3.3二元一次不等式組與平面區(qū)域與簡單的線性規(guī)劃

1、必修必修 第三章第三章 不等式不等式3.3.1二元一次不等式（組）與二元一次不等式（組）與平面區(qū)域平面區(qū)域1 1、二元一次不等式（組）、二元一次不等式（組）（1 1）含有）含有 未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是 的的 不等式稱為二元一次不等式不等式稱為二元一次不等式( (Ax+By+C0 ) )。（2 2）由幾個(gè)）由幾個(gè) 組成的不等式組稱為二組成的不等式組稱為二元一次不等式組。元一次不等式組。一一: :相關(guān)概念相關(guān)概念2 2、二元一次不等式（組）的解集、二元一次不等式（組）的解集滿足二元一次不等式（組）的滿足二元一次不等式（組）的x x和和y y的取值構(gòu)成有序數(shù)對的取值構(gòu)成

2、有序數(shù)對 （x , yx , y）, ,所有這樣的所有這樣的 構(gòu)成的集合稱為二元一次構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式（組）的解集不等式（組）的解集。二元一次不等二元一次不等式式兩個(gè)兩個(gè)一次一次有序數(shù)對有序數(shù)對 二元一次不等式二元一次不等式 Ax+By+CAx+By+C00的解集表示什么圖形？的解集表示什么圖形？ 探究探究不等式探究不等式x+y-1x+y-10 0的解集表示的圖形的解集表示的圖形問題問題在平面直角坐標(biāo)系中，在平面直角坐標(biāo)系中，直線直線x+y-1=0 x+y-1=0將平面將平面分成幾部分呢？分成幾部分呢？不等式不等式x+y-1x+y-10 0對應(yīng)平面內(nèi)哪部分的點(diǎn)呢？對應(yīng)平面內(nèi)哪部分的點(diǎn)

3、呢？0 xy11x+y-1=0想一想？想一想？右上方點(diǎn)右上方點(diǎn)左下方點(diǎn)左下方點(diǎn)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)x+y-1x+y-1值值的正負(fù)的正負(fù)代入點(diǎn)的坐標(biāo)代入點(diǎn)的坐標(biāo)（1,1）（2,0）（0,0）（2,1）（-1,1）（-1,0）（-1,1）（2,2）直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足x+y-1=0 x+y-1=0，那么直，那么直線兩側(cè)的點(diǎn)的坐標(biāo)代入線兩側(cè)的點(diǎn)的坐標(biāo)代入x+y-1x+y-1中，也等于中，也等于0 0嗎嗎? ?先完成下表，再觀察有何規(guī)律呢？先完成下表，再觀察有何規(guī)律呢？探索規(guī)律探索規(guī)律0 xy11x+y-1=0同側(cè)同號(hào)，異側(cè)異號(hào)同側(cè)同號(hào)，異側(cè)異號(hào)正正負(fù)負(fù)x+y-10 x+y-10結(jié)

4、論結(jié)論 不等式不等式x+y-10表示直線表示直線x+y-1=0的右上的右上方的平面區(qū)域方的平面區(qū)域 不等式不等式x+y-10表示直線表示直線x+y-1=0的左下的左下方的平面區(qū)域方的平面區(qū)域 直線直線x+y-1=0叫做這兩個(gè)區(qū)域的邊界叫做這兩個(gè)區(qū)域的邊界一般地，一般地，在平面直角坐標(biāo)系中在平面直角坐標(biāo)系中, ,不等式不等式A Ax x+B+By y+C+C 0 0表表示直線示直線A Ax x+B+By y+C+C=0=0某一側(cè)某一側(cè)所有點(diǎn)組成的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域平面區(qū)域（不不包含包含邊界）邊界），把直線畫成，把直線畫成虛線虛線; ;不等式不等式 A Ax x+B+By y+C+C0 0表表示

