從“費(fèi)米統(tǒng)計(jì)”到半導(dǎo)體技術(shù)

1、從“費(fèi)米統(tǒng)計(jì)”到半導(dǎo)體技術(shù)摘要： 費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)（英語(yǔ)：FermiDirac statistics），有時(shí)也簡(jiǎn)稱(chēng)費(fèi)米統(tǒng)計(jì)、FD統(tǒng)計(jì)，在統(tǒng)計(jì)力學(xué)中用來(lái)描述由大量滿足泡利不相容原理的費(fèi)米子組成的系統(tǒng)中，粒子處在不同量子態(tài)上的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。這個(gè)統(tǒng)計(jì)規(guī)律的命名來(lái)源于恩里科·費(fèi)米和保羅·狄拉克，他們分別獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了這一統(tǒng)計(jì)規(guī)律。關(guān)鍵詞：費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì) 費(fèi)米能級(jí) 半導(dǎo)體技術(shù)引言：1926年發(fā)現(xiàn)費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)之前，要理解電子的某些性質(zhì)尚較為困難。直到費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)的發(fā)現(xiàn)1926年，拉爾夫·福勒在描述恒星向白矮星的轉(zhuǎn)變過(guò)程中，首次應(yīng)用了費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)的原理。1927年，阿諾

2、3;索末菲將費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)應(yīng)用到他對(duì)于金屬電子的研究中。1928年，福勒和L·W·諾德漢（Lothar Wolfgang Nordheim）在場(chǎng)致電子發(fā)射的研究中，也采用了這一統(tǒng)計(jì)規(guī)律。直至今日，費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)仍然是物理學(xué)的一個(gè)重要部分。正文：一.費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)的適用對(duì)象是，熱平衡時(shí)自旋量子數(shù)為半奇數(shù)的粒子。除此之外，應(yīng)用此統(tǒng)計(jì)規(guī)律的前提是，系統(tǒng)中各粒子之間的相互作用可以忽略不計(jì)。這樣，就可以用粒子在不同定態(tài)的分布狀況來(lái)描述大量微觀粒子組成的宏觀系統(tǒng)。不同的粒子分處于不同的能態(tài)上，這一特點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)許多性質(zhì)會(huì)產(chǎn)生影響。費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)適用于自旋量子數(shù)為半奇數(shù)的粒子，

3、這些粒子也被稱(chēng)為費(fèi)米子。由于電子的自旋量子數(shù)為1/2，因此它是費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)最普遍的應(yīng)用對(duì)象。費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)是統(tǒng)計(jì)力學(xué)的重要組成部分，它利用了量子力學(xué)的一些原理。根據(jù)量子力學(xué)，費(fèi)米子為自旋為半奇數(shù)的粒子，其本征波函數(shù)反對(duì)稱(chēng)，在費(fèi)米子的某一個(gè)能級(jí)上，最多只能容納一個(gè)粒子。因而符合費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)分布的粒子，當(dāng)他們處于某一分布（“某一分布”指這樣一種狀態(tài)：即在能量為的能級(jí)上同時(shí)有個(gè)粒子存在著，不難想象，當(dāng)從宏觀觀察體系能量一定的時(shí)候，從微觀角度觀察體系可能有很多種不同的分布狀態(tài)，而且在這些不同的分布狀態(tài)中，總有一些狀態(tài)出現(xiàn)的幾率特別的大，而其中出現(xiàn)幾率最大的分布狀態(tài)被稱(chēng)為最可幾分布）時(shí)，體系總狀態(tài)數(shù)

4、為：費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)的最可幾分布的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：由于費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)在數(shù)學(xué)處理上非常困難，因此在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)經(jīng)常引入一些近似條件，使費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)退化成為經(jīng)典的麥克斯韋-玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)。此外，對(duì)于玻色子，也有對(duì)應(yīng)的玻色-愛(ài)因斯坦統(tǒng)計(jì)予以處理。1926年發(fā)現(xiàn)費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)之前，要理解電子的某些性質(zhì)尚較為困難。例如，在常溫下，未施加電流的金屬內(nèi)部的熱容比施加電流的金屬少了大約100倍。此外，在常溫下給金屬施加一強(qiáng)電場(chǎng)，將造成場(chǎng)致電子發(fā)射（Field electron emission）現(xiàn)象，從而產(chǎn)生電流流經(jīng)金屬。研究發(fā)現(xiàn)，這個(gè)電流與溫度幾乎無(wú)關(guān)。當(dāng)時(shí)的理論難以解釋這個(gè)現(xiàn)象。當(dāng)時(shí)，由于人們主要根據(jù)的

