2020年高考文數(shù)二輪專題復習：題型2第7講導數(shù)含解析

1、第 7 講導數(shù) 考情分析高考對導數(shù)的考查定位在作為解決初等數(shù)學問題的工具這一目 標上，主要體現(xiàn)在以下方面：(1)運用導數(shù)有關(guān)知識研究函數(shù)的單調(diào)性和極值(最值) 問題；(2)利用導數(shù)的幾何意義，研究曲線切線的斜率問題； 對一些實際問題建 立數(shù)學模型后求解題型遍布選擇、填空與解答，難度上分層考查，是高考考查 的重點內(nèi)容. 熱點題型分析 熱點 1 利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì) 方法結(jié)論 V 1 導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系 (1) f(x)0 是 f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件，如函數(shù) f(x) = x3在(一，) 上單調(diào)遞增，但 f (x) 0; (2) f (x)0 是 f(x)為增函數(shù)的必要不充分條件，

2、當函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有 f (x) 二0 時，f(x)為常數(shù)函數(shù). 2利用導數(shù)求函數(shù)最值的方法 (1)對含參數(shù)的函數(shù)解析式求最值時，常常進行分類討論，分類的原則是極值 點在給定區(qū)間的內(nèi)部還是外部，從而根據(jù)單調(diào)性求出最值； 求極值和最值時，為了直觀易懂，常常列出 x 的取值范圍與 y的符號及 y 的單調(diào)區(qū)間、極值的對應表格. 【題型分析】 (2017 全國卷 I )已知函數(shù) f(x) = ex(ex a) a2x. (1) 討論 f(x)的單調(diào)性； 若 f(x) 0, 求 a 的取值范圍. 解 函數(shù) f(x)的定義域為(x，+x)， f (x)= 2$ ae a = (2 + a) a). 若

3、a = 0,則 f(x) = e2x在(，+)上單調(diào)遞增. 若 a0，則由 f (x) = 0 得 x= In a. 當 x (x，in a)時，f (x)0. 故 f(x)在(一x，in a)上單調(diào)遞減， 在(In a，+ x)上單調(diào)遞增. 若 a0,則由 f (x) = 0,得 x= In 2 . 當 x x. In 2 時，f (x)0. 故 f(x)在一x, |n i 2 上單調(diào)遞減， 在 In 2 ,+x上單調(diào)遞增. 若 a = 0,則 f(x)= e2x，所以 f(x)0. 若 a0,則由，得當 x= In a 時,f(x)取得最小值，最小值為 f(ln a)= a2ln a, 從

4、而當且僅當一 a2In a0,即 a 1 時，f(x)0. 若 a0,即 a 2e|時,f(x)0. 綜上，a 的取值范圍是2e3, 1. 【通法指導】 運用導數(shù)知識來討論函數(shù)單調(diào)性時，首先考慮函數(shù)的定義域，再求出 f (x), 由 f (x)的正負，得出函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間；函數(shù)的最值(極值)的求法：由確認的 單調(diào)區(qū)間，結(jié)合極值點的定義及自變量的取值范圍，得出函數(shù) f(x )的極值或最值. 【針對訓練】 (2019 全國卷川)已知函數(shù) f(x) = 2x3 ax2 + b. (1)討論 f(x)的單調(diào)性； 是否存在 a, b,使得 f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為1 且最大值為 1?若存

5、 在，求出 a, b 的所有值；若不存在，說明理由. 解 (1)f (x) = 6x2 2ax= 2x(3x a). 令 f (x)= 0,得 x= 0 或 x= 3. 若 a0,則當 x ( x, 0)U |,+X 時，f (x)0; 當 x 0, | 時，f (x)0； 當 x a, 0 時，f (x)0. 故 f(x)在s, a ,(0,+8)上單調(diào)遞增，在 a, 0 上單調(diào)遞減. (2)滿足題設條件的 a, b 存在. 若 a0,則當 x 當 a3 時，由，知 f(x)在0,1上單調(diào)遞減，所以 f(x)在區(qū)間0,1上的最大 值為 f(0) = b,最小值為 f(1) = 2 a+ b.

