理論力學(xué)第6章 剛體的平面運動分析

1、 前面研究了點的復(fù)合運動。這里研究剛體前面研究了點的復(fù)合運動。這里研究剛體的平面運動。剛體的平面運動可以看做與點的的平面運動。剛體的平面運動可以看做與點的復(fù)合運動相對應(yīng)。是兩個典型代表對象的典型復(fù)合運動相對應(yīng)。是兩個典型代表對象的典型復(fù)合運動。復(fù)合運動。zxyOzxyP，P1 P1r rr r 1r r 剛體平面運動與點的復(fù)合運動的關(guān)系：也就是剛體平面剛體平面運動與點的復(fù)合運動的關(guān)系：也就是剛體平面運動與動點在動系（平移和轉(zhuǎn)動）運動的關(guān)系。運動與動點在動系（平移和轉(zhuǎn)動）運動的關(guān)系。 剛體平面運動的一種典型形式是，剛體既做平移也做轉(zhuǎn)剛體平面運動的一種典型形式是，剛體既做平移也做轉(zhuǎn)動，即是平移和轉(zhuǎn)

2、動的復(fù)合運動。動，即是平移和轉(zhuǎn)動的復(fù)合運動。 動點在平移動系中的運動，等同于剛體做平面運動的同動點在平移動系中的運動，等同于剛體做平面運動的同時，其上任一點還隨剛體做轉(zhuǎn)動。或動點在隨剛體轉(zhuǎn)動的同時，其上任一點還隨剛體做轉(zhuǎn)動。或動點在隨剛體轉(zhuǎn)動的同時，在相對剛體做著平移運動。即剛體上任一點的運動可以時，在相對剛體做著平移運動。即剛體上任一點的運動可以分解為一個隨動系的運動，和在動系中的運動。即動前面介分解為一個隨動系的運動，和在動系中的運動。即動前面介紹的動點在牽連動系中的運動。紹的動點在牽連動系中的運動。 剛體平面運動的力學(xué)模型剛體平面運動的力學(xué)模型 剛體平面運動的運動方程剛體平面運動的運動方

3、程 平面運動分解為平移和轉(zhuǎn)動平面運動分解為平移和轉(zhuǎn)動 剛體平面運動的力學(xué)模型剛體平面運動的力學(xué)模型 這些平面上的對應(yīng)點具有相這些平面上的對應(yīng)點具有相同運動軌跡、速度和加速度。同運動軌跡、速度和加速度。 剛體上平行于固定平面的剛體上平行于固定平面的所有平面具有相同的運動規(guī)律；所有平面具有相同的運動規(guī)律； 剛體的平面運動剛體的平面運動 剛體上處于同一平面內(nèi)各點到某一剛體上處于同一平面內(nèi)各點到某一固定平面的距離保持不變。固定平面的距離保持不變。剛體平面運動的力學(xué)模型平面圖形剛體平面運動的力學(xué)模型平面圖形在剛體上作平行于在剛體上作平行于固定平面的平面，這樣的平面與固定平面的平面，這樣的平面與剛體輪廓的

4、交線所構(gòu)成的圖形。剛體輪廓的交線所構(gòu)成的圖形。 平面圖形上的任意直線這一平面圖形上的任意直線這一直線的運動可以代表平面圖形的直線的運動可以代表平面圖形的運動，也就是剛體的平面運動。運動，也就是剛體的平面運動。 剛體平面運動的力學(xué)模型剛體平面運動的力學(xué)模型 剛體平面運動的運動方程剛體平面運動的運動方程 平面運動分解為平移和轉(zhuǎn)動平面運動分解為平移和轉(zhuǎn)動剛體平面運動的運動方程剛體平面運動的運動方程 確定直線確定直線AB或平面圖形在或平面圖形在Oxy參考系中的位置，需要參考系中的位置，需要3個獨立變量個獨立變量(xA , yA , )。其中其中xA , yA確定點確定點A在平在平面內(nèi)的位置；面內(nèi)的位置

5、； 確定直線確定直線AB在平在平面內(nèi)的方位；因此，面內(nèi)的方位；因此， xA 、yA 、 便便確定了直線確定了直線AB在參考系中的位置，在參考系中的位置，從而也確定了平面圖形在參考系中從而也確定了平面圖形在參考系中的位置。的位置。區(qū)別：區(qū)別：剛體運動的描述剛體運動的描述點運動的描述點運動的描述確定物體在參確定物體在參考系中位置的獨立變量：考系中位置的獨立變量：q=(xA,yA, )N3確定物體在參考系中位置確定物體在參考系中位置所需要的廣義座標(biāo)數(shù)：所需要的廣義座標(biāo)數(shù)：N確定物體在參考系中位置確定物體在參考系中位置的獨立變量：的獨立變量：q=(xA,yA, )()()(321tftfytfxAA3