5、示直線直線Ax+By+C=0某一側(cè)某一側(cè)所有點(diǎn)組成所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域（的平面區(qū)域（包括包括邊邊界），把直線界），把直線畫成畫成實(shí)線實(shí)線。結(jié)論推廣：結(jié)論推廣：提問提問 我們知道不等式我們知道不等式Ax+By+C0表示直線表示直線Ax+By+C=0的某一側(cè)的平面區(qū)域，那么的某一側(cè)的平面區(qū)域，那么如何去判斷它在哪一側(cè)呢？如何去判斷它在哪一側(cè)呢？由于直線同側(cè)的點(diǎn)的坐標(biāo)代入由于直線同側(cè)的點(diǎn)的坐標(biāo)代入Ax+By+CAx+By+C中，所得中，所得實(shí)數(shù)符號(hào)相同，所以只需在直線的實(shí)數(shù)符號(hào)相同，所以只需在直線的某一側(cè)某一側(cè)取一個(gè)取一個(gè)特殊點(diǎn)代入特殊點(diǎn)代入Ax+By+CAx+By+C中，從所得結(jié)果的中，從所得結(jié)果

6、的正負(fù)正負(fù)即可即可判斷判斷Ax+By+CAx+By+C00表示哪一側(cè)的區(qū)域。表示哪一側(cè)的區(qū)域。例例1 1：畫出不等式：畫出不等式 x x + 4+ 4y y - 4- 40表示的平面表示的平面區(qū)域區(qū)域 x+4y4=0 x+4y4=0 xy解：解：(1)(1)直線定界直線定界: :先畫直線先畫直線x + 4y 4 = 0 x + 4y 4 = 0（畫成虛線）（畫成虛線）(2)(2)特殊點(diǎn)定域特殊點(diǎn)定域: :取原點(diǎn)（取原點(diǎn)（0 0，0 0），代入），代入x + 4y - 4x + 4y - 4， 因?yàn)橐驗(yàn)?0 + 40 + 40 4 = -4 00 4 = -4 0所以，原點(diǎn)在所以，原點(diǎn)在x +

7、4y x + 4y 4 0 4 0表示的平面區(qū)域內(nèi)，表示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式不等式x + 4y 4 0 x + 4y 4 0表示的平面區(qū)域的步驟：表示的平面區(qū)域的步驟：1 1、直線定界（注意邊界的虛實(shí)）、直線定界（注意邊界的虛實(shí)）2 2、特殊點(diǎn)定域（代入特殊點(diǎn)驗(yàn)證）、特殊點(diǎn)定域（代入特殊點(diǎn)驗(yàn)證） 一般地，當(dāng)一般地，當(dāng)C0C0時(shí)常把原點(diǎn)（時(shí)常把原點(diǎn)（0,00,0）作為特殊點(diǎn)）作為特殊點(diǎn)當(dāng)當(dāng)C=0C=0時(shí)把（時(shí)把（0 0，1 1）或（）或（1,01,0）作為特殊點(diǎn)）作為特殊點(diǎn)課堂練習(xí)課堂練習(xí)1:(1)畫出不等式畫出不等式4x3y12表示的平面區(qū)域表示的平面區(qū)域xy4x3y-12=03y-12=0

8、xyx=1(2)畫出不等式畫出不等式x1表示的平面區(qū)域表示的平面區(qū)域0 xy3x+y-12=0 x-2y=0y -3x+12 x2y 的解集。例2、用平面區(qū)域表示不等式組畫二元一次不等式組表畫二元一次不等式組表示的平面區(qū)域的步驟：示的平面區(qū)域的步驟：1.1.線定界線定界2.2.點(diǎn)定域點(diǎn)定域3.3.交定區(qū)交定區(qū)由于所求平面區(qū)域的點(diǎn)的坐由于所求平面區(qū)域的點(diǎn)的坐標(biāo)需同時(shí)滿足兩個(gè)不等式，標(biāo)需同時(shí)滿足兩個(gè)不等式，因此二元一次不等式組表示因此二元一次不等式組表示的區(qū)域是各個(gè)不等式表示的的區(qū)域是各個(gè)不等式表示的區(qū)域的區(qū)域的交集交集，即，即公共部分公共部分。分析分析：3 3、畫出不等式組、畫出不等式組表示的平

