè)應(yīng)力分呈。根據(jù)牛頓第二定律，可寫出沿 x軸的運(yùn)動(dòng)微分方程:y、z軸的方程類似可得。方程組中仍有多個(gè)未知量，不足以進(jìn)行求解、還 必須對(duì)應(yīng)力進(jìn)行分析，尋找應(yīng)力之間的關(guān)系式根搖達(dá)朗伯原理和廣文牛頓內(nèi)摩 擦定律,則有：P = Pyy

5、 = Pzz=-P最后導(dǎo)出沿 x 軸的 N S 方程：du13p d2u d2u d2tz喬=X_莎+u（喬+歹+韻本文研究的是二維定常不可壓縮流體、不考慮 z 軸方向，以式 2。4為參 考，得出二維不可壓縮定常流動(dòng)的 N S方程：2,5)式中山、w分別是心 y方向的速度，是流體密度，p是壓力，u 是運(yùn)動(dòng)粘 度，X, Y是質(zhì)量力在心 y方向上的兩個(gè)分量.三、N S方程無(wú)量綱化量綱分析的基本原理是量綱的和諧性.兩個(gè)量能進(jìn)行比較的前提是它們的 量綱相同，這就是量綱的和諧性煽理，當(dāng)然，兩個(gè)量綱為 1的量是可以無(wú)條件相 互比較的。根據(jù)量綱的和諧性原則，提出了量綱分析方法：(2o 3 )(2. 4)二維

6、定常不可壓縮 N-S方程無(wú)量綱分析3/66兀定理法:若物理方程)=0,共含有門個(gè)物理呈，其中有 k個(gè)是 基本星，在保持量綱和諧性的前提下，這個(gè)物理方程可以簡(jiǎn)化為各個(gè)物理呈所 構(gòu)成的量綱為 1的組合.二維定常不可壓縮流祥流動(dòng)的 N S方程：二維定常不可壓縮 N-S方程無(wú)量綱分析4/66du伽fd2udi=x-pdx+ vdx2dv1% 1一=Y - dtpdx+ vdx2d2u+歹d2u+歹選取特征晝?yōu)椋禾卣鏖L(zhǎng)度 L.特征速度 U。本文限于討論不可壓縮流動(dòng),流體密度和黏度在全流場(chǎng)保持常數(shù).用基本變屋除其他變呈得到其他變呈的無(wú)量綱數(shù):(3。1)* yy=TPU(3 2)C3o 3)(3.4)(3.

7、5)(3. 6)(3 o 7)舉 3 1和 3.2說(shuō)明無(wú)晝綱化過(guò)程，du _ d(u- -U)U du _ U d八di - a(f / (/) L/U*dt* I Wdtd2u dzdnxa* U) U d2udx2我6)a(x* *L)d(A：* * L)(3 o 8)C3O9)(3。 1 0)按照上式一樣將各個(gè)無(wú)量綱數(shù)代入到 N S 方程中，便得到了二維定常不可 壓縮無(wú)呈綱的 N-S方程組：W = TX_ p L ax$ V、p、v、) = 0(4.1)式中的為管壁粗糙度。應(yīng)該兀定理對(duì)上述式子無(wú)量綱化,得到；U dv * u2L / UdtK整理得到最終的式子:(3.12)(3.13 )

8、3.14)LpU2dp *P L 3)八卜二維定常不可壓縮 N-S方程無(wú)量綱分析6/66API Vd,、科 HD(4。2) =扌為管壁的相對(duì)粗糙度為霄諾數(shù).根據(jù)式 4。2可知，在直管道流動(dòng)模型設(shè)計(jì)中，要設(shè)計(jì)相似實(shí)驗(yàn)，需要滿足 四組無(wú)量綱雖相似，雷諾數(shù)、管壁相對(duì)粗糙度、長(zhǎng)度和烽。11 ?2di d?人心V2d2V1 - 2P APW17存管壁粗糙度的相似由 d直接確定，當(dāng)選用相同的漩體時(shí)= V2,則可以 得出：(P)2 =說(shuō)(善)2(AP)L根據(jù)，當(dāng)雷諾數(shù)超過(guò) 4000時(shí)，慣性力遠(yuǎn)大于黏性力，管內(nèi)流體的紊亂程 度及速度剖面幾乎不再變化，阻力系數(shù)與雷諾數(shù)無(wú)關(guān)，本文中的 N-S方程 不再適用于管內(nèi)流動(dòng)，此時(shí)可以忽略黏性力的影響.流動(dòng)進(jìn)入目動(dòng)?；瘏^(qū)，此時(shí) 不必考慮模型的雷諾數(shù)與原型是否相鋅，只要模型與原型所處同一模化區(qū)即可。五、結(jié)論本文對(duì)二維不可壓縮黏性流體的 NS 方程進(jìn)行了無(wú)量綱化分析,分析了 量綱處理的優(yōu)越性并結(jié)合流動(dòng)相似性履理，以直管漩動(dòng)試驗(yàn)為對(duì)象進(jìn)行分析, 發(fā)現(xiàn)無(wú)量綱化 N-S方程對(duì)于簡(jiǎn)化方程形式，理解方程本質(zhì)，減少計(jì)算量上提供 了很好的幫助。參考文獻(xiàn)1 韓占忠，王國(guó)玉.工程流體力學(xué)基礎(chǔ)M.北京：北京建工