空間的雙重意義重點

1、空間的雙重意義數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學當然，這里的“數(shù)”和“空間”都要在更廣的意義下去理解在這一章里，我們將詮釋現(xiàn)代數(shù)學中廣為使用的“空間”一詞的雙重意義，介紹幾種基本的抽象空間§1 關(guān)于空間的簡要綜述一、空間在數(shù)學中有著雙重意義關(guān)于空間的觀念和空間的幾何，自古希臘時代以來，經(jīng)歷了顯著的變化對于古希臘人來說，只有一個歐氏空間，與之相聯(lián)系，幾何中的基本關(guān)系是全等或疊合的關(guān)系，隨著17世紀解析幾何的發(fā)展，空間才被想象成點的集合19世紀非歐幾何的創(chuàng)立，數(shù)學家們才承認有多于一種幾何，但是空間仍被看作圖形能在其中彼此比較的軌跡，幾何被看作是對點的構(gòu)形的某種性質(zhì)的研究.1872年，克萊

2、因在愛爾蘭根綱領(lǐng)中指出一種幾何可定義為一個變換群下的不變量理論，為幾何學提供了一種非常簡潔的分類，推廣了幾何學的所有早期概念，是數(shù)學史上的一個里程碑.到19世紀末，形成了這樣的思想：一個數(shù)學分支是由一組公理演譯出的一套定理，而一種幾何是數(shù)學的一個特殊分支，1906年，弗雷謝(MFrechet，18781973)開創(chuàng)了抽象空間的研究.是數(shù)學史上的又一個里程碑，他把一些對象(通常稱為點)，連同這些點被蘊含于其中的一組關(guān)系的集合叫做空間，簡言之，空間是用公理確定了其元素和元素間關(guān)系的集合例如線性空間是具有加法和數(shù)乘運算，并且滿足相應(yīng)算律的一個集合，這里，加法和數(shù)乘運算，以及算律都由公理給出元素(或點

3、)受限制的這套公理確定了空間的結(jié)構(gòu)，不同的結(jié)構(gòu)得到不同的空間，每一種空間都有自己的性質(zhì)，自己的“幾何”由上可知，在數(shù)學中廣為使用的“空間”一詞有著雙重意義：一方面是現(xiàn)實空間，即物質(zhì)存在形式；另一方面是抽象空間，指用公理確定了元素關(guān)系的集合，它反映了一定的現(xiàn)實形式，但這些形式不一定與通常意義下的空間形式一致，需要在更廣的意義下去理解隨著科學技術(shù)和數(shù)學本身理論的不斷發(fā)展，人類對現(xiàn)實空間認識的深入，促進了抽象空間理論的發(fā)展，反之，抽象空間理論的發(fā)展，使人們更深刻地認識現(xiàn)實空間的本質(zhì)，給出已知現(xiàn)象的解釋和新現(xiàn)象的預(yù)言，指出人類實踐活動的方向，數(shù)學正是在這樣的過程中不斷地發(fā)展、創(chuàng)新而永葆其青春!

4、7;2 距離和距離空間距離是數(shù)學、物理中的重要概念之一，平面幾何、立體幾何、解析幾何及物理學等課程中很多內(nèi)容都離不開距離概念，極限理論中用來刻劃“遠近”的重要尺度是兩點間的“距離”(也可用拓撲來刻劃)那么距離的本質(zhì)特征究意是什么?這一節(jié)就要在討論中學數(shù)學中常見距離的基礎(chǔ)上，抽象概括出距離的一般概念，給出抽象距離空間概念，并介紹壓縮映象原理及其初步應(yīng)用.一、兩點間的距離中學課本中是用長度(作為不加定義的概念)來解釋兩點間的距離的：“連結(jié)兩點的線段的長度，叫做這兩點間的距離”.在中學數(shù)學中涉及到的距離大致有：(1)直線上、平面上或空間中兩點的距離；(2)平面上點到直線的距離；(3)平面上兩平行直線

5、間的距離；(4)異面直線間的距離；(5)空間一點到平面的距離；(6)直線到與它平行平面的距離；(7)兩平行平面間的距離；而它們都是以兩點間的距離為基礎(chǔ)的此外，對于平面上(或空間中)一點P到一個集A的距離，自然可定義為（如圖2-3-4）平面上（或空間中）兩集合A、B間的距離顯然可定義為(如圖2-3-4)平面上（或空間中）兩集合A、B間的距離顯然可定義為也是以兩點間距離為基礎(chǔ)的.(如圖2-3-5)微積分中的極限、連續(xù)等概念的描述，也是以兩點間的距離為基礎(chǔ)，用距離來刻劃兩個點的接近程度：有.二、兩函數(shù)間的距離在微積分中，我們會遇見用函數(shù)列逼近函數(shù)的問題，例如用多項式去逼近定義在a,b上的連續(xù)函數(shù)f(

