企業(yè)退休職工養(yǎng)老金制度的改革模型

1、承諾書我們仔細閱讀了中國大學生數(shù)學建模競賽的競賽規(guī)則我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、 網(wǎng)上咨詢等與隊外的任何人（包括指導教師研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道,抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開 的資料（包括網(wǎng)上查到的資料，必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處 和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽 規(guī)則的行為,我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫：我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話：所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜汗鹆蛛娮涌萍?/p>

2、大學職業(yè)技術(shù)學院參賽隊員（打印并簽名：1.穆亞起2. 白強龍指導教師或指導教師組負責人（打印并簽名：日期:年月曰賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號：編號專用頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用：閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號：全國評閱編號（由全國組委會評閱 前進行編號：1企業(yè)退休職工養(yǎng)老金制度的改革模型摘要1997年，政府對我國的基本養(yǎng)老保險金制度進行了改革 ，從此我國企業(yè)職 工基本 養(yǎng)老保險社會統(tǒng)籌”與個人賬戶”相結(jié)合的模式。即企業(yè)把職工工資 總額一定比 例（20%繳納到社會統(tǒng)籌基金，再把職工個人工資按一定比例（8%繳納到個

3、人賬 戶。1997年前都已經(jīng)繳費養(yǎng)老保險的為老人”，199年以后繳費 養(yǎng)老保險的為 新人”。在養(yǎng)老保險的繳費過程中，預算養(yǎng)老保險的替代率和維持養(yǎng)老保險的收支平 衡建立數(shù)學模型。針對問題（一根據(jù)時間序列資料逐漸推移，依次計算包含一定項數(shù)的時序 平均 數(shù),以反映長期趨勢。采取時間序列逐漸平移的方法建立模型，用趨勢位移 平移法 對2011 2035年的每年的平均工資進行預測,可得由2011年職工的平均 工資 33747逐步遞增到2035年職工平均工資為101860。針對問題（二,由2009年該企業(yè)各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資的比值作為職工繳費指數(shù)的參考值，然后結(jié)合問題一相關(guān)的數(shù)據(jù)，運用數(shù)學模型精

4、算出基 礎(chǔ)養(yǎng)老金。職工在職時繳費金額加上在職繳費金額的利息為個人賬戶儲存額。根據(jù)養(yǎng)老保險金的計算公式求出第一個月的養(yǎng)老退休金。由于個人壽命長短 不同，其在退休前死亡率為（1i p -,則i p乘于養(yǎng)老退休金與在職時最后一年平均工資的比值為替代率。根據(jù)結(jié)果可知30歲開始交養(yǎng)老保險金時替代率在（27.64%45.70%之間,40歲開始交養(yǎng)老保險金時替代率在 （20.01%42.94%之間。針對問題（三，企業(yè)把職工工資總額的一定比例（20%繳納到社會統(tǒng)籌 基金。職 工在工作期間，企業(yè)為職工繳納的社會統(tǒng)籌基金與退休后所得基本養(yǎng)老 金的總額的 差值為養(yǎng)老保險基金的缺口。 以第一個月的基本養(yǎng)老金為基數(shù)，社

5、會 統(tǒng)籌基金的總 額與基數(shù)的比值為所領(lǐng)取錢的年數(shù)?？傻贸?30歲開始繳費到退休 后領(lǐng)取的養(yǎng)老金 在13年左右達到收支平衡，之后會出現(xiàn)資金缺口。針對問題（四中，由問題三結(jié)果在68.7、73.3、78.4分析可知想達到收支 平衡 需提高退休年齡。如果既要達到目標替代率，又要維持養(yǎng)老保險基金收支平衡。 首先在在養(yǎng)老保險制度中還應采取增收減支的策略！如擴大養(yǎng)老保險覆蓋范圍、逐步提高退休年齡、規(guī)范養(yǎng)老金調(diào)整機制等，以實現(xiàn)養(yǎng)老保險的收支均衡。所算得數(shù)據(jù)時，因為以每年的平均工資為標準計算，所得的數(shù)據(jù)不能真實的 反 應同年齡段不同工資段的職工的養(yǎng)老保險所得情況。關(guān)鍵詞:趨勢位移平移替代率數(shù)學模型個人賬戶統(tǒng)籌賬