9、面區(qū)域。表示的平面區(qū)域。 x-y+5x-y+50 0 x+yx+y0 0 x x3 3x xo oy y4 4-5-55 5x-y+5=0 x-y+5=0 x+yx+y=0=0 x=3 x=3 課堂練習(xí)課堂練習(xí)2：解析：邊界直線方程為解析：邊界直線方程為 x+y-1=0 x+y-1=0 代入原點(diǎn)（代入原點(diǎn)（0 0，0)0) 得得0+0-10+0-10 0 即所求不等式為即所求不等式為 x+y-10 x+y-10典例精析典例精析題型三：根據(jù)平面區(qū)域?qū)懗龆淮尾坏仁剑ńM）題型三：根據(jù)平面區(qū)域?qū)懗龆淮尾坏仁剑ńM）例例3 3、寫出表示下面區(qū)域的二元一次不等式、寫出表示下面區(qū)域的二元一次不等式x

10、xy y-2-2o o1 11 1-1-1x-2y+2x-2y+20 0y-1y-1綠色區(qū)域綠色區(qū)域藍(lán)色區(qū)域藍(lán)色區(qū)域x-2y+2x-2y+20 0y-1y-1x+y-10 x+y-10 x+y-10 x+y-10紫色區(qū)域紫色區(qū)域黃色區(qū)域黃色區(qū)域根據(jù)平面區(qū)域?qū)懗龆淮胃鶕?jù)平面區(qū)域?qū)懗龆淮尾坏仁剑ńM）的不等式（組）的步驟：步驟：方法總結(jié)方法總結(jié)求邊界直線的方程求邊界直線的方程代入?yún)^(qū)域內(nèi)的點(diǎn)定號(hào)代入?yún)^(qū)域內(nèi)的點(diǎn)定號(hào)寫出不等式（組）寫出不等式（組）題型五：綜合應(yīng)用題型五：綜合應(yīng)用解析：解析： 由于在異側(cè)，則（由于在異側(cè)，則（1 1，2 2）和（）和（1 1，1 1）代入代入3x-y+m 3x-y+

11、m 所得數(shù)值所得數(shù)值異號(hào)異號(hào)，則有（則有（3-2+m3-2+m）（）（3-1+m3-1+m） 0 0所以（所以（m+1m+1）(m+2) 0(m+2) 0即：即：-2m-1-2m-1試確定試確定m m的范圍，使點(diǎn)（的范圍，使點(diǎn)（1 1，2 2）和）和（1 1，1 1）在）在3x-y+m=03x-y+m=0的的異側(cè)異側(cè)。例例4 4、變式變式: :若在若在同側(cè)同側(cè)，m m的范圍又是什么呢？的范圍又是什么呢？解析解析：由于在同側(cè)，則（由于在同側(cè)，則（1 1，2 2）和（）和（1 1，1 1）代入代入3x-y+m 3x-y+m 所得數(shù)值所得數(shù)值同號(hào)同號(hào)，則有（則有（3-2+m3-2+m）（）（3-1+

12、m3-1+m） 0 0所以（所以（m+1m+1）(m+2)(m+2) 0 0即：即：m -2m -2或或m m-1-1題型四：綜合應(yīng)用題型四：綜合應(yīng)用求二元一次不等式組求二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域的面積所表示的平面區(qū)域的面積例例5 5、 x-y+50 y2 0 x22 2x xo oy y-5-55 5D DC CB BA Ax-y+5=0 x-y+5=0 x=2x=2y=2y=22 2如圖，平面區(qū)域?yàn)橹苯翘菪稳鐖D，平面區(qū)域?yàn)橹苯翘菪? ,易得易得A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5)A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5)所以所以AD=3,AB=2,BC=

