二維定常不可壓縮N-S方程無量綱分析_第1頁
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文檔簡介

1、二維定常不可壓縮 N-S方程無屋綱分析1/ 61二維定常不可壓縮N-S方程無量綱分析一、引言計(jì)算流體力學(xué)的控制方程通常認(rèn)為是 NS (Navier-Stroke s )方程 組,包含了能量方程、動量方程、連續(xù)性方程等方程組的總稱。當(dāng)考慮流體 的黏性時,作用在流體質(zhì)點(diǎn)上的力除了質(zhì)量力、法向應(yīng)力(垂直于作用面的壓 力夕卜,還有與作用面相切的切向力.NS方程建立了流體微團(tuán)的動量變化 率與作用在微團(tuán)上的慣性力,壓力以及粘性剪切力之間的關(guān)系.反映了黏性流 體運(yùn)動的基本規(guī)律,對計(jì)算流體力學(xué)有著十分重要的意義.本文旨在對二維定常不可壓縮 N S 方程進(jìn)行無量綱化.方便倚化計(jì)算和 分析相似實(shí)驗(yàn)。呈綱分析就是對

2、有最綱的物理方程進(jìn)行參數(shù)的組合.實(shí)現(xiàn)參 數(shù)和方程的無量綱化,將方程無量綱化有以下幾點(diǎn)好處:1方程形式可以得到簡化并且可能減少方程個數(shù),進(jìn)而提高實(shí)際計(jì) 算速度;(2通過無量綱化盡可能的減少方程中的常數(shù)運(yùn)算,將這些常數(shù)轉(zhuǎn)化為 某個特征參數(shù),這樣可以降低計(jì)算難度;(3防止方程中的物理參數(shù)在數(shù)量級上造成差異,從而降低精度損失;(4將方程中的物理量無量綱化后容易實(shí)現(xiàn)計(jì)算中的相似模擬。流體力學(xué)中的相似逋??梢苑譃閹缀蜗嗨?、運(yùn)動相 4 以和動力相似。流動 相似的概念來源于幾何相似的概念,兩個流動如果相似,例如模型流動與實(shí)際 流動相似,則其流場中相應(yīng)點(diǎn)上各同類物理呈將具有各自固定的比例關(guān)系,也印 可將模型實(shí)驗(yàn)

3、的成果應(yīng)用于實(shí)際流動中一相似原連指出,兩個流動若相似必滿足一定條件,即滿足幾何相似、運(yùn)動 相似、動力相似,這些條件還應(yīng)包括邊界條件和初始條件相似。根 1S相似原 理,兩個流動現(xiàn)象只要同時滿足上面的相似條件,它們之間就存在相似關(guān)系, 其對應(yīng)物理量都成一定的比例黃系.在應(yīng)用中,首先需要分析所要硏究的菰體, 找岀彫響流動問題的作用力,我們只需要滿足一個主要作用力相似, 而不必計(jì) 較其它作用力是否達(dá)到相似。 例如對于一些流動現(xiàn)象,只要流功的雷諾數(shù)不 是很大,一般其相似條件都依賴于雷諾數(shù)。雷諾數(shù)是用來判斷流體流動特性二維定常不可壓縮 N-S方程無量綱分析2/66的無量綱量,對于封閉壞境內(nèi)的流動,當(dāng)雷諾數(shù)

4、小于 230 0 時的流動為層漩, 能用 N-S方程表示:當(dāng)雷諾數(shù)大于 4000時的流動為湍流,不能用 NS 方程 表力 7。二、二維定常不可壓縮流休的NS方程參照工程流體力學(xué)基礎(chǔ)I,在流場中任取一個平面六面體微團(tuán),作用在 六面體上的力有質(zhì)量力,作用在表面上的力除了法向力外,還有切向力,用P表示切向力.用 T表示切向力。對于這個六面體,每個面上都有三個應(yīng)力分呈,共有 18個應(yīng)力分呈。根據(jù)牛頓第二定律,可寫出沿 x軸的運(yùn)動微分方程:y、z軸的方程類似可得。方程組中仍有多個未知量,不足以進(jìn)行求解、還 必須對應(yīng)力進(jìn)行分析,尋找應(yīng)力之間的關(guān)系式根搖達(dá)朗伯原理和廣文牛頓內(nèi)摩 擦定律,則有:P = Pyy