6、戶預測問題的提出問題一:對未來中國經(jīng)濟發(fā)展和工資增長的形勢做出你認為是簡化、合理的假設(shè)，并參考附件1,預測從2011年至2035年的山東省職工的年平均工資。 問題二:根 據(jù)附件2計算2009年該企業(yè)各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工 資之比。如果把這些比值看作職工繳費指數(shù)的參考值，考慮該企業(yè)職工自2000年起分別從30歲、40 歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費到退休(55歲，60歲，65歲，計算各種情況下的養(yǎng)老金替 代率。問題三:假設(shè)該企業(yè)某職工自2000年起從30歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳 費到退 休(55歲，60歲，65歲，并從退休后一直領(lǐng)取養(yǎng)老金，至75歲死亡。計算養(yǎng)老保險基 金的缺口情況，并計算該

7、職工領(lǐng)取養(yǎng)老金到多少歲時，其繳存的養(yǎng)老保險基金與其 領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達到收支平衡。問題四:如果既要達到目標替代率，又要維持養(yǎng)老保險基金收支平衡，你認為可 以采取什么措施。請給出你的理由。問題假設(shè)1、假設(shè)中國經(jīng)濟增長趨勢符合 Douglas生產(chǎn)函數(shù)和職工的工資與經(jīng)濟成正相 關(guān)性。2、假設(shè)所有數(shù)據(jù)真實可靠3、假設(shè)人均收入沒有太大的浮動4、假設(shè)繳費指數(shù)的平均值能正確反映客觀事實符號說明(1tM :第一次移動的平均值M :第二次移動的平均值t :當前的平均數(shù)m :由 t到預測值的數(shù)+t my A :第 t+m期的預測結(jié)果ta截距tb斜率23m s :繳費m年后個人帳戶的總額i :個人帳戶銀行存款利率m

8、 x :開始繳費m年時月工資n :為所發(fā)養(yǎng)老金的年數(shù)模型分析針對問題（一中，根據(jù)題目中附件1中的數(shù)據(jù)。可以知道表中的職工的平 均工資 是逐漸增加的但不是直線型增加的，所以需要對數(shù)據(jù)進行修正，則本文采用的趨勢 移動平均法，對數(shù)據(jù)進行二次移動平均法，利用移動平均滯后偏差的規(guī) 律來建立直 線趨勢的預測模型，但是為了減小誤差本文采用了逐個的求出預測值問題(二,因為把2009年該企業(yè)各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比值看作職工繳費指數(shù)的參考值。根據(jù)這些參考值可求出職工的平均繳費指數(shù)，在問題中找到對應的年份的平均工資，根據(jù)基本養(yǎng)老金的計算公式求出基本養(yǎng)老金。職工個人工資按一定比例(8%繳納到個人賬戶，個

9、人賬戶的基金和其利 為個人賬戶總儲 存金額，按照個人賬戶養(yǎng)老金的計算公式求出個人賬號基金。職工退休時的養(yǎng)老金由兩部分組成：養(yǎng)老金二基礎(chǔ)養(yǎng)老金+個人賬戶養(yǎng)老金則養(yǎng)老金與退休年份的平均工資的比值為替代率。在問題(三時，如果職工死亡，社會統(tǒng)籌賬戶中的資金不退給職工，個人賬戶中的 余額可繼承。則個人賬戶基金的收支平衡，只計算社會統(tǒng)籌基金收支是否平衡。 問題(四中替代率達到水平和收支平衡可社會的經(jīng)濟增長和社會勞動率的提高。模型建立與求解 基于以上對模型的分析，我們建立以下模型：針對問題一采用時間序列逐次平移模型進行求解一次平移的平均數(shù)為(1111( t t t t N M y y y N-+=+? (1

10、在一次移動平均的基礎(chǔ)上再進行一次平移平均就是二次移動平 均,其計算公式為(2(1(1(2(1(11111( ( t t t N t t t N M M M M M M N N-+=+=+-? (2下面討論如何利用移動平均的滯后偏差建立直線趨勢預測模型。設(shè)時間序列t y從某時期開始具有直線趨勢，且認為未來時期也按此直線趨勢變化，則可設(shè) 此直線趨勢預測模型為t t t m y a b m A+=+,1,2, m =?(3其中t為當前時期數(shù)；m為由t至預測期的時期數(shù)；t a為截距;t b為斜率。兩者 又稱為平滑系數(shù)?，F(xiàn)在，我們根據(jù)移動平均值來確定平滑系數(shù)。由模型(3可知t t a y =1t t t