13、5AD=3,AB=2,BC=5故所求區(qū)域的面積為故所求區(qū)域的面積為S=S=解析：解析：825321題型四：綜合應(yīng)用題型四：綜合應(yīng)用若二元一次不等式組若二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，所表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，求求a a的取值范圍的取值范圍變式：變式： x-y+50 ya 0 x2變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練題型四：綜合應(yīng)用題型四：綜合應(yīng)用若二元一次不等式組若二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，所表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，求求a a的取值范圍的取值范圍變式：變式： x-y+50 ya 0 x22 2x xo oy y5 5D DC Cx-y+5=0 x-y+5=0 x=2x=2

14、-5-5y=y=ay=y=ay=y=ay=y=5y=y=77 7數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想答案答案:5a5a 7 7 求求z=2x-yz=2x-y最大值與最小值最大值與最小值 。設(shè)設(shè)x,y滿足約束條件：滿足約束條件：作可行域（如圖）因此z在A（2，-1）處取得最大值，即Zmax=22+1=5；在B（-1，-1）處取得最小值，即Zmin=2（-1）-（-1）=-1。由z=2x-y得y=2x-z,因此平行移動(dòng)直線y=2x，若直線截距-z取得最大值，則z取得最小值；截距-z取得最小值，則z取得最大值.綜上,z最大值為5；z最小值為-1.舉一反三舉一反三x-y0 x+y-1 0y -1解：y=-1x-y

15、=0 x+y=1(-1,-1)xy011A AB BC（2，-1）y=2x作出下列不等式組的所表示的平面區(qū)域作出下列不等式組的所表示的平面區(qū)域1255334xyxyx問題思考23x+5y25x- -4y- -3x1在該平面區(qū)域上 問題 1 1：有無最大(小)值？問題：有無最大(小)值？xyox-4y=-33x+5y=25x=1問題：2 2+ +有無最大(小)值？CAB二二.提出問題提出問題把上面兩個(gè)問題綜合起來把上面兩個(gè)問題綜合起來:1255334xyxyx設(shè)設(shè)z=2x+y,求滿足求滿足時(shí)時(shí),求求z的最大值和最小值的最大值和最小值.55x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC: (

16、1.00, 4.40)A: (5.00, 2.00)B: (1.00, 1.00)Oxy.1255334. 1所表示的區(qū)域所表示的區(qū)域先作出先作出 xyxyx02 yx02:. 20 yxl作直線作直線Rttyxll ,2:. 30直線直線平行的平行的作一組與直線作一組與直線直線直線L L越往右平移越往右平移,t,t隨之增大隨之增大. .以經(jīng)過點(diǎn)以經(jīng)過點(diǎn)A(5,2)A(5,2)的的直線所對應(yīng)的直線所對應(yīng)的t t值值最大最大; ;經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)B(1,1)B(1,1)的直線所對的直線所對應(yīng)的應(yīng)的t t值最小值最小. .3112,12252minmax ZZ1255334xyxyx設(shè)設(shè)z=2x+y,

17、求滿足求滿足時(shí)時(shí),求求z的最大值和最小值的最大值和最小值.線性目線性目標(biāo)函數(shù)標(biāo)函數(shù)線性約線性約束條件束條件線性規(guī)線性規(guī)劃問題劃問題任何一個(gè)滿足任何一個(gè)滿足不等式組的（不等式組的（x,yx,y）可行解可行解可行域可行域所有的所有的最優(yōu)解最優(yōu)解有關(guān)概念有關(guān)概念由由x，y 的不等式的不等式(或方程或方程)組成的不等式組稱為組成的不等式組稱為x，y 的的約束條件約束條件。關(guān)于。關(guān)于x，y 的一次不等式或方程的一次不等式或方程組成的不等式組稱為組成的不等式組稱為x，y 的的線性約束條件線性約束條件。欲達(dá)。欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量到最大值或最小值所涉及的變量x，y 的解析式稱的解析式稱為為目標(biāo)函數(shù)