6、 3個獨立變量隨時間變化的函個獨立變量隨時間變化的函數(shù)，即為剛體平面運動方程：數(shù)，即為剛體平面運動方程： 已知：已知：曲柄滑塊機構(gòu)中曲柄滑塊機構(gòu)中OA=r , AB=l;曲柄曲柄OA以等以等角速度角速度 繞繞O軸軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動。 求：求： 1. 連桿的平面運動方程；連桿的平面運動方程； 2. 連桿上連桿上P點點(AP=l1)的運動軌跡、的運動軌跡、速度與加速度。速度與加速度。sinsin,sinsin,lrrttl 首先確定首先確定與與之間的關(guān)之間的關(guān)系，為此需要建立參考系系，為此需要建立參考系Oxy。由圖中的幾何關(guān)系，有由圖中的幾何關(guān)系，有xycossin,arcsin(sin)AArxrtyr

7、ttl,對于對于A點，點，sinsin,sinsinlrrttl,xyxysinsin,sinsinlrrttl,11coscos( - )sinPPxrtlyl l, xPyP211cos1(sin)( - )sinPPrxrtltlr l lytl, 考察連桿考察連桿AB上上P點的座標(biāo)點的座標(biāo)與與和和 的關(guān)系的關(guān)系，進而建立進而建立P點的座標(biāo)與點的座標(biāo)與時間之間的關(guān)系時間之間的關(guān)系。211cos1(sin)( - )sinPPrxrtltlr l lytl,tlrtlrlrlxPcos2)(41cos)(41121211( - )sinPr l lytlxyxPyP 剛體平面運動的力學(xué)模型

8、剛體平面運動的力學(xué)模型 剛體平面運動的運動方程剛體平面運動的運動方程 平面運動分解為平移和轉(zhuǎn)動平面運動分解為平移和轉(zhuǎn)動 平面運動分解為平移和轉(zhuǎn)動平面運動分解為平移和轉(zhuǎn)動 由剛體的平面運動方程可以看由剛體的平面運動方程可以看到，如果圖形中的到，如果圖形中的A點固定不動，點固定不動，則剛體將作定軸轉(zhuǎn)動；如果線段則剛體將作定軸轉(zhuǎn)動；如果線段AB的方位不變（即的方位不變（即=常數(shù)），則常數(shù)），則剛體將作平移。剛體將作平移。 可見，平面圖形的運動可以看可見，平面圖形的運動可以看成是平移和轉(zhuǎn)動的合成運動。成是平移和轉(zhuǎn)動的合成運動。 )()()(321tftfytfxAA 設(shè)在時間間隔設(shè)在時間間隔t內(nèi)，平面

9、圖形由位置內(nèi)，平面圖形由位置I運動到位置運動到位置，相應(yīng)地，相應(yīng)地，圖形內(nèi)任取的線段從圖形內(nèi)任取的線段從AB運動到運動到A B 。 在在A點處假想地安放一個平移坐標(biāo)系，當(dāng)圖形運動時，令平移點處假想地安放一個平移坐標(biāo)系，當(dāng)圖形運動時，令平移坐標(biāo)系的坐標(biāo)系的Ax 和和Ay 軸始終分別平行于定坐標(biāo)軸軸始終分別平行于定坐標(biāo)軸Ox和和Oy，通常將，通常將這一平移的動系的原點這一平移的動系的原點A稱為基點（稱為基點（base point）。）。 于是，平面圖形的平面運動分解為隨同基點于是，平面圖形的平面運動分解為隨同基點A的平移的平移（牽連運動）和繞基點（牽連運動）和繞基點A的轉(zhuǎn)動（相對運動）。的轉(zhuǎn)動（相

10、對運動）。 剛體平面運動時剛體平面運動時，剛體上各點的軌跡，剛體上各點的軌跡、速度與加速度各不、速度與加速度各不相同。相同。 平移運動的軌跡平移運動的軌跡、速度和加速度隨基、速度和加速度隨基點選取的不同而不同點選取的不同而不同。1200limlim tttt和和a分別稱為稱為平面分別稱為稱為平面圖形的角速度和角加速圖形的角速度和角加速度。度。 0dlimdttt 22ddta 凡涉及到平面運動圖形相對轉(zhuǎn)動的角速度和角凡涉及到平面運動圖形相對轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度時，不必指明基點，只需說明平面圖形的角加速度時，不必指明基點，只需說明平面圖形的角速度和角加速度。速度和角加速度。 因為平移系因為平移