6、x).自然會想：應(yīng)如何選取系數(shù)ai，才能使對f(x)有最好的逼近（）？應(yīng)注意的是這里的逼近不是對個別點來說的，而是指整個區(qū)間a,b.因此必須明確什么是“最好的逼近”？此時，或許會想是否可用的大小作為逼近優(yōu)劣的標準，但這個值仍隨點x而異.對于兩個不同的多項式、，會在某些點上的值小些，而在另一些點上，的值小些，這就無法判定究竟用哪一個逼近f(x)較好.為此，我們需尋求某種合理的方法來確定Pn(x)與f(x)間的“距離”，使得“距離”越小，逼近就越好.對于不同的函數(shù)集，可以用不同的方式來建立兩函數(shù)間的“距離”.例（1）設(shè)是定義在a,b上的有界函數(shù).可規(guī)定： 可以驗證d(x,y)滿足：.（2）設(shè)為定義

7、在a,b上的連續(xù)函數(shù).可規(guī)定 不難驗證d(f,g)滿足：（3）設(shè)是a,b上的勒貝格可積函數(shù).規(guī)定 則也驗證d(f,g)滿足（1）、（2）中的三個條件（只是第一個條件中與g幾乎處處相等，因為在勒貝格積分中，兩個幾乎處處相等函數(shù)的積分值相同）.由上可知，無論是兩點間的距離，還是兩個函數(shù)間的“距離”，它們都有以下共性：（i）（ii）（iii）因此，用(i)(iii)作為距離公理，便可建立一般距離和距離空間的概念.三、距離空間1.距離空間的定義和例子定義1 設(shè)X為非空集合，二元實值映射若滿足：有（i）（ii）（iii）則稱d為X上的一個距離函數(shù)，d(x,y)為點x,y間的距離，裝備了距離的集合稱為距離

8、空間，記為（X,d）（或簡記為X）.有了距離，就可以抽象的距離空間中，借用R1、R2、R3中的幾何術(shù)語和幾何直觀、幾何方法去建立和理解有關(guān)理論.荷蘭數(shù)學家、數(shù)學教育家弗蘭登塔爾說過：“空間概念推廣到了無限維在使用空間術(shù)語的同時，他們同時抓住了整套的幾何術(shù)語，幾何思想方法與幾何直觀”，康德也曾說過：“缺乏直觀的概念是空虛的”，我們要很好地理解現(xiàn)代數(shù)學中“空間”的雙重意義.例1 （1）規(guī)定則d1是R2上的一個距離函數(shù)，（R2，d1）是一個距離空間.為平面上通常的以原點0為圓心，以1為半徑的閉圓面.（圖2-3-6）.（2）若規(guī)定則可驗證d2為R2上一距離函數(shù)，（R2,d3）為一距離空間，借用原來的幾

9、何直觀和幾何語言，“閉圓面”如圖2-3-7所示.（3）若規(guī)定，則同樣可驗證d3為R2上的一個距離函數(shù)，（R2,d3）為一距離空間，此時，“閉圓面”如圖2-38所示威者。例2 設(shè)，顯然d為X上的一個距離函數(shù)，為一距離空間.例3 前述的函數(shù)集合、分別在、式所規(guī)定的距離下，成功距離空間.例4 設(shè)，規(guī)定則易知d滿足距離公理的前兩條，注意到函數(shù)的遞增性（當時），提到所以d為S上的一個距離函數(shù)，（S,d）為一距離空間.2距離空間中的收斂性抽象距離空間中的點可以是原來意義下的點，但一般來說，是指集合中的元素，因此點列收斂的具體含義隨對象不同而異.定義2 設(shè)稱點列xn收斂于x0，如果.一般距離空間的收斂點列與