18、目標(biāo)函數(shù)。關(guān)于。關(guān)于x，y 的一次目標(biāo)函數(shù)稱為的一次目標(biāo)函數(shù)稱為線性線性目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)。求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的。求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題稱為最大值或最小值問題稱為線性規(guī)劃問題線性規(guī)劃問題。滿足線。滿足線性約束條件的解（性約束條件的解（x，y）稱為）稱為可行解可行解。所有可行。所有可行解組成的集合稱為解組成的集合稱為可行域可行域。使目標(biāo)函數(shù)取得最大。使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解稱為值或最小值的可行解稱為最優(yōu)解最優(yōu)解。B Cxyox4y=33x+5y=25x=1 例例1：設(shè)：設(shè)z2xy,式中變量式中變量x、y滿足下列條件滿足下列條件 求的最大值和最小值

19、。求的最大值和最小值。3x+5y25x 4y3x1解：作出可行域如圖解：作出可行域如圖：當(dāng)當(dāng)0時(shí)，設(shè)直線時(shí)，設(shè)直線 l l0 0：2xy0 當(dāng)當(dāng)l l0 0經(jīng)過可行域上點(diǎn)經(jīng)過可行域上點(diǎn)A時(shí)，時(shí)，z 最小，即最小，即最大。最大。 當(dāng)當(dāng)l l0 0經(jīng)過可行域上點(diǎn)經(jīng)過可行域上點(diǎn)C時(shí)時(shí)，最大，即最大，即最小。最小。由由 得得A點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)_； x4y3 3x5y25由由 得得C點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)_； x=1 3x5y25zmax2528 zmin214.4 2.4(5,2)(5,2)(1,4.4)(1,4.4)平移平移l l0 0，平移平移l l0 0 ，(5,2)2xy0(1,4.4)(5,2)(1,4.

20、4)典例講評解線性規(guī)劃問題的步驟：解線性規(guī)劃問題的步驟： 2 2、 在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線 中，用平移的方法找出與可行域有公中，用平移的方法找出與可行域有公 共點(diǎn)且縱截距最大或最小的直線；共點(diǎn)且縱截距最大或最小的直線； 3 3、 通過解方程組求出最優(yōu)解；通過解方程組求出最優(yōu)解； 4 4、 作出答案。作出答案。 1 1、 畫出線性約束條件所表示的可行域；畫出線性約束條件所表示的可行域；畫畫移移求求答答例例2某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)1t甲甲種產(chǎn)品需要種產(chǎn)品需要A種原料種原料4t、 B種原料種原料12t，產(chǎn)，產(chǎn)生的利潤為生

21、的利潤為2萬元；生產(chǎn)萬元；生產(chǎn)1t乙種產(chǎn)品需要乙種產(chǎn)品需要A種原料種原料1t、 B種原料種原料9t，產(chǎn)生的利潤為，產(chǎn)生的利潤為1萬萬元?，F(xiàn)有庫存元?，F(xiàn)有庫存A種原料種原料10t、 B種原料種原料60t，如何安排生產(chǎn)才能使利潤最大？如何安排生產(chǎn)才能使利潤最大？A種原料 B種原料利潤甲種產(chǎn)品4 122 乙種產(chǎn)品1 9 1現(xiàn)有庫存10 60 在關(guān)數(shù)據(jù)列表如下：在關(guān)數(shù)據(jù)列表如下：設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的噸數(shù)設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的噸數(shù)分別為分別為x、y0060912104yxyxyxyxP 2利潤利潤何時(shí)達(dá)到最大？何時(shí)達(dá)到最大？三、當(dāng)堂檢測三、當(dāng)堂檢測已知已知（1）求）求z=2x+y的最大值和最小值。的最大值和