5、是經(jīng)典靜電學(xué)理論，因此在諸如金屬電子理論等方面遇到的困難，無(wú)法得到令人滿意的解答。他們認(rèn)為，金屬中所有電子都是等效的。也就是說(shuō)，金屬中的每個(gè)電子都以相同的程度對(duì)金屬的熱量做出貢獻(xiàn)（這個(gè)量是波爾茲曼常數(shù)的一次項(xiàng)）。上述問(wèn)題一直困擾著科學(xué)家，直到費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)的發(fā)現(xiàn)，才得到較好地解釋。1926年，恩里科·費(fèi)米、保羅·狄拉克各自獨(dú)立地在發(fā)表了有關(guān)這一統(tǒng)計(jì)規(guī)律的兩篇學(xué)術(shù)論文。另有來(lái)源顯示，P·喬丹（Pascual Jordan）在1925年也對(duì)這項(xiàng)統(tǒng)計(jì)規(guī)律進(jìn)行了研究，他稱(chēng)之為“泡利統(tǒng)計(jì)”，不過(guò)他并未及時(shí)地發(fā)表他的研究成果。狄拉克稱(chēng)此項(xiàng)研究是費(fèi)米完成的，他稱(chēng)之為“費(fèi)米統(tǒng)計(jì)”

6、，并將對(duì)應(yīng)的粒子稱(chēng)為“費(fèi)米子”。1926年，拉爾夫·福勒在描述恒星向白矮星的轉(zhuǎn)變過(guò)程中，首次應(yīng)用了費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)的原理。1927年，阿諾·索末菲將費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)應(yīng)用到他對(duì)于金屬電子的研究中。1928年，福勒和L·W·諾德漢（Lothar Wolfgang Nordheim）在場(chǎng)致電子發(fā)射的研究中，也采用了這一統(tǒng)計(jì)規(guī)律。直至今日，費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)仍然是物理學(xué)的一個(gè)重要部分。二.費(fèi)米狄拉克分布根據(jù)費(fèi)米狄拉克分布，給定費(fèi)米子組成的系統(tǒng)中處于量子態(tài)上的平均粒子數(shù)可以通過(guò)下面的式子計(jì)算。其中是波爾茲曼常數(shù)，為絕對(duì)溫度（熱力學(xué)溫標(biāo)），為量子態(tài)上單個(gè)粒子的能量，是化學(xué)勢(shì)

7、。當(dāng)時(shí)，化學(xué)勢(shì)就是系統(tǒng)的費(fèi)米能。半導(dǎo)體中電子的費(fèi)米能，也被被稱(chēng)為費(fèi)米能級(jí)。要應(yīng)用費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)，系統(tǒng)必須滿足一定的條件：系統(tǒng)的費(fèi)米子數(shù)量必須足夠大，以至于再加入一個(gè)費(fèi)米子所引起化學(xué)勢(shì)的變化可以忽略不計(jì)。由于費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)的推導(dǎo)過(guò)程中利用了泡利不相容原理，即單個(gè)量子態(tài)上最多能有一個(gè)粒子，這樣的結(jié)果就是某個(gè)量子態(tài)上的平均量子數(shù)滿足。· 費(fèi)米狄拉克分布·平均粒子數(shù)和能量的關(guān)系，當(dāng)溫度較高時(shí)，平均粒子數(shù)的變化更加平緩。當(dāng)，。不過(guò)，圖中未能展現(xiàn)，當(dāng)溫度更高時(shí)，會(huì)下降。·平均粒子數(shù)和溫度的關(guān)系（當(dāng)）前面的章節(jié)敘述了給定費(fèi)米子系統(tǒng)在不同量子態(tài)上的分布，一個(gè)量子態(tài)上最多只能具有一

8、個(gè)費(fèi)米子。利用費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)，還可以獲得費(fèi)米子系統(tǒng)不同能量值上的分布情況，這與分析量子態(tài)的原理略有不同，因?yàn)榭赡艹霈F(xiàn)多個(gè)定態(tài)具有同一能量值，即出現(xiàn)所謂的簡(jiǎn)并能量態(tài)情況。將費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)中某個(gè)量子態(tài)上的平均粒子數(shù)與簡(jiǎn)并度（即能量值為的量子態(tài)數(shù)）相乘，就可以得到能量為的平均費(fèi)米子數(shù)。當(dāng)時(shí)，可能出現(xiàn)。導(dǎo)致這個(gè)現(xiàn)象的原因前面提到過(guò)，即具有同一個(gè)能量值的粒子可能處于不同的定態(tài)，也就是說(shuō)完全可能出現(xiàn)多個(gè)粒子處于同一能量值。當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)的能量是準(zhǔn)連續(xù)（quasi-continuum）的，定義其單位體積內(nèi)單位能量域的量子態(tài)數(shù)為狀態(tài)密度。單位能量域的平均費(fèi)米子數(shù)為這里被稱(chēng)為費(fèi)米函數(shù)，它與前面用來(lái)表達(dá)量子態(tài)上粒子數(shù)