5、 = Pzz=-P最后導(dǎo)出沿 x 軸的 N S 方程:du13p d2u d2u d2tz喬=X_莎+u(喬+歹+韻本文研究的是二維定常不可壓縮流體、不考慮 z 軸方向,以式 2。4為參 考,得出二維不可壓縮定常流動的 N S方程:2,5)式中山、w分別是心 y方向的速度,是流體密度,p是壓力,u 是運(yùn)動粘 度,X, Y是質(zhì)量力在心 y方向上的兩個分量.三、N S方程無量綱化量綱分析的基本原理是量綱的和諧性.兩個量能進(jìn)行比較的前提是它們的 量綱相同,這就是量綱的和諧性煽理,當(dāng)然,兩個量綱為 1的量是可以無條件相 互比較的。根據(jù)量綱的和諧性原則,提出了量綱分析方法:(2o 3 )(2. 4)二維

6、定常不可壓縮 N-S方程無量綱分析3/66兀定理法:若物理方程)=0,共含有門個物理呈,其中有 k個是 基本星,在保持量綱和諧性的前提下,這個物理方程可以簡化為各個物理呈所 構(gòu)成的量綱為 1的組合.二維定常不可壓縮流祥流動的 N S方程:二維定常不可壓縮 N-S方程無量綱分析4/66du伽fd2udi=x-pdx+ vdx2dv1% 1一=Y - dtpdx+ vdx2d2u+歹d2u+歹選取特征晝?yōu)椋禾卣鏖L度 L.特征速度 U。本文限于討論不可壓縮流動,流體密度和黏度在全流場保持常數(shù).用基本變屋除其他變呈得到其他變呈的無量綱數(shù):(3。1)* yy=TPU(3 2)C3o 3)(3.4)(3.

7、5)(3. 6)(3 o 7)舉 3 1和 3.2說明無晝綱化過程,du _ d(u- -U)U du _ U d八di - a(f / (/) L/U*dt* I Wdtd2u dzdnxa* U) U d2udx2我6)a(x* *L)d(A:* * L)(3 o 8)C3O9)(3。 1 0)按照上式一樣將各個無量綱數(shù)代入到 N S 方程中,便得到了二維定常不可 壓縮無呈綱的 N-S方程組:W = TX_ p L ax$ V、p、v、) = 0(4.1)式中的為管壁粗糙度。應(yīng)該兀定理對上述式子無量綱化,得到;U dv * u2L / UdtK整理得到最終的式子:(3.12)(3.13 )

8、3.14)LpU2dp *P L 3)八卜二維定常不可壓縮 N-S方程無量綱分析6/66API Vd,、科 HD(4。2) =扌為管壁的相對粗糙度為霄諾數(shù).根據(jù)式 4。2可知,在直管道流動模型設(shè)計(jì)中,要設(shè)計(jì)相似實(shí)驗(yàn),需要滿足 四組無量綱雖相似,雷諾數(shù)、管壁相對粗糙度、長度和烽。11 ?2di d?人心V2d2V1 - 2P APW17存管壁粗糙度的相似由 d直接確定,當(dāng)選用相同的漩體時= V2,則可以 得出:(P)2 =說(善)2(AP)L根據(jù),當(dāng)雷諾數(shù)超過 4000時,慣性力遠(yuǎn)大于黏性力,管內(nèi)流體的紊亂程 度及速度剖面幾乎不再變化,阻力系數(shù)與雷諾數(shù)無關(guān),本文中的 N-S方程 不再適用于管內(nèi)流動,此時可以忽略黏性力的影響.流動進(jìn)入目動?;瘏^(qū),此時 不必考慮模型的雷諾數(shù)與原型是否相鋅,只要模型與原型所處同一模化區(qū)即可。五、結(jié)論本文對二維不可壓縮黏性流體的 NS 方程進(jìn)行了無量綱化分析,分析了 量綱處理的優(yōu)越性并結(jié)合流動相似性履理,以直管漩動試驗(yàn)為對象進(jìn)行分析, 發(fā)現(xiàn)無量綱化 N-S方程對于簡化方程形式,理解方程本質(zhì),減少計(jì)算量上提供 了很好的幫助。參考文獻(xiàn)1 韓占忠,王國玉.工程流體力學(xué)基礎(chǔ)M.北京:北京建工

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