數(shù)值分析(17)復(fù)化求積法

1、數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析第第 二二 節(jié)節(jié) 復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式的基本思想：復(fù)化求積公式的基本思想： 將區(qū)間將區(qū)間a , b 分為若干個(gè)小子區(qū)間，在每個(gè)小分為若干個(gè)小子區(qū)間，在每個(gè)小子區(qū)間上使用低階的子區(qū)間上使用低階的Newton-CotesNewton-Cotes公式。然后把公式。然后把它們加起來(lái)，作為整個(gè)區(qū)間上的求積公式。它們加起來(lái)，作為整個(gè)區(qū)間上的求積公式。 一、一、復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析 1、復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式 1, (0,1, ),0,1,1kkka b nbahxakhknnxxkn 將將區(qū)區(qū)間間等等分分, ,在在每每個(gè)

2、個(gè)小小區(qū)區(qū)間間, ,（）上上用用梯梯形形公公式式: :1( ()()0,1,12kkkhTf xf xkn 1101( ( )( )()2nnnkkkkhTTf af bhf x 復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式為為數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析截?cái)嗾`差分析：截?cái)嗾`差分析： 311,(),12kkkkkkkhxxRfxx 在在區(qū)區(qū)間間上上， 101()( ),nkkbahffa bnn 利利用用和和22()( )()12nbaR Th fO h 得得到到復(fù)復(fù)化化梯梯形形公公式式的的截截?cái)鄶嗾`誤差差是是：31100()()12nnnkkkkhRRf 整整體體誤誤差差為為數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析

3、2 2、復(fù)化、復(fù)化SimpsonSimpson公式公式 1112,( () 4 ()()6kkkkkkxxSimpsonhSf xf xf x 在在每每個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間上上用用公公式式11110012110221( ( )( )()()63312()33nnnnkkkkkknnnnkkhSSf af bhf xhf xTHHhf x , ,其其中中復(fù)化復(fù)化SimpsonSimpson公式的截?cái)嗾`差為公式的截?cái)嗾`差為 4(4)4()()( )(),2880nb aR Sh fO ha b 復(fù)化復(fù)化SimpsonSimpson公式公式為為數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析1012xe dx - -4

4、 4當(dāng)當(dāng)用用復(fù)復(fù)化化梯梯形形公公式式與與復(fù)復(fù)化化辛辛卜卜生生公公式式計(jì)計(jì)算算積積分分的的近近似似例例：值值時(shí)時(shí)，若若要要求求誤誤差差不不超超過(guò)過(guò)1 10 0 ，問(wèn)問(wèn)至至少少各各取取多多少少個(gè)個(gè)節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)？(4)( ),( )( ),xxf xefxfxe：（1 1解解）由由得得2242()1|()| |( )| |( )|12121110122nbaR Th ffnen 67.3n 解解得得68169nn 用用復(fù)復(fù)化化梯梯形形公公式式 至至少少取取，節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)至至少少取取個(gè)個(gè)。(4)240101max( ),max( )xxfxeMfxeM 數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析1012xe dx -

5、-4 4當(dāng)當(dāng)用用復(fù)復(fù)化化梯梯形形公公式式與與復(fù)復(fù)化化辛辛卜卜生生公公式式計(jì)計(jì)算算積積分分的的近近似似例例：值值時(shí)時(shí)，若若要要求求誤誤差差不不超超過(guò)過(guò)1 10 0 ，問(wèn)問(wèn)至至少少各各取取多多少少個(gè)個(gè)節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)？4(4)(4)444()1|()| |( )| |( )|28802880111028802nbaR Sh ffnen 2.1n 解解得得317nn 用用復(fù)復(fù)化化辛辛卜卜生生公公式式 至至少少取取 ，節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)至至少少取取2 2個(gè)個(gè)。(4)( ),( )( ),xxf xefxfxe：（2 2解解）由由得得(4)240101max( ),max( )xxfxeMfxeM 數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分