11、 y y b -=-22t t ty y b -=- ?1(1 t N t ty y N b -+=-所以(111t t t N t y y y M N-+ + =? ( (1 tt t t t y y b y N b N+-+-= ? 12(1tt Ny N b N-+-= ? 12t tN y b -=-因此(112t t t N y M b -=（4由式（3，類似式（4的推導,可得(11112t t t N y M b -=(5所以(1(111t t t t ty y M M b -=-=(6類似式(4的推導，可得(1(212t t t N M M b -=(7于是，由式（4和式（7可得

12、平滑系數(shù)的計算公式為(12(1(222( 1t t t t t t a M M b M M N ? =-?=- ? - ?(8由附表5的程序得出：表1山東職工工資年平均值第一、二次移動平均值年份t職工年平均工資y第一次移動平均，N=6第二次移動平均，N=6197815661979263219803745198147551982576919836789709198479857791985811108591986913139541987101428106619881117821235934 198912192014231052 19901321501617119219911422921814135

13、1 199215260120291531 199316314923161739199417433827421990 199518514532792299 199619580938892678199720624145473134 199821685452563671 199922765660074287 200023877267464954 2001241000775575667 20022511374848464332003261256795387265 20042714332107858186 20052816614122789231200629192281402010444 2007302

14、28441616011877 200831264041866513574200932296882151815571 201033320742447517853圖1:附表1的原始數(shù)據(jù)散點圖取N=6,分別計算第一次和第二次移動平均值并列于表1中(13324475M =, (23317853M =再由公式(8，得(1(2332121231098a M M =-=(1(23333332( 246961b M M =-=-于是，得t =33時直線趨勢預測模型為33310982469m y mA+=+1,2m =?預測2011年和2012年的平均工資為20113433133747y y y aAA+=20

15、123533236396y y y AAA+=由此類推：表22011-2035年職工的平均工資年份平均工資 年份平均工資年份平均工資年份平均工資年份平均工資20113374720164865520216254520267661220319064320123639620175099320226 536820277938120329345920134018220185376120236802720288219620339624820144 30362019569672024708422029849642034990612015458102020597942025737922030877712035

16、101860針對問題二根據(jù)附表2計算2009年該企業(yè)各年齡段職工工資各范圍職工月收入工資之和各個年齡段職工月平均工資各范圍職工總?cè)藬?shù)比如：20-24歲的月平均數(shù)為=(1000+1499/274+(1500+1999/2165+(2000+2499/226+(2500+2999/216+(3000+3499/ 21+(3500+3999/20+(4000+4999/20+(5000+8000/20/(74+165+26+16+1+0+0+0 X? X ? XX?XX? XX?以同樣方法計算 25-29 歲,30-34 歲,35-39 歲,40-44 歲,45-49 歲,50-54 歲,55-59

17、 歲的月平均工資。表12009年該企業(yè)各年齡段職工工資年齡段職工數(shù)職工收入總數(shù)職工月平均工資20-24 歲職工數(shù) 2824870001726.9525-29歲職工數(shù) 2635462502077.0030-34歲職 工數(shù) 2426135002535.1235-39歲職工數(shù) 2266220002752.2140-44歲職工數(shù) 2216687503026.0245-49歲職工數(shù) 1946340003268.0450-54歲職工數(shù) 1354210003118.5255-59 職工數(shù)1013010002980.20然后由表1數(shù)據(jù)計算出2009年該企業(yè)各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比。100%w =x

18、各年齡段平均工資該企業(yè)平均工資表2各年齡段職工比值（職工繳費指數(shù)的參考值年齡段各年齡段職工比值20-24歲職工數(shù)67.37%25-29歲職工數(shù)81.03%30-34歲職工數(shù)98.90%35-39歲 職工數(shù)107.37%40-44歲職工數(shù)118.05%45-49歲職工數(shù)127.49%50-54歲職工數(shù) 121.66%55-59歲職工數(shù)116.26%職工退休時的養(yǎng)老金由兩部分組成：養(yǎng)老金二基礎(chǔ)養(yǎng)老金+個人賬戶養(yǎng)老金個人賬戶儲存額以銀行當時公布的一年期存款利率計息，為簡單起見，利率統(tǒng)一設(shè)定為i。個人賬戶儲存金額為11222110.0812(10.0812(1 0.0812(1120.08(1 mxx