11、系(動系動系)相對于定參考系沒有方位的相對于定參考系沒有方位的變化，平面圖形的角速度既是平面圖形相對于平變化，平面圖形的角速度既是平面圖形相對于平移系的相對角速度，也是平面圖形相對于定參考移系的相對角速度，也是平面圖形相對于定參考系的絕對角速度。系的絕對角速度。 基點法基點法 速度投影定理法速度投影定理法 瞬時速度中心法瞬時速度中心法 基點法基點法 在作平面運動的剛體上任選基在作平面運動的剛體上任選基點，建立平移動系，動系上的點，建立平移動系，動系上的A點點隨平面圖形隨平面圖形S上的上的A點一起運動。在點一起運動。在平移動系上觀察平面圖形平移動系上觀察平面圖形S的運動的運動為定軸轉(zhuǎn)動，動系自身

12、又作平移，為定軸轉(zhuǎn)動，動系自身又作平移，因此，平面圖形因此，平面圖形S的運動可視為平的運動可視為平移和轉(zhuǎn)動的合成。移和轉(zhuǎn)動的合成。yxABvAvAvBAvBvAvBAyxOvAvA定系定系Oxy基點基點A平移系平移系A(chǔ)xy平面圖形平面圖形S平面圖形的角速度平面圖形的角速度 S基點速度基點速度 vAB點的相對速度點的相對速度 vBAB點的絕對速度點的絕對速度 vBvr rByxvBvAvBAyxOSr B定軸轉(zhuǎn)動時的速度公式定軸轉(zhuǎn)動時的速度公式v r ,在平移系中為在平移系中為：vB= vA+ vBAvBA rB 平面圖形上任意點的速度，等于基點的速度，與這一平面圖形上任意點的速度，等于基點的速

13、度，與這一點對于以基點為原點的平移系的相對速度的矢量和。點對于以基點為原點的平移系的相對速度的矢量和。SvAvAvBAvB 速度投影定理法速度投影定理法rABSrABvBB 應(yīng)用速度合成定理應(yīng)用速度合成定理等號兩側(cè)同點乘以等號兩側(cè)同點乘以 rAB因為因為vAB垂直于垂直于rABcos cos AABBvv 平面圖形上任意兩點的速度在這平面圖形上任意兩點的速度在這兩點連線上的投影相等。兩點連線上的投影相等。SvAvBvA 這個定理的含義也可以從另一角度理解：平面圖形是從這個定理的含義也可以從另一角度理解：平面圖形是從剛體上截取的，圖形上剛體上截取的，圖形上A、B兩點的距離應(yīng)保持不變。所以這兩點的

14、距離應(yīng)保持不變。所以這兩點的速度在兩點的速度在AB方向的分量必須相等。否則兩點距離必將伸方向的分量必須相等。否則兩點距離必將伸長或縮短。因此，速度投影定理對所有的剛體運動形式都是長或縮短。因此，速度投影定理對所有的剛體運動形式都是適用的。適用的。 應(yīng)用速度投影定理分析平面圖形上點的速度的方法稱為應(yīng)用速度投影定理分析平面圖形上點的速度的方法稱為速度投影定理法。速度投影定理法。 cos cos AABBvv 平面圖形上任意兩點的速度在這兩平面圖形上任意兩點的速度在這兩點連線上的投影相等。點連線上的投影相等。 瞬時速度中心法瞬時速度中心法0 xySPvAvAA 平面圖形平面圖形S上的上的基點基點A，

15、基點基點速度速度vA ,平面圖形角速度平面圖形角速度0 。 過過A點作點作vA的垂直線的垂直線PA，PA上各點的速度由兩部分組成：上各點的速度由兩部分組成： 跟隨基點平移的速度跟隨基點平移的速度vA 牽連速度，各點相同；牽連速度，各點相同； 相對于平移系的速度相對于平移系的速度vPA相對速度相對速度 ，自，自A點起線性分布。點起線性分布。0ASPvAvAxyvC AC 在直線在直線PA上存在一點上存在一點C ，這一點的相對速度這一點的相對速度v C A與牽連與牽連速度速度vA矢量大小相等、方向相矢量大小相等、方向相反。反。 因此，因此，C 點的絕對速度點的絕對速度v C 0。 C 點稱為瞬時速

16、點稱為瞬時速度中心，簡稱為速度瞬心。度中心，簡稱為速度瞬心。0ASPvAvAxyvC AC 1. 瞬時性瞬時性不同的瞬時，不同的瞬時，有不同的速度瞬心；有不同的速度瞬心； 2. 唯一性唯一性某一瞬時只某一瞬時只有一個速度瞬心；有一個速度瞬心； 3. 瞬時轉(zhuǎn)動特性瞬時轉(zhuǎn)動特性平面圖平面圖形在某一瞬時的運動都可以視形在某一瞬時的運動都可以視為繞這一瞬時的速度瞬心作瞬為繞這一瞬時的速度瞬心作瞬時轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)動.SCACBvBvAvCBCrACrCCr 當(dāng)平面圖形在t瞬時的速度瞬心C 以及瞬時角速度均為已知時，可以以C 為基點，建立平移系，進而分析平面圖形上各點的運動。 速度瞬心C 到圖形上的任意點(例如