6、析數(shù)值分析二、變步長(zhǎng)復(fù)化求積公式二、變步長(zhǎng)復(fù)化求積公式變步長(zhǎng)復(fù)化求積公式的基本思想：變步長(zhǎng)復(fù)化求積公式的基本思想： 將區(qū)間將區(qū)間 a , b 逐次分半，建立遞推公式，按遞逐次分半，建立遞推公式，按遞推公式計(jì)算，直到滿足精度要求。推公式計(jì)算，直到滿足精度要求。1.1.變步長(zhǎng)復(fù)化梯形公式變步長(zhǎng)復(fù)化梯形公式11,( )( ( )( )2hnhbaTT hf af b，222, , 1,22na bTbahh 將將分分半半，用用復(fù)復(fù)化化梯梯形形公公式式得得，44214,24banThh 再再將將區(qū)區(qū)間間分分半半得得 ，22,nnnTTT 直直到到為為止止 將將作作為為積積分分的的近近似似值值。數(shù)值分析

7、數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析下面推導(dǎo)由下面推導(dǎo)由n n到到2n2n的復(fù)化梯形公式的復(fù)化梯形公式,nbaa b nhn 給給出出誤誤差差限限 ，將將 , , 等等分分，步步長(zhǎng)長(zhǎng)用用復(fù)復(fù)化化梯梯形形公公式式：11111101,( ()()2 , ()( ( )( )()2nkkkkknnnnnknkkkhxxTf xf xa bhT hTTf af bhf x 在在 上上，在在上上，數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析 111222112,2 ,2kkkkkkknnnnxxxxxxxhnn hh 將將原原 等等分分區(qū)區(qū)間間，再再次次分分半半，每每個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間上上取取中中點(diǎn)點(diǎn)分分成成兩兩個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間和和

8、，于于是是，。11221212122211112200,( ()()( ()()221()22, 11()()22222kknnkkkkknkknnnnnnknnkkkxxhhTf xf xf xf xhTf xa bhhHTTTTf xT 在在 上上，在在 上上, ,1102()nnnkkHhf x 記記數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析2122nnnHTT 111102( ( )( )()2()nnnnkknnnkkhTf af bhf xHhf x 其其中中變步長(zhǎng)復(fù)化梯形公式的遞推公式變步長(zhǎng)復(fù)化梯形公式的遞推公式： （由由n n到到2n2n）1120 ( )( )21(21),1,2,22

9、2nnnjbaTf af bbabaTTf ajnnn 實(shí)際計(jì)算中的遞推公式為實(shí)際計(jì)算中的遞推公式為22|nnnTTT 直直到到為為止止，作作為為積積分分的的近近似似值值。數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析2|nnTT 用用事事后后誤誤差差分分析析法法說(shuō)說(shuō)明明，為為什什么么可可以以作作為為迭迭代代終終例例：止止條條件件？21222()()12()( )()122nnbaITh fbahITf 解解：12( ) , ,()()fxa bff 假假定定在在上上變變化化不不大大 即即有有，于于是是得得24nnITIT 222211()()33nnnnnnITTTITTT或或2213nnnTTIT 當(dāng)當(dāng)

10、時(shí)時(shí)，。數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析變步長(zhǎng)復(fù)化變步長(zhǎng)復(fù)化梯形梯形求積公式的算法求積公式的算法 11111.,( )( )22.0,23.( ),3.15.*26.,7.,2bahba Tf af bhHxaHHf xxxhxbTThHTTITIhhTT 4 4. .若若，則則轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)若若則則，輸輸出出 , ,停停機(jī)機(jī)。轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)2 2. .1210 ( )( )211222(21)221,2,nnnnnjbaTf af bHTTTbabaf ajnnn 數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析2.2.變步長(zhǎng)復(fù)化變步長(zhǎng)復(fù)化SimpsonSimpson公式公式2221233112212124333nnnnnnn

11、nnnnnSTHTTHSTTTTT 已已知知又又有有兩兩式式聯(lián)聯(lián)立立解解得得：（） （）42242128421)4(312121hhTTSSSSHTTTTTTnnnnnn 實(shí)實(shí)際際計(jì)計(jì)算算過(guò)過(guò)程程如如下下：數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析 42242128421)4(312121hhTTSSSSHTTTTTTnnnnnn實(shí)實(shí)際際計(jì)計(jì)算算過(guò)過(guò)程程如如下下：83231622221144144hCCRRhSSCCCnnnnnn 同理可得變步長(zhǎng)復(fù)化柯特斯公式同理可得變步長(zhǎng)復(fù)化柯特斯公式數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析第第 三三 節(jié)節(jié) 外推算法外推算法 一、理查遜一、理查遜(Richardson)外推法

