導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

1、第2講 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 知 識 梳理 1. 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系一般地，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：在某個區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi) ；如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi) .解析：單調(diào)遞增；單調(diào)遞減2. 判別f(x0)是極大、極小值的方法若滿足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則是的 ，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則是的極小值點，是 解析：極大值點；極小值.3解題規(guī)律技巧妙法總結(jié): 求函數(shù)的極值的步驟:(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f(x) .(2)求方程f(x)=0的根.(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定

2、義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么f(x)在這個根處無極值.4求函數(shù)最值的步驟：（1）求出在上的極值.（2）求出端點函數(shù)值.（3）比較極值和端點值，確定最大值或最小值. 重 難 點 突 破 1.重點：熟悉利用導(dǎo)數(shù)處理單調(diào)性、極值與最值的一般思路，熟練掌握求常見函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值與最值的方法2.難點：與參數(shù)相關(guān)單調(diào)性和極值最值問題3.重難點：借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)與不等式的綜合問題（1）在求可導(dǎo)函數(shù)的極值時，應(yīng)注意可導(dǎo)函數(shù)的駐點可能是它的極值點

3、，也可能不是極值點。問題1. 設(shè)，令，討論在內(nèi)的單調(diào)性并求極值；點撥:根據(jù)求導(dǎo)法則有，故，于是，2減極小值增列表如下：故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以，在處取得極小值（2）借助導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而研究不等關(guān)系關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù).問題2.已知函數(shù)是上的可導(dǎo)函數(shù)，若在時恒成立.（1）求證：函數(shù)在上是增函數(shù)；（2）求證：當(dāng)時，有. 點撥:由轉(zhuǎn)化為為增函數(shù)是解答本題關(guān)鍵.類似由轉(zhuǎn)化為為增函數(shù)等思考問題的方法是我們必須學(xué)會的.（1）由得因為，所以在時恒成立，所以函數(shù)在上是增函數(shù).（2）由（1）知函數(shù)在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時，有成立，從而兩式相加得 熱 點 考 點 題 型 探 析考點1: 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)

4、的單調(diào)性題型1.討論函數(shù)的單調(diào)性例1(廣東高考)設(shè)，函數(shù)，試討論函數(shù)的單調(diào)性【解題思路】先求導(dǎo)再解和【解析】 對于，當(dāng)時，函數(shù)在上是增函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；對于，當(dāng)時，函數(shù)在上是減函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。【名師指引】解題規(guī)律技巧妙法總結(jié): 求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟.（1） 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（2）令解不等式，得的范圍就是單調(diào)增區(qū)間;令解不等式，得的范圍就是單調(diào)減區(qū)間（3）對照定義域得出結(jié)論.誤區(qū)警示求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時，容易忽視定義域，如求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，錯誤率高，請你一試，該題正確答案為.題型2.由單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍例2: 若在區(qū)間1,1上單調(diào)遞增，

5、求的取值范圍.【解題思路】解這類題時,通常令(函數(shù)在區(qū)間上遞增)或(函數(shù)在區(qū)間上遞減),得出恒成立的條件,再利用處理不等式恒成立的方法獲解.解析：又在區(qū)間1,1上單調(diào)遞增在1,1上恒成立 即在1,1的最大值為 故的取值范圍為【名師指引】:本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)值的關(guān)系,要特別注意導(dǎo)數(shù)值等于零的用法.【新題導(dǎo)練】.1. 若函數(shù)f(x)=x3ax2+1在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是A.a3 B.a=2C.a3D.0<a<3分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.利用函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的圖象確定參數(shù)的范圍.解析：f(x)=3x22ax=3x(xa),由f(x)在(0，