6、此時 a, b 滿足題設條件當且僅當 2 a+ b =1, b= 1, 即卩 a=4, b= 1. F 、 3 當 0vav3 時，由(1)，知 f(x)在0,1上的最小值為 f二一|7+ b,最大值 為 b 或 2 a + b. 若一 27+ b 1, b 1,貝 U a 33 .2,與 0v av 3 矛盾. 3 ，”. a 若27+ b 1,2 a+ b= 1 貝U a 3,3 或 a 3.3 或 a 0,與 0v av 3 矛盾. 綜上，當 a 0, b 1 或 a 4, b 1 時，f(x)在0,1的最小值為一 1,最大值 為 1. 熱點 2 利用導數(shù)解決與方程的解有關(guān)的問題 方法結(jié)

7、論 V 方程的根、函數(shù)的零點、函數(shù)圖象與 x 軸的交點的橫坐標是三個等價的概念， 解決這類問題可以通過函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，根據(jù)函數(shù)圖象的走勢，通過 數(shù)形結(jié)合直觀求解. 【題型分析】 (2019 寧夏石嘴山市模擬)已知函數(shù) f(x) ex(x aex). (1) 當 a 0 時，求 f(x)的最值； (2) 若 f(x)有兩個不同的極值點，求 a 的取值范圍. 解(1)當 a 0 時，f(x) xex, 所以 f (x) (x+ 1)ex,令 f (x)0,解得 x 1, 令 f (x)0，解得 x0，解得 x0,令 g (x)0 , 所以 g(x)在(一 0)上單調(diào)遞增，在(0，+)上單

8、調(diào)遞減，所以 g(x)max= g(0) = 1. 又 g( 1) = 0，當 x0 時，g(x)0，且當 X + X時，g(x)f 0，據(jù)此可畫出 g(x) 1 的大致圖象，如圖所示.由 g(x)的圖象可得 02a1，即 0a2. 故 a 的取值范圍是 0, 1 . 【通法指導】 研究函數(shù) f(x)的極值問題常常與研究對應方程 f (x)= 0 的實根問題相互轉(zhuǎn)化. 1 .已知含參函數(shù) f(x)存在極值點，求參數(shù)范圍問題.一般可作為代數(shù)問題求 解，即對 f (x)= 0 進行參變分離，得到 a= g(x)的形式，則所求 a 的范圍就是 g(x) 的值域. 2.當研究函數(shù) f(x)的零點個數(shù)問

9、題，及方程 f(x) = 0 的實根個數(shù)問題時，也常 要進行參變分離，得到 a= g(x)的形式，然后借助數(shù)形結(jié)合(幾何法)思想求解. 【針對訓練】 (2019 全國卷 U )已知函數(shù) f(x) = (x 1)ln xx 1. 證明：(1)f(x)存在唯一的極值點； (2)f(x) = 0 有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù). 證明(1)f(x)的定義域為(0,+). , x 1 1 f (x)= + ln x 1 = In x 一. x x 因為 y= In x 在(0,+ x)上單調(diào)遞增， 1 y=在(0,+ x)上單調(diào)遞減， x 所以 f (x)在(0,+x)上單調(diào)遞增. 1 In 4

10、 1 又 f (1)= 10, 故存在唯一 x (1,2),使得 f (xo) = 0. 又當 xxo時，f (x)X0時，f (x)0, f(x)單調(diào)遞增, 因此，f(x)存在唯一的極值點. 由，知 f(x0)vf(1) = 2,又 f(e2) = e2 30, 所以 f(x)= 0 在(X0,+x)內(nèi)存在唯一根 x= a 1 由 aX01，得-1a(a)在區(qū)間 D 上恒成立？ f(x)mina(a)； (2) 不等式 f(X)b( b)在區(qū)間 D 上恒成立？ f(X)maxa(a)在區(qū)間 D 上恒成立？ ma； (2) 不等式 f(x)vb( 0,求 a 的值； (2) 設 m 為整數(shù)，且

11、對于任意正整數(shù) n, 1 + 2 + 2 1+1 vm,求 m 的最小值. 解(1)f(x)的定義域為(0,+), i1、 1 若 a0,由 f (x)= 1 二，知 X X 當 x (0, a)時，f (x)v0; 當 x (a,+ x)時，f (x)0. 所以 f(x)在(0, a)上單調(diào)遞減，在(a, + x)上單調(diào)遞增. 故 X = a 是 f(x)在(0 ,+x)上的唯一最小值點. 因為 f(1)= 0,所以當且僅當 a= 1 時，f(x)0, 故 a= 1. (2) 由，知當 x (1,+ )時，x- 1 In x0. 1 f 1、 1 令 x= 1 + 歹，得 In |1 + 2

12、 v尹， 從而 In i 1 + 2 + In 11 + 于 + + In i 1 + 2 1 1 1 1 v 2+于+尹=1尹 2， 所以 m 的最小值為 3. 【通法指導】 構(gòu)造輔助函數(shù)是用導數(shù)證明不等式的關(guān)鍵，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導數(shù) 研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式構(gòu)造輔助函數(shù)的一般方法及解題 步驟如下： (1)移項(有時需要作簡單的恒等變形)，使不等式的一端為 0,另一端即為所作 的輔助函數(shù) f(x); 求 f (x)，并驗證 f(x)在指定區(qū)間上的增減性； (3) 求出區(qū)間端點的函數(shù)值(或最值)，作比較即得所證. 【針對訓練】 (2019 天津高考)設函數(shù) f(x) =