10、微積分中的收斂點列有類似的性質(zhì)：極限點x0唯一；收斂點列是有界集.為此，先給出一般距離空間中有界集的概念，類比R1的情況，我們有定義3 給定叫做X內(nèi)以x0為中心、以r為半徑的開球.設(shè)若有X中的一個開球則稱A為有界集.定理1 距離空間內(nèi)的點列至多收斂于一個點.證明：設(shè)所以定理2 距離空間的收斂點列是有界集.證明：設(shè)取則記則有下面我們通過兩個例子來體會距離空間中點列收斂的具體含義隨對象不同而異.為此先給出兩個不等式.Schwarz不等式，任給2n個實數(shù)a1,a2,an;b1,b2,bn.則有 證明： 由知右端的判別式此即欲證之式.由上不等式可得下面的Cauchy不等式 任給2n個實數(shù)則有 證明：

11、兩邊開方即得式.例5 設(shè)，規(guī)定則易知d滿足距離公理的前兩條.此外，在式中令，就有所以d是Rn上的一個距離函數(shù)，（Rn,d）為一距離空間.設(shè)此即所以Rn中點列按上述距離收斂的含義是按坐標收斂.例6 上依距離收斂是函數(shù)列的一致收斂.這是因為有此即一致收斂于應(yīng)指出的是在R1、R2、R3中的某些性質(zhì)，在一般距離空間不一定成立（本質(zhì)原因是因為一般距離空間不一定是有限維的），例如在微積分中的一個基本原理聚點原理：任一有界的無限集（含無限個元素）必有極限點，在一般距離空間就不成立.例7 設(shè)規(guī)定則可以驗證d是l2上的距離函數(shù).(l2,d)為距離空間. l2中的子集其中，記o=(0,0,),則有.所以M為l2中

12、的無限集,但M中不存在任何收斂子列,因為因此在一般距離空間中需引進新的概念,運用一些新的思想方法去研究和建立有關(guān)理論.其中關(guān)于距離空間完備化問題是一個基本問題,因為數(shù)學中的一個基本問題_存在性問題與空間的完備性有關(guān),下面我們介紹有關(guān)內(nèi)容.3.踐離空間的完備化及其應(yīng)用(1)距離空間的完備化距離空間完備化的意義類似于從有理數(shù)域到實數(shù)域的完備化的意義.完備化的過程也可類比于從QR的過程進行.定義4 給定若對使對有,則稱為X中的基本列.距離空間中的基本列具有實數(shù)域中基本列的性質(zhì).定理3 (1)距離空間中的收斂列均為基本列. (2)距離空間中有收斂子列的基本列是收斂列.證明方法與微積分中方法完全一樣.略

13、去.定義5 給定(X,d).若X中每一基本列都是收斂列,則稱X為完備的距離空間.例(1)(Rn,d)為完備的距離空間,其中(2)為完備的距離空間,其中(3)(X,d).其中則X為不完備的距離空間,因為是X中的基本系.但不是收斂列,極限點同樣,對距離函數(shù)d(x,y)=|x-y|也不是完備的距離空間.我們需要指出的是每一個距離空間都可以通過添加新元而成為完備的距離空間.為此,需要引進幾個概念.定義6 給定中的開球稱為的領(lǐng)域（或球形領(lǐng)域），若且，則稱S為的一個領(lǐng)域易知，在時，的領(lǐng)域就是區(qū)間（），包含（）的任一集為的領(lǐng)域.定義7 給定（），如果B中每一點的任意領(lǐng)域都含有A的點，就說A在B內(nèi)稠.例如：因

14、為每一個無理數(shù)的任何領(lǐng)域中均有有理數(shù)，所以有理數(shù)集在無理數(shù)集中稠.反之，無理數(shù)集也在有理數(shù)集中稠.此外，有理數(shù)集還在實數(shù)集中稠.因此每一實數(shù)均可看作是有理數(shù)列的極限.事實上，我們正是將有理數(shù)基本列的等價類添加有理數(shù)集極限.事實上，我們正是將有理數(shù)基本列的等價類添加到有理數(shù)集（每一有理數(shù)也看作是某基本列組成的等價類）中而得到實數(shù)集的.基于這一基本思想，我們來介紹距離空間的完備化.定義8 給定距離空間、.若存在到上的一一映射，滿足條件：，有則稱是X1上到X2的等距映射，此時，稱X1與X2是等距同構(gòu)的.對于兩個等距同構(gòu)的空間，不考慮它們元素的具體屬性，而只是作為距離空間來考察，或者說從距離結(jié)構(gòu)來考察