6、2)內(nèi)單調(diào)遞減，得3x(xa)0,即a2,a3.答案：A2. 函數(shù)y=x3+x的單調(diào)增區(qū)間為A.(,+)B.(0,+)C.(,0)D.不存在解析：y=3x2+1>0恒成立，y=x3+x在(,+)上為增函數(shù)，沒有減區(qū)間.答案：A3. 已知函數(shù),設(shè)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若以函數(shù)圖像上任意一點為切點的切線的斜率恒成立，求實數(shù)的最小值；解析：（I），由，在上單調(diào)遞增。 由，在上單調(diào)遞減。的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為。（II），恒成立當(dāng)時，取得最大值。，考點2: 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值和最大(小)值.題型1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最大(小)值例1. 若函數(shù)在處取得極值,則 .【解題思路】若在附近

7、的左側(cè)，右側(cè)，且,那么是的極大值；若在附近的左側(cè)，右側(cè)，且,那么是的極小值.解析因為可導(dǎo),且,所以,解得.經(jīng)驗證當(dāng)時, 函數(shù)在處取得極大值.【名師指引】 若是可導(dǎo)函數(shù)，注意是為函數(shù)極值點的必要條件.要確定極值點還需在左右判斷單調(diào)性.例2（2008·深圳南中）設(shè)函數(shù)（），其中，求函數(shù)的極大值和極小值【解題思路】先求駐點，再列表判斷極值求出極值。解析：.，令，解得或由于，當(dāng)變化時，的正負(fù)如下表：因此，函數(shù)在處取得極小值，且；函數(shù)在處取得極大值，且【名師指引】求極值問題嚴(yán)格按解題步驟進(jìn)行。例3.已知函數(shù).（）求的最小值；（）若對所有都有，求實數(shù)的取值范圍.【解題思路】先求極值再求端點值,比

8、較求出最大(小)值.當(dāng)區(qū)間只有一個極大(小)值時,該值就是最大(小)值解析：的定義域為， 1分 的導(dǎo)數(shù). 3分令，解得；令，解得.從而在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增. 5分所以，當(dāng)時，取得最小值. 6分（）解法一：令，則， 8分 若，當(dāng)時，故在上為增函數(shù)，所以，時，即. 10分 若，方程的根為 ，此時，若，則，故在該區(qū)間為減函數(shù).所以時，即，與題設(shè)相矛盾. 13分綜上，滿足條件的的取值范圍是. 14分解法二：依題意，得在上恒成立，即不等式對于恒成立 . 8分令， 則. 10分當(dāng)時，因為， 故是上的增函數(shù)， 所以 的最小值是， 13分所以的取值范圍是. 14分【名師指引】求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值（或最小

9、值）的步驟：求在內(nèi)的極大（?。┲?，將極大（小）值與端點處的函數(shù)值進(jìn)行比較，其中較大者的一個是最大者，較小的一個是最小者題型2.已知函數(shù)的極值和最大(小)值，求參數(shù)的值或取值范圍。例3已知函數(shù)圖像上的點處的切線方程為（1）若函數(shù)在時有極值，求的表達(dá)式（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍【解題思路】求函數(shù)的解析式一般用待定系法法，求參數(shù)的取值范圍一般需建立關(guān)于參數(shù)的不等式（組）解析：， -2分因為函數(shù)在處的切線斜率為-3，所以，即，-3分又得。-4分（1）函數(shù)在時有極值，所以，-5分解得，-7分所以-8分（2）因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的值恒大于或等于零，-10分則得，所以實數(shù)的取值范圍為-14分【名師指引】已知在處有極值，等價于?！拘骂}導(dǎo)練】4在區(qū)間上的最大值為，則=（ ）A.B. C. D. 或解析：選B在上的最大值為，且在時，解之或（舍去），選B.5在區(qū)間上的最大值是A B0 C2 D4解析，令可得或（2舍去），當(dāng)時，>0，當(dāng)時，<0，所以當(dāng)時，f（x）取得最大值為2.選C6已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時取得極值.（1）求的單調(diào)區(qū)間和極大值；（2）證明對任意不等式恒成立.解析（1）由奇函數(shù)