利用數(shù)軸教學(xué)動點問題初探

1、利用數(shù)軸教學(xué)動點問題初探桃花江鎮(zhèn)中心學(xué)校羅公平在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有一類重要的題型一一動點問題的解答， 近 幾年來，動點最值問題頻頻出現(xiàn)在各地中考、競賽試卷中。這類試題 突出了對學(xué)生基本數(shù)學(xué)素質(zhì)的測試， 加強了探究和創(chuàng)新意識，培養(yǎng)了 學(xué)生靈活運用知識解決實際問題能力，對學(xué)生思維能力的提高有較大 的幫助。但是這類題目學(xué)生解答起來具有一定的難度，不易理解，容 易出錯。為解決這一難點，桃江縣教研室在七年級期末考試命題中就 開始考查這一知識點，讓學(xué)生盡早熟悉動點問題的解答方法。數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，點在數(shù)軸上運動時，由于數(shù)軸向右的方 向為正方向，因此向右運動的速度看作正速度，而向作運動的速度看 作負速度

2、。這樣在起點的基礎(chǔ)上加上點的運動路程就可以直接得到運 動后點的坐標。因此，在七年級數(shù)學(xué)教學(xué)中我們可以利用 數(shù)軸來教學(xué) 動點問題。例1 (桃江縣2015七年級期末考試) 如圖，數(shù)軸上兩個動點 A B開始時所表示的數(shù)分別為8, 4, A、B兩點各自以一定的速 度在數(shù)軸上運動，且A點的運動速度為每秒2個單位.(1) A B兩點同時出發(fā)相向而行，在原點處相遇，求 B點的運動速 度；(2) A B兩點按上面的速度同時出發(fā)，向數(shù)軸正方向運動，幾秒鐘 時兩點相距6個單位長度？(3) A B兩點按上面的速度同時出發(fā)，向數(shù)軸負方向運動，與此同時，C點從原點出發(fā)作同方向的運動，如果在運動過程中，始終有CA 2CB

3、求C點的運動速度.AO BI1>-804分析：(1)易求得A點的運動時間為4秒，所以B點的運動速度為 每秒1個單位.(2)是一個追及問題，需分兩種情況，A點在B點前面和A點在B點后面。中先找出運動過程中 C A B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)，再根據(jù) 其位置關(guān)系確定兩點間距離的關(guān)系式，這樣就理順了整個運動過程。解：(1) B點運動的速度為：4 +(8小2) = 1(單位/秒)(2)設(shè)x秒時兩點相距6個單位長度，根據(jù)題意得：(a) A點在B點后面時，12 + x-2x=6,解得：x = 6(b) A點在B點前面時 ，2x ( 1 2 + x) =6解得：x = 1 8答：6秒或1 8秒時，兩點相距6個

4、單位長度；(3)設(shè)C點的運動速度為每秒v個單位長度，運動時間為t秒，當(dāng) t = 0 時，CA= 8, CB= 4, CA= 2CB 符合題意，當(dāng) t#0 時， 貝 U 2t+8vt =2(vt+4t),即 3vt =4t ,所以 v= 4 ,3答：C點的運動速度是 每秒3個單位長度.3點評：熟悉數(shù)軸上兩點間距離以及數(shù)軸上動點坐標的表示方法 是解決本題的關(guān)鍵。例2.（桃江縣2012年八年級全能知識競賽）電子跳蚤落在數(shù)軸上 的某點Ko,第一步從Ko向左跳1個單位到K,第二步由K向右跳2 個單位到K2,第三步由K向左跳3個單位到K,第四步由K跳4個 單位到，按以上規(guī)律跳了 100步時，電子跳蚤落在數(shù)

5、軸上的點 出0所表示的數(shù)恰是20.04 ,試求電子跳蚤的初始位置 Ko點所表示的 數(shù)。分析：易得每跳動2次，向右平移1個單位，跳動100次，相當(dāng)于在 原數(shù)的基礎(chǔ)上加了 50,相應(yīng)的等量關(guān)系為：原數(shù)字+50=2 0.0 4 解：k0 點所對應(yīng)的數(shù)為 2 0 . 0 4 -100+99-98+97-6+5-4+3-2+1=- 2 9.96點評：數(shù)軸上一個點表示的數(shù)為a,向左運動b個單位后表示的數(shù)為 ab;向右運動b個單位后所表示的數(shù)為a+b。運用這一特征探究變 化規(guī)律時，要注意在循環(huán)往返運動過程中的方向變化。例3.如圖，已知A、B分別為數(shù)軸上兩點，A點對應(yīng)的數(shù)為一20, B點對應(yīng)的數(shù)為100。AB

6、*>-20100求AB中點M對應(yīng)的數(shù);現(xiàn)有一只電子螞蟻P從B點出發(fā)，以6個單位/秒的速度向左運 動，同時另一只電子螞蟻 Q恰好從A點出發(fā)，以4個單位/秒的速度 向右運動，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的 C點相遇，求C點對應(yīng)的數(shù)；若當(dāng)電子螞蟻P從B點出發(fā)時，以6個單位/秒的速度向左運動， 同時另一只電子螞蟻Q恰好從A點出發(fā)，以4個單位/秒的速度也向 左運動，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的 D點相遇，求D點對應(yīng)的數(shù)。分析：設(shè)AB中點M對應(yīng)的數(shù)為x,由BM=MA所以x ( 20) =100 x,解得x=40 即AB中點M對應(yīng)的數(shù)為40易知數(shù)軸上兩點AB距離，AB=140設(shè)PQ相向而行t秒在C點相遇，依題意

7、有，4t+6t=120 ，解得 t=12(或由P、Q運動到C所表示的數(shù)相同，得一20+4t=1006t ,t=12)相遇C點表示的數(shù)為：一20+4t=28 (或1006t=28)設(shè)運動y秒，P、Q在D點相遇，則此時P表示的數(shù)為100 6y, Q表本的數(shù)為一20 4y。P、Q為同向而行的追及問題。依題意有，6y4y=120,解得y=60(或由P、Q運動到C所表示的數(shù)相同，得一204y=100 6y,y=60)D點表示的數(shù)為：一204y=-260 (或 1006y=260)點評：熟悉數(shù)軸上兩點間距離以及數(shù)軸上動點坐標的表示方法是 解決本題的關(guān)鍵。是一個相向而行的相遇問題；是一個同向而行 的追及問題

8、。在、中求出相遇或追及的時間是基礎(chǔ)。練習(xí)題：1.已知數(shù)軸上 A B兩點對應(yīng)數(shù)分別為一2, 4, P為數(shù)軸上一動 點，對應(yīng)數(shù)為X。若P為線段AB的三等分點，求P點對應(yīng)的數(shù)。數(shù)軸上是否存在P點，使P點到A B距離和為10?若存在， 求出x的值；若不存在，請說明理由。若點A、點B和P點（P點在原點）同時向左運動。它們的速度 分別為1、2、1個單位長度/分鐘，則第幾分鐘時P為AB的中點？（參考答案：?；?;一4或6;2）2 .已知數(shù)軸上有 A B、C三點，分別代表一24, 10, 10,兩只電 子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點同時相向而行，甲的速度為4個單位/ 秒。問多少秒后，甲到A、B、C的距離和為40