15、，兩者沒有本質(zhì)的區(qū)別.定義9 給定距離空間是一完備的距離空間，為的子空間，若滿足：（1）與等距同構(gòu)；（2）在X中稠.定理4 任何距離空間必存在完備化空間，且其完備化空間在等距同構(gòu)意義下是唯一的.定理的證明可參考“泛函分析”教材，略去.這就從理論上解決了距離空間的完備性問題.而其它抽象空間，如線性賦范空間、內(nèi)積空間的完備性問題也都可歸結(jié)為距離空間的完備性問題.（2）壓縮映射原理及其應(yīng)用解方程是學數(shù)學的中心內(nèi)容之一.但是在中學數(shù)學中學生會解的只是一些極簡單的代數(shù)議程和特殊超越方程.而對于大部分方程是不會解的，即使是一些很實用的形狀不復(fù)雜的議程，也毫無辦法，例如.事實上，在很多情況下只能求出方程的近

16、似值，用迭代法求方程的近似值，這就產(chǎn)生了如何迭代能保證收斂于方程的精確解.且能估計出近似值的誤差是多少？在求解微分方程、積分方程等其它方程時，同樣存在上述問題.經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，代數(shù)方程、微分方程、積分方程等求解問題，在許多情況下可以歸為求某映射的不動點問題，并可用逐次逼近法求出不動點（或近似解）.牛頓（lsaac Newton 16421722）用切線法求方程f(x)=0根的基本思想就是求不動點.常微分方程中Picard的逐次逼近法也是.這種思想方法經(jīng)波蘭數(shù)學家Banach提煉為壓縮映射原理.下面我們簡要介紹有關(guān)內(nèi)容.定義10 給定距離空間及映射.若存在點，使有，則稱為映射T的不動點.對于映射來

17、說，0和1均為的不動點.定義11 給定及映射，若存在常數(shù)使有則稱T為X的壓縮映射.例8 設(shè)則為距離空間.又設(shè)為則，所以T為壓縮映射.定理5 給定完備距離空間為壓縮映射，則T恰有一個不動點（壓縮映射原理）.證明： 則為基本列，事實上，我們有對任取的自然數(shù)，不妨設(shè)，則有.由X的完備性知，使下證是T的不動點，為此只需證，這從即得.最后證明不動點是唯一的.若不然，設(shè)T有兩個不動和，則從和證明：從定理證明中的固定讓即得.由上可知，定理5不僅給出了一定條件下方程解的存在唯一性，而且提供了求解的具體方法逐次逼近（或迭代法），推論給出了第m次近似解的誤差估計.這對處理問題無疑是十分有益的.例9 用壓縮映射原理

18、給出方程解的一種收斂的迭代程序.解：設(shè)，收由連續(xù)函數(shù)介值定理知，方程在0,1上有根，注意到取為從可知，當時，有最大值顯然所以T為完備距離空間0,1上的壓縮映射.由定理5,T有不動點，此即原方程的解，并可給出以下收斂的迭代數(shù)序：第n次近似的誤差估計為三、線性空間1n維向量空間在數(shù)學和實際問題中，經(jīng)常會遇到用n(n4)元有序數(shù)組來表示的對象的問題.例如n次系數(shù)多項式與n+1元有序?qū)崝?shù)組相對應(yīng)，一個球的大小和位置需要用四元有序數(shù)組來表示，等等.因此，人們很自然地把向量的概念推廣到n元有序數(shù)組，稱n元有序數(shù)為n椎向量，并且可以把相等向量、向量的加法、數(shù)乘向量的運算類比平面上和空間中的情況進行，例如：，

19、不難驗證，關(guān)于加法和數(shù)乘向量，滿足以下八條算律：其中(v)(viii)是關(guān)于數(shù)乘向量的算律：（i）給合律（ii）交換律（iii）存在零向量0=(0,0,0)，使.有（iv）反向量，使有（v）（vi）（vii）（viii）稱n維向量全體為n維向量空間，記作Rn.一般地，若為數(shù)集），稱n維向量（）全體為n維向量空間Pn.不難看出，Pn是以Rn、P3為基礎(chǔ)的原理性抽象.2線性空間由上可以知道，幾何向量的加法和數(shù)乘向量涉及到集合R3（或R2）和數(shù)集R,Pn中向量的加法和數(shù)乘向量也涉及到兩個集Pn和P，并且關(guān)于加法和數(shù)乘向量滿足八條算律.此外我們還可對多項式集y中的元素（多項式）作加法和數(shù)乘多項式運算；