19、 +=xx?+xx +=x +Emm m m S x i S x i x i S x i =由此得出下表年齡段30-55歲3QW0歲3X65 歲個人賬戶總領(lǐng)964845.113593321821352年齡段40-55歲40-60 歲40-65歲個人賬戶總額378530.9637894,1964845. 1個人賬戶養(yǎng)老金；個人賬廣總額十計發(fā)丿數(shù)（數(shù)據(jù)見附表3）基礎(chǔ)養(yǎng)老金工（全省上車反在崗職匸月平均1：資汁本人指數(shù)化月平均繳費匸資）三2X繳費年阻XI%9本人指數(shù)化月平均繳費工資=全省上年度在崗職工月平均工資 x本人平均繳費指數(shù)考慮人的壽命長短不同人活到退休年齡的概率為ip由第一問職工的平均工資和養(yǎng)

20、老金得出=ip養(yǎng)老金替代率職工的平均工資繳費年齡段30-55歲30-60歲30-65歲40-55歲40-60歲10-65 歲替代率2工 64%35. 14%45. 70%2Q.Q1%35. 17%12. 91%（1資金缺口情況該企業(yè)某職工自2000年起從30歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費到退休（55歲,60 歲,65歲。第一種情況：假如從30歲開始交養(yǎng)老保險金一直繳費到 55歲退休，其繳費了 25年,計算這 25年繳納的費：個人賬戶二工資卷社會統(tǒng)籌二工資）20%總共繳費=個人賬戶+社會統(tǒng)籌根據(jù)附表3可以得出個人賬戶在退休后單一發(fā)放的年數(shù)小于20年,所以個 人賬戶收支平衡不存在缺口情況，現(xiàn)只需考慮社

21、會統(tǒng)籌基金與基本養(yǎng)老金的收支差額。然后進行比較得出：表5缺口情況 繳費年齡段30-55歲30-60歲30-65歲總共社會統(tǒng)籌金241211333983304553381養(yǎng)老金領(lǐng)取年齡段 55-75歲60-75歲65-75歲 總共基本養(yǎng) 老金35419203791700342241C資金缺口 1129807393370-1130971由以上數(shù)據(jù)得出假如從30歲開始交養(yǎng)老保險金一直繳費到 55歲退休。出現(xiàn)的資金缺口為 1129807。假如從30歲開始交養(yǎng)老保險金一直繳費到 60歲退休。出現(xiàn)的資金缺口為10393370。假如從30歲開始交養(yǎng)老保險金一直繳費到 65歲退休.則根據(jù)數(shù)據(jù)可知不出 現(xiàn) 資金

22、缺口情況。假如繳存的養(yǎng)老保險基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達到收支平衡，由于個人賬戶 收支平衡不存在缺口故不考慮其影響。 則可以看作是社會統(tǒng)籌基金總額和基本 養(yǎng) 老保險總額相等。112n =x社會統(tǒng)籌基金每月基本養(yǎng)老保險金（2想要達到數(shù)值平衡有以下假設(shè)：1、假如從30歲開始交養(yǎng)老保險金一直繳費到 55歲退休。要想繳存的養(yǎng)老保險基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達到收支平衡 ，則n=13.7由此 該職工領(lǐng)取養(yǎng)老金到68.7歲時，其繳存的養(yǎng)老保險基金與其領(lǐng)取的養(yǎng) 老金之間達到 收支平衡。2、假如從30歲開始交養(yǎng)老保險金一直繳費到 60歲退休要想繳存的養(yǎng)老保險基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達到收支平衡 ，則n=13.3由