12、外推法 理查遜理查遜(Richardson)外推法是數(shù)值方法中常外推法是數(shù)值方法中常用的一種加速收斂技術(shù)。用的一種加速收斂技術(shù)。0)()()()(1121111121 ppphOhChChChhhhkkppkppk其其中中展展開(kāi)開(kāi)式式：之之間間的的截截?cái)鄶嗾`誤差差有有漸漸近近和和，若若去去逼逼近近量量的的算算法法設(shè)設(shè)用用步步長(zhǎng)長(zhǎng)為為數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析 kpkppprhCrhCrhCrhrrrhh)()()()(, 01211211則則滿滿足足代代替替，用用中中的的將將展展開(kāi)開(kāi)式式 kkpppkpppppphrrChrrChrrhrr)()()()(11212111211）（減減得

13、得到到：乘乘原原式式兩兩端端再再與與此此式式相相用用)()(121211ppkpphOhChChChk )(111)()(211211211211pppppkpppppphOhrrrChrrrCrhrrhkk 整理后得到：整理后得到：數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析）（得得到到的的新新公公式式，記記為為做做了了一一次次外外推推，和和這這個(gè)個(gè)過(guò)過(guò)程程我我們們稱稱為為用用hrhh211)()( 111)()()(112pprhrrhh )(111)()(211211211211pppppkpppppphOhrrrChrrrCrhrrhkk )()(232322ppkpphOhChChChk 顯顯然

14、然有有，。的的截截?cái)鄶嗾`誤差差階階為為逼逼近近則則類類似似地地，若若定定義義1)(1)()()(11 mmmpmpmpmmhhrhrrhh數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析，則則記記推推的的次次數(shù)數(shù)加加用用第第一一個(gè)個(gè)下下標(biāo)標(biāo)表表示示作作外外次次分分半半，作作了了的的步步長(zhǎng)長(zhǎng)表表示示對(duì)對(duì)原原公公式式1)()(11khhhrk 111)()()(01110211010,21, 1111101ppkkrrkhhrhrhhh ，作作了了一一次次外外推推。和和表表示示用用次次分分半半，沒(méi)沒(méi)有有外外推推；進(jìn)進(jìn)行行了了表表示示對(duì)對(duì)外外推推；進(jìn)進(jìn)行行了了一一次次分分半半，沒(méi)沒(méi)有有表表示示對(duì)對(duì)公公式式；始始分分

15、半半，也也沒(méi)沒(méi)有有外外推推的的原原表表示示沒(méi)沒(méi)有有對(duì)對(duì)分半分半表示對(duì)原步長(zhǎng)表示對(duì)原步長(zhǎng)一般取一般取hrhr)( ,21 數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析,1,1,1,10,1, ;1,2, ;iii ki kpi ki kikprrknikikn 一一般般地地，用用和和做做外外推推，有有11,()mpmkmO h 若若進(jìn)進(jìn)行行了了次次外外推推，則則有有：數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析1,01,12,01,22,13,01,2,13,21,0nnnn 理理查查遜遜外外推推算算法法流流程程數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析二、龍貝格二、龍貝格(Romberg)(Romberg)方法方法 龍貝格龍貝

16、格(Romberg)(Romberg)算法是將理查遜算法是將理查遜(Richardson)(Richardson)外推法應(yīng)外推法應(yīng)用于數(shù)值積分，由低精度求積公式推出高精度求積公式的算法。用于數(shù)值積分，由低精度求積公式推出高精度求積公式的算法。)()(222224422kkknbahOhChChCTdxxf 差有展開(kāi)式差有展開(kāi)式復(fù)化梯形公式的截?cái)嗾`復(fù)化梯形公式的截?cái)嗾`)2()2()2()1()()()()(24422)1(14422)0(1)0(1)(1 abCabCTabCabCTbfafabTTk形形公公式式，顯顯然然有有表表示示沒(méi)沒(méi)有有外外推推的的復(fù)復(fù)化化梯梯用用數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)