20、對定義在a,b上的連續(xù)函數(shù)集中的元素作加法和數(shù)乘函數(shù)的運算，且都滿足八條算律.因此，從運算角度來看，把它們的共同特征分離概括出來，具有相同的代數(shù)結(jié)構(gòu)：涉及兩個集合，一個是有加法運算的集合（如Pn,y,A, ），一個是數(shù)集（可以是R或C或其它數(shù)集），這兩個集合由數(shù)乘“向量”把它們聯(lián)系起來，且對加法和數(shù)乘滿足八條算律，數(shù)學中把具有這種代數(shù)結(jié)構(gòu)的集稱為線性空間，即有如下定義.定義4 設(shè)V是非空集，K是數(shù)域，在V的元素間規(guī)定了一種運算叫做加法“+”，在K與V的元素間規(guī)定了一種運算叫做數(shù)乘“·”，且滿足以下算律：（1）結(jié)合律（2）交換律;（3）存在零向量（記為0），使（4）（5），（6）；（7

21、）（8）就稱集V為數(shù)域K上的線性空間（或向量空間），V中的元素稱為點或向量.線性空間又稱向量空間，這是借用了幾何向量的語言，也反映了線性空間的客觀幾何背景.因此，如前所述在現(xiàn)代數(shù)學中，“空間”一詞具有雙重意義，一是表示現(xiàn)實生活空間，一是表示抽象空間，指用公理確定了元素間關(guān)系的非空集合，它反映了一定的現(xiàn)實形式，但這些形式不一定與通常意義下的空間形式一致，需要在更廣的意義下去理解.例如（1）實系數(shù)多項式組成的集y是實數(shù)域R上的線性空間.（2）m×n階復(fù)矩陣組成的集A是復(fù)數(shù)域C上的線性空間.（3）定義在a,b上的實值連續(xù)函數(shù)組成的集是實數(shù)域R上的線性空間.四、內(nèi)積空間歐氏空間R2、R3的特

22、點除了距離這處，最突出的特點是向量的內(nèi)積，建立坐標系以后，向量與有序數(shù)組建立了一一對應(yīng)關(guān)系，向量的模、非零向量的夾角、正交等概念都可由內(nèi)積導(dǎo)出.對于、，可定義a、b的內(nèi)積為此時，雖然夾角、夾角余弦沒有直觀的幾何意義了，但仍可由內(nèi)積引出向量a的模及兩向量正交的概念：與b正交.進而，對內(nèi)積所具有的特征性質(zhì)，可將內(nèi)積概念拓廣到更一般的線性空間，將裝備了內(nèi)積的線性空間稱為內(nèi)積空間.將有限維歐氏空間拓廣為“無窮維歐氏空間”.為此先介紹幾個有關(guān)的概念.1幾個基本概念定義5 設(shè)X為數(shù)域K上的線性空間，映射叫做X上的范數(shù)，如果它滿足：與R2(R3)中的向量模（長度）比較，不難看出，范數(shù)是R2、R3中向量“?！?/p>

23、的概念在線性空間的拓廣.且由范數(shù)可導(dǎo)出距離裝備了范數(shù)的線性空間叫做線性賦范空間，記作（），完備的線性賦范空間稱為巴拿赫空間.例是巴拿赫空.（2）對加法：和數(shù)乘：滿足八條算律，是線性空間定義則可驗證是一個范數(shù)，所以）是一線性賦范空間，但不是完備的線性賦范空間.定義6 設(shè)、為同一數(shù)域K上的線性賦范空間，由X的某子集D到Y(jié)的映射T稱為算子，記為滿足以下兩條性質(zhì)的算子稱為線性算子：（i）為X的線性子集（即有（ii）有 特別地，當Y為數(shù)域K或其子集時，稱T為線性泛函.例（1）設(shè)如下則T為X到Y(jié)的線性算子.（2）設(shè)如下則T就是Y的一個線性泛函.現(xiàn)在我們再來看R2、R3中內(nèi)積的特性，它具有以下性質(zhì)：（i）（ii）；（iii）且在引進坐標系后，的內(nèi)積為.因此，很自然地，若P3中的P為復(fù)數(shù)集，則為使就應(yīng)定義，從而內(nèi)積應(yīng)滿足條件：由是，將內(nèi)積拓廣到更一般的線性空間中，我們有以下定義7 給定數(shù)域K上的一個線性空間的一個二元泛函(x,y)如果滿足以下條件：則稱此二元泛函為U上的內(nèi)積，裝備了內(nèi)積的線性空間稱為內(nèi)積空間，完備的內(nèi)積空間中與R2、R3結(jié)構(gòu)最拉近的空間，這類空間的有關(guān)理論不僅廣泛用于數(shù)學內(nèi)部，而且廣泛應(yīng)用于物理學及其它學科