13、 excosx, g(x)為 f(x)的導函數(shù). (1)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間； 當 x寸，扌時，證明 f(x) + g(x) nx ! 0； n n 2nn+ 4, 2nn+ -內(nèi)的零點，其中 n N , 2n n 證明 2n n+ n Xnv _e_. 2 sinx0 cosx0 解(1)由已知，有 f (x) = ex(cosx sinx). 因此，當 x ?kn+ n 2k n+于依 Z)時, 有 sinxcosx，得 f (x)0，則 f(x)單調(diào)遞減; 當 x gkn 3jn, 2k n+( (k Z)時，有 sinxvcosx, 2nn e = 0，則 f(x)單調(diào)遞增. 3 n

14、 n- , 2kn+ - (k Z), f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為 2kn+ -, 2kn+ *k Z). (% 、 證明：記 h(x) = f(x) + g(x) 2 x . 依題意及(1),有 g(x)= ex(cosx sinx), 從而 g (x)= 2exsinx. 當 x -, 2 時，g (x)0, 故 h (x)= f (x) + g (x) 2 x + g(x) ( 1) =g (x) 2 x h g = f 2 = 0. 所以當 x - 2 上單調(diào)遞減, i n ,f(x)+g(x) 2 x 0. 證明：依題意，得 U(xn)= f(xn) 1 = 0, 即 exncosxn

15、 = 1. 記 yn=Xn 2nn,貝U yn -, 2 卜 且 f(yn)= eyncosyn= exn 2n n co% 2n n )e 2nnn N). 由 f(yn)= e 2nnv 1= f(yo)及，得 yn yo. 1 n 由(2),知當 x 4, 2 時，g (x)0, g(x)在 n，n上為減函數(shù)， 所以 因此 g(yn) g(yo)0, 當 a0 時，f (x)0, f(x)在 R 上是增函數(shù)， 當 x1 時，f(x) = ex + a(x1)0； 1 當 x0 時，取 x=a， 貝 U f a 1 + a a1 = a0. 所以函數(shù) f(x)存在零點，不滿足題意. 當 a

16、0 時，令 f (x) = 0,得 x= In ( a). 在(, in ( a)上, f (x)0, f(x) 1 1 2nn n 所以 2n 卄 2 xn0，解得一 e2a1 時，證明：g(x)在(0, n上存在最小值. 解 因為 f(x)= x 2sinx+ 1, 所以 f (x)= 1 2cosx, 則 f(0) = 1, f (0)= 1，所以曲線 y=f(x)在 x= 0 處的切線方程為 y= x+ 1. 1 n 令 f (x) = 0，則 cosx=2，當 x (0, n時，得 x = 3,當 x 變化時，f (x), f(x) 的變化如下表. X 0,扌) n 3 P n 13

17、, n f (X) 一 0 + f(x) 減 最小 值 增 所以函數(shù) f(x)在(0, n上的單調(diào)遞減區(qū)間為 6 才，單調(diào)遞增區(qū)間為in，n 1 2 證明：因為 g(x) = 2x2 + mcosx,所以 g (x) = x msinx. 令 h(x)= g (x) = x msinx,貝U h (x)= 1 mcosx, 1 因為 m1，所以 m (0,1), 令 h (x)= 1 mcosx= 0,貝U cosx= m，易知 cosx=在(0, n內(nèi)有唯一解 X0, 當 x (0, X0)時，h (x)0. 所以 h(x)在(0, X0)上單調(diào)遞減，在(X0, n上單調(diào)遞增.所以 h(X0

18、)vh(0) = 0,又 h( n 手 n 0 所以 h(x)= x msinx 在(xo, n內(nèi)有唯一零點 xi, 當 x (0, xi)時，h(x)0，即 g (x)0，即 g (x)0, 所以 g(x)在(0, xi)上單調(diào)遞減，在(xi, n上單調(diào)遞增. 所以函數(shù) g(x)在 x= xi處取得最小值， 即當 mi 時，函數(shù) g(x)在(0, n上存在最小值. 4. (20i9 東北三省四校聯(lián)考)已知函數(shù) f(x)= In x x m(m 2, m 為常數(shù)). (1) 求函數(shù) f(x)在|, e 上的最小值； 設 xi , x2是函數(shù) f(x)的兩個零點，且 XiX2，證明：XiX2Vi. 解 (i)f(x)= In x x m(m0，所以 y= f(x)在(0,i)上單調(diào)遞增； 當 x (i,+ g)時,f (x)0, 所以函數(shù) f(x)在 p, e 上的最小值為 i e m. (2) 證明：由已知條件和(i)知 xi, X2滿足 In x x m= 0,且 0 xii, i I c 丄丄) In Xi Xi InX2 X2 i i、 i In