17、A、B、C)位矢上各點的牽連速度等于零；絕對速度等于相對速度，垂直于位矢，并沿位矢方向線性分布。rC A ，rC*B ， rC*CSCACBvBvAvCBCrACrCCr 這時，根據(jù)速度合成定理，平這時，根據(jù)速度合成定理，平面圖形上任意點面圖形上任意點(例如例如B點點)的速度為的速度為vB= vA+ vBA其中其中 vA v C 0， vBA vB C vB vB C r C*B 應(yīng)用瞬時速度中心以及平面圖形在應(yīng)用瞬時速度中心以及平面圖形在某一瞬時繞速度瞬心作瞬時轉(zhuǎn)動的概某一瞬時繞速度瞬心作瞬時轉(zhuǎn)動的概念，確定平面圖形上各點在這一瞬時念，確定平面圖形上各點在這一瞬時速度的方法，稱為速度瞬心法。

18、速度的方法，稱為速度瞬心法。AB90o90oCAB90o90oC 已知平面圖形上兩點的速度已知平面圖形上兩點的速度矢量的大小與方向，而且二矢量矢量的大小與方向，而且二矢量互相平行，并且都垂直于兩點的互相平行，并且都垂直于兩點的連線。連線。 矢量矢量vA和和vB矢端連線與矢端連線與A、B兩點連線的交點，兩兩點連線的交點，兩條直線的交點即為速度瞬心。條直線的交點即為速度瞬心。AB90o90oAB90o90oBA0O0 xyBA0O0vAvAvBAvBxyBA0O0vAvAvBAvBvA=r 0 ， A 0，B0BA0O0vAvAvBAvB0BO0A ， xyBO0AvAvBvA BO0AvAvBx

19、yvA0ABBO0AvAvBxyvAxyBO0AvAvBvA0 vOO自習(xí)vOOSaASaAaBSaAaBxyABABxyABxyABxyABxyOvOaOOvOaOxyOvOaOxyOvOaOaAOAOvOaOBanBOatBOaO 試求試求:圖示瞬時圖示瞬時（ OAB=60 ）B點的速度和點的速度和加速度。加速度。 A 平面機構(gòu)中，曲柄平面機構(gòu)中，曲柄OA以勻角速以勻角速度度 繞繞O軸轉(zhuǎn)動，曲柄長軸轉(zhuǎn)動，曲柄長OA=r，擺，擺桿桿AB可在套筒可在套筒C中滑動，擺桿長中滑動，擺桿長AB=4r，套筒套筒C繞定軸繞定軸C轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動。 由已知條件，由已知條件，OA桿和套筒桿和套筒C均作定軸轉(zhuǎn)動；均

20、作定軸轉(zhuǎn)動；AB桿作平面運動。現(xiàn)已知桿作平面運動?，F(xiàn)已知AB桿上桿上A點的速度和加速度，點的速度和加速度，欲求欲求B點的速度和加速度，點的速度和加速度，需先求需先求AB桿的角速度和角桿的角速度和角加速度。加速度。 因為因為AB桿在套筒中滑動，所以桿在套筒中滑動，所以AB桿的角速度和角加速度桿的角速度和角加速度與套筒與套筒C的角速度和角加速度相同。所以：以的角速度和角加速度相同。所以：以A為動點，套筒為動點，套筒C為動系，則其絕對運動為以為動系，則其絕對運動為以O(shè)點為圓心，點為圓心，OA為半徑的圓周運動；為半徑的圓周運動；相對運動為沿套筒相對運動為沿套筒C軸線軸線AB的直線運動；牽連運動為繞的直線運動；牽連運動為繞C軸的軸的定軸轉(zhuǎn)動。定軸轉(zhuǎn)動。 va= ve + vr rv a各矢量方向如圖中所示各矢量方向如圖中所示. .于是解得于是解得 rv23rrv21e4eeACvtnaeerCa = a +a +a +a2ara 22ene8rACa2reC432rva各矢量方向如圖中所示，將矢量方程中各項向各矢量方向如圖中所示，將矢量方程中各項向aC方向投影，得方向投影，得 到到otaeCcos30aaat2e34art2ee38aaAC tnaeerCa = a + a + a + a2ara 22ene8rACa2reC432rva