17、值分析 34)()(343)1(4)2()0(1)1(1)0(26)2(64)2(4)0(1)1(1TTTabCabCTT 記記得得(0)(2)4(2)6246(1)(2)4(2)6246()().1()().222ITCbaCbababaITCC （ ）（ ）444(1)(0)(3)6(3)822684(2) 2(1)22()().2TTICbaCba （ - -1 1）得得（ - -1 1）數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析4(1)(0)(0)223422TTT 記記（- -1 1）2(1)(0)(1)(0)(0)12242141mmmmmmmmmTTTTT 一一般般地地(1)( )( )1

18、1,2,4410,1,.,mkkkmmmmmnTTTkn m 一一般般地地1kmTkm 其中：表示逐次分半的次數(shù)其中：表示逐次分半的次數(shù)：表示外推的次數(shù)：表示外推的次數(shù)數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析( )221(0)1(1)1( )1(),222kmmkmmkmkb aTO hhTh b ab aThb aTh I I- -其其中中( )21( )42( )221kkkmmThThTh (1)( )( )11,2,4410,1,.,mkkkmmmmmnTTTkn m 一一般般地地1kmTkm 其中：表示逐次分半的次數(shù)其中：表示逐次分半的次數(shù)：表示外推的次數(shù)：表示外推的次數(shù)數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值

19、分析數(shù)值分析1234(1)()1()1( )( )( )( )4()()22()2411,2,., ;0,1,.,;mkkmmkkkmkmT hhThhThhT hhhhTThTmnknm 步步長(zhǎng)長(zhǎng)為為 的的復(fù)復(fù)化化梯梯形形公公式式步步長(zhǎng)長(zhǎng)為為 的的復(fù)復(fù)化化辛辛卜卜生生公公式式步步長(zhǎng)長(zhǎng)為為 的的復(fù)復(fù)化化柯柯特特斯斯公公式式步步長(zhǎng)長(zhǎng)為為 的的復(fù)復(fù)化化龍龍貝貝格格公公式式144222 nnnSSC)4(312nnnTTS 144323 nnnCCR數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析龍貝格算法的計(jì)算公式龍貝格算法的計(jì)算公式1012( )(1)1111(1)()()1( )( )21(21)222441

20、1,2,., ;1,2,., ;0,1,.,;tttttimkkkmmmmbaTf af bbabaTTf aiTTTtnmnknm （ ）數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析k k0 01 12 23 34 4誤差誤差( )10,kmT 龍貝格序列計(jì)算流程龍貝格序列計(jì)算流程( )21,kmT ( )32,kmT ( )54,kmT ( )43,kmT )0(1) 1 ( T)1(1)2( T)2(1)4( T)3(1)7( T)4(1)11(T)0(2)3( T)1(2)5( T)2(2)8( T)3(2)12(T)0(3)6( T)0(4)10(T)0(5)15(T)1(3)9( T)2(3)

21、13(T)1(4)14(T)(2hO)(4hO)(6hO)(8hO)(10hO數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析龍貝格算法的計(jì)算過(guò)程龍貝格算法的計(jì)算過(guò)程 01(1)(2)11()(1)(1)1(0)(0)(0)111.,( )( )22.2,3,.,(1)0,2(2)(),(3)(2).1(4)*2(5)1,.,1441(6),(7)llmlmlmlmmmmmmmmbahba Tf af blnhHxaHHf xxxhxbTThHmlTTTTTITI （ ）若若，則則轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)若若則則，輸輸出出 , ,停停機(jī)機(jī)。2hh 數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析 21ln xdx用用龍龍貝貝格格方方法法計(jì)計(jì)算算積積分分例例3,1,2nab 解解取?。?11( )( )0.34657362Tf af b （ ）02(1)(0)110111()0.3760194222ibaTTf a 2(2)(1)111(1)111(21)22411( (1.25)(1.75)0.383699522ibaTTf aiTff 數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析4(3