23、此 該職工領(lǐng)取養(yǎng)老金到73.3歲時，其繳存的養(yǎng)老保險基金與其領(lǐng)取的養(yǎng) 老金之間達到 收支平衡。3、假如從30歲開始交養(yǎng)老保險金一直繳費到 65歲退休。要想繳存的養(yǎng)老保險基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達到收支平衡，則n=13.4由此 該職工領(lǐng)取養(yǎng)老金到78.4歲時，其繳存的養(yǎng)老保險基金與其領(lǐng)取的養(yǎng) 老金之間達到 收支平衡。所以當從30歲開始交養(yǎng)老保險金一直繳費到 65歲退休 時，要想達到收 支平衡是在78.4歲的時候啦。針對問題四如果既要達到目標替代率，又要維持養(yǎng)老保險基金收支平衡。首先在在養(yǎng)老 保 險制度中還應采取增收減支的策略！如擴大養(yǎng)老保險覆蓋范圍、逐步提高退休年 齡、規(guī)范養(yǎng)老金調(diào)整機制等，以實

24、現(xiàn)養(yǎng)老保險的收支均衡。由于養(yǎng)老保險待遇支付水平較高，加大了對養(yǎng)老金的需求；制度贍養(yǎng)率的提高， 繳費人員負擔的加重；制度內(nèi)在的缺陷；職工的提前退休；統(tǒng)籌基金收繳率 下降，養(yǎng)老 保險基金供款不足；統(tǒng)籌層次低、條塊分割、基金調(diào)劑不強；基金管理不佳;基金增 至效率不高等因素的影響。 必須解決養(yǎng)老保險基金缺口問題：1、建立健全財政轉(zhuǎn)移支付制度2、改革繳費制為繳稅制3、增加稅收渠道，彌補基金缺口 4、變現(xiàn)部分國有資產(chǎn)5、發(fā)行特種國債進行籌資擴大養(yǎng)老保險覆蓋面，努力將更多的符合條件的人員納入到養(yǎng)老保險體系中來,是保障老年群體基本生活的必要措施，是促進企業(yè)平等競爭，減輕國有企業(yè) 負擔,推 動國企改革的前提保障

25、，是維護勞動者合法權(quán)益、保持社會穩(wěn)定的有效 手段。同時擴大養(yǎng)老保險的覆蓋面，有利于利用新生勞動者年輕的優(yōu)勢，提高養(yǎng)老保險體制 的承受能力，是解決目前養(yǎng)老保險統(tǒng)籌基金嚴重不足，增加財政收入，緩解歷史隱性債務壓力的重要渠道。提高養(yǎng)老保險費的收繳率是中國養(yǎng)老保險制度另一個魚待解決的問題，收繳率不高會影響到養(yǎng)老金待遇支付資金的充足性，被認為是引起養(yǎng)老金收支失衡的 原因 之一。在擴大覆蓋面的同時，如果收繳率不能提高或提高幅度較小，則覆蓋 面越高， 基金缺口就越大。因此，必須采取一些切實有效措施提高收繳率，以改善養(yǎng)老金的財 務狀況,實現(xiàn)收支均衡。這些措施主要包括:（1頒布社會保障法律法規(guī)，約束企業(yè)和 個人

26、足額繳費。（2對一定年限內(nèi)不繳費的企業(yè)和個人采取相應的處罰措施。（3對 長期不繳費的企業(yè)，責成工商局等管理部門進行罰款直至 吊銷營業(yè)執(zhí)照。（4對一些 經(jīng)營確有困難的企業(yè)，可采取記賬方法，待企業(yè)經(jīng)營 好轉(zhuǎn)時予以補繳。（5規(guī)范管理流 程,加大宣傳和征繳力度，使職工能自覺維護 自己的養(yǎng)老保險權(quán)益。由問題三的結(jié)果得出要想達到收支平衡需提高退休年齡，較低的法定退休年齡 與持續(xù)延長的人均預期壽命同時并存，意味著老年人口被贍養(yǎng)的時間增加，勞動力人 口的負擔增大，必然會加劇養(yǎng)老保險制度的費用負擔程度，影響?zhàn)B老保險 制度改革 的順利進行。推遲退休會使個人在一段時期內(nèi)從養(yǎng)老金的消費者變成養(yǎng)老金的繳費者，這可以增加

27、養(yǎng)老保險基金的積累，減少養(yǎng)老保險基金的支付，有利于緩解養(yǎng)老 保險基金收支不平衡的壓力。完善基本養(yǎng)老保險的管理體制，逐步提高實施養(yǎng)老保險統(tǒng)籌層次相關(guān)理論與政J策o參考文獻1 韓伯棠管理運籌學M.北京:高等教育出版社，2010.2 姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學模型M.北京:高等教育出版社