9、分布的函數(shù)具有相同的形式。故量子范疇和經(jīng)典范疇如果經(jīng)典范疇中涉及的位移、動(dòng)量之間的關(guān)系還遠(yuǎn)未達(dá)到不確定性原理所設(shè)定的極限，通?？梢圆捎名溈怂鬼f-玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)來(lái)代替費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)，這樣做可以簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)計(jì)算的難度。如果粒子平均間距遠(yuǎn)大于粒子的平均物質(zhì)波波長(zhǎng)，就可以采用上述經(jīng)典范疇的處理方式。這里，為普朗克常數(shù)，為粒子的質(zhì)量。對(duì)于常溫（約300開(kāi)爾文）下金屬中的電子，由于，因此該系統(tǒng)遠(yuǎn)離經(jīng)典范疇。這是因?yàn)殡娮淤|(zhì)量較小，并且在金屬中聚集程度較高。這樣，為了分析金屬中的傳導(dǎo)電子，必須采用費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)。由恒星演變而來(lái)的白矮星，是另一個(gè)不屬于經(jīng)典范疇、必須采用費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)的例子。盡管白矮星的溫度很高（其表

10、面溫度通常能達(dá)到10,000開(kāi)爾文），但是它內(nèi)部高度聚集的電子和每個(gè)電子的低質(zhì)量，使得處理這問(wèn)題必須采用費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)，而不能用經(jīng)典的波爾茲曼統(tǒng)計(jì)近似處理。三.半導(dǎo)體的能帶結(jié)構(gòu)半導(dǎo)體中的電子所具有的能量被限制在基態(tài)與自由電子之間的幾個(gè)能帶里，在能帶內(nèi)部電子能量處于準(zhǔn)連續(xù)狀態(tài)，而能帶之間則有帶隙相隔開(kāi)，電子不能處于帶隙內(nèi)。當(dāng)電子在基態(tài)時(shí)，相當(dāng)于此電子被束縛在原子核附近；而相反地，如果電子具備了自由電子所需要的能量，那么就能完全離開(kāi)此材料。每個(gè)能帶都有數(shù)個(gè)相對(duì)應(yīng)的量子態(tài)，而這些量子態(tài)中，能量較低的都已經(jīng)被電子所填滿。這些已經(jīng)被電子填滿的量子態(tài)中，能量最高的就被稱(chēng)為價(jià)電帶。半導(dǎo)體和絕緣體在正常情況下

11、，幾乎所有電子都在價(jià)電帶或是其下的量子態(tài)里，因此沒(méi)有自由電子可供導(dǎo)電。半導(dǎo)體和絕緣體之間的差異在于兩者之間能帶間隙寬度不同，亦即電子欲從價(jià)帶跳入導(dǎo)電帶時(shí)所必須獲得的最低能量不一樣。通常能帶間隙寬度小于3電子伏特（eV）者為半導(dǎo)體，以上為絕緣體。在絕對(duì)零度時(shí)，固體材料中的所有電子都在價(jià)帶中，而導(dǎo)電帶為完全空置。當(dāng)溫度開(kāi)始上升，高于絕對(duì)零度時(shí)，有些電子可能會(huì)獲得能量而進(jìn)入導(dǎo)電帶中。導(dǎo)電帶是所有能夠讓電子在獲得外加電場(chǎng)的能量后，移動(dòng)穿過(guò)晶體、形成電流的最低能帶，所以導(dǎo)電帶的位置就緊鄰價(jià)電帶之上，而導(dǎo)電帶和價(jià)電帶之間的差距即是能帶間隙。通常對(duì)半導(dǎo)體而言，能帶間隙的大小約為1電子伏特上下。在導(dǎo)電帶中，和

12、電流形成相關(guān)的電子通常稱(chēng)為自由電子。根據(jù)包利不相容原理，同一個(gè)量子態(tài)內(nèi)不能有兩個(gè)電子，所以絕對(duì)零度時(shí)，費(fèi)米能級(jí)以下的能帶包括價(jià)電帶全部被填滿。由于在填滿的能帶內(nèi)，具有相反方向動(dòng)量的電子數(shù)目相等，所以宏觀上不能載流。在有限溫度，由熱激發(fā)產(chǎn)生的導(dǎo)電帶電子和價(jià)電帶空穴使得導(dǎo)電帶和價(jià)電帶都未被填滿，因而在外電場(chǎng)下可以觀測(cè)到宏觀凈電流。在價(jià)電帶內(nèi)的電子獲得能量后便可躍升到導(dǎo)電帶，而這便會(huì)在價(jià)帶內(nèi)留下一個(gè)空缺，也就是所謂的空穴。導(dǎo)電帶中的電子和價(jià)電帶中的空穴都對(duì)電流傳遞有貢獻(xiàn)，空穴本身不會(huì)移動(dòng)，但是其它電子可以移動(dòng)到這個(gè)空穴上面，等效于空穴本身往反方向移動(dòng)。相對(duì)于帶負(fù)電的電子，空穴的電性為正電。由化學(xué)鍵結(jié)

13、的觀點(diǎn)來(lái)看，獲得足夠能量、進(jìn)入導(dǎo)電帶的電子也等于有足夠能量可以打破電子與固體原子間的共價(jià)鍵，而變成自由電子，進(jìn)而對(duì)電流傳導(dǎo)做出貢獻(xiàn)。半導(dǎo)體和導(dǎo)體之間有個(gè)顯著的不同是半導(dǎo)體的電流傳導(dǎo)同時(shí)來(lái)自電流與空穴的貢獻(xiàn)，而導(dǎo)體的費(fèi)米能階則已經(jīng)在導(dǎo)帶內(nèi)，因此電子不需要很大的能量即可找到空缺的量子態(tài)供其跳躍、造成電流傳導(dǎo)。固體材料內(nèi)的電子能量分布遵循費(fèi)米-狄拉克分布。在絕對(duì)零度時(shí)，材料內(nèi)電子的最高能量即為費(fèi)米能階，當(dāng)溫度高于絕對(duì)零度時(shí)，費(fèi)米能階為所有能階中，被電子占據(jù)概率等于0.5的能階。半導(dǎo)體材料內(nèi)電子能量分布為溫度的函數(shù)也使其導(dǎo)電特性受到溫度很大的影響，當(dāng)溫度很低時(shí)，可以跳到導(dǎo)電帶的電子較少，因此導(dǎo)電性也會(huì)

14、變得較差。四. 半導(dǎo)體技術(shù)半導(dǎo)體技術(shù)就是以半導(dǎo)體為材料，制作成組件及集成電路的技術(shù)。在周期表里的元素，依照導(dǎo)電性大致可以分成導(dǎo)體、半導(dǎo)體與絕緣體三大類(lèi)。最常見(jiàn)的半導(dǎo)體是硅（Si），當(dāng)然半導(dǎo)體也可以是兩種元素形成的化合物，例如砷化鎵（GaAs），但化合物半導(dǎo)體大多應(yīng)用在光電方面。絕大多數(shù)的電子組件都是以硅為基材做成的，因此電子產(chǎn)業(yè)又稱(chēng)為半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)。半導(dǎo)體技術(shù)最大的應(yīng)用是集成電路（IC），舉凡計(jì)算機(jī)、手機(jī)、各種電器與信息產(chǎn)品中，一定有 IC 存在，它們被用來(lái)發(fā)揮各式各樣的控制功能，有如人體中的大腦與神經(jīng)。如果把計(jì)算機(jī)打開(kāi)，除了一些線路外，還會(huì)看到好幾個(gè)線路板，每個(gè)板子上都有一些大小與形狀不同的黑色

15、小方塊，周?chē)墙饘俳幽_，這就是封裝好的 IC。如果把包覆的黑色封裝除去，可以看到里面有個(gè)灰色的小薄片，這就是 IC。如果再放大來(lái)看，這些 IC 里面布滿了密密麻麻的小組件，彼此由金屬導(dǎo)線連接起來(lái)。除了少數(shù)是電容或電阻等被動(dòng)組件外，大都是晶體管，這些晶體管由硅或其氧化物、氮化物與其它相關(guān)材料所組成。整顆 IC 的功能決定于這些晶體管的特性與彼此間連結(jié)的方式。半導(dǎo)體技術(shù)的演進(jìn)，除了改善性能如速度、能量的消耗與可靠性外，另一重點(diǎn)就是降低制作成本。降低成本的方式，除了改良制作方法，包括制作流程與采用的設(shè)備外，如果能在硅芯片的單位面積內(nèi)產(chǎn)出更多的 IC，成本也會(huì)下降。所以半導(dǎo)體技術(shù)的一個(gè)非常重要的發(fā)展趨

16、勢(shì)，就是把晶體管微小化。當(dāng)然組件的微小化會(huì)伴隨著性能的改變，但很幸運(yùn)的，這種演進(jìn)會(huì)使 IC 大部分的特性變好，只有少數(shù)變差，而這些就需要利用其它技術(shù)來(lái)彌補(bǔ)了。半導(dǎo)體制程有點(diǎn)像是蓋房子，分成很多層，由下而上逐層依藍(lán)圖布局迭積而成，每一層各有不同的材料與功能。隨著功能的復(fù)雜，不只結(jié)構(gòu)變得更繁復(fù)，技術(shù)要求也越來(lái)越高。與建筑物最不一樣的地方，除了尺寸外，就是建筑物是一棟一棟地蓋，半導(dǎo)體技術(shù)則是在同一片芯片或同一批生產(chǎn)過(guò)程中，同時(shí)制作數(shù)百萬(wàn)個(gè)到數(shù)億個(gè)組件，而且要求一模一樣。因此大量生產(chǎn)可說(shuō)是半導(dǎo)體工業(yè)的最大特色 。把組件做得越小，芯片上能制造出來(lái)的 IC 數(shù)也就越多。盡管每片芯片的制作成本會(huì)因技術(shù)復(fù)雜度

17、增加而上升，但是每顆 IC 的成本卻會(huì)下降。所以價(jià)格不但不會(huì)因性能變好或功能變強(qiáng)而上漲，反而是越來(lái)越便宜。正因如此，綜觀其它科技的發(fā)展，從來(lái)沒(méi)有哪一種產(chǎn)業(yè)能夠像半導(dǎo)體這樣，持續(xù)維持三十多年的快速發(fā)展。半導(dǎo)體制程是一項(xiàng)復(fù)雜的制作流程，先進(jìn)的 IC 所需要的制作程序達(dá)一千個(gè)以上的步驟。這些步驟先依不同的功能組合成小的單元，稱(chēng)為單元制程，如蝕刻、微影與薄膜制程；幾個(gè)單元制程組成具有特定功能的模塊制程，如隔絕制程模塊、接觸窗制程模塊或平坦化制程模塊等；最后再組合這些模塊制程成為某種特定 IC 的整合制程。盡管有種種挑戰(zhàn)，半導(dǎo)體技術(shù)還是不斷地往前進(jìn)步。分析其主要原因，總括來(lái)說(shuō)有下列幾項(xiàng)。先天上，硅這個(gè)元

18、素和相關(guān)的化合物性質(zhì)非常好，包括物理、化學(xué)及電方面的特性。利用硅及相關(guān)材料組成的所謂金屬氧化物半導(dǎo)體場(chǎng)效晶體管，做為開(kāi)關(guān)組件非常好用。此外，因?yàn)樾阅軆?yōu)異，輕、薄、短、小，加上便宜，所以應(yīng)用范圍很廣，可以用來(lái)做各種控制。換言之，市場(chǎng)需求很大，除了各種產(chǎn)業(yè)都有需要外，新興的所謂 3C 產(chǎn)業(yè)，更是以 IC 為主角。因?yàn)樾枨罅看螅匀晃罅康娜瞬排c資源投入新技術(shù)與產(chǎn)品的研發(fā)。產(chǎn)業(yè)龐大，分工也越來(lái)越細(xì)。半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)可分成幾個(gè)次領(lǐng)域，每個(gè)次領(lǐng)域也都非常龐大，譬如 IC 設(shè)計(jì)、光罩制作、半導(dǎo)體制造、封裝與測(cè)試等。其它配合產(chǎn)業(yè)還包括半導(dǎo)體設(shè)備、半導(dǎo)體原料等，可說(shuō)是一個(gè)火車(chē)頭工業(yè)。因?yàn)橥度胝弑?，?jìng)爭(zhēng)也劇烈，進(jìn)展迅速，造成良性循環(huán)。一個(gè)普遍現(xiàn)象是各大學(xué)電機(jī)、電子方面的課程越來(lái)越多，分組越細(xì)，并且陸續(xù)從工學(xué)院中獨(dú)立成電機(jī)電子與信息方面的學(xué)院。其它產(chǎn)業(yè)也紛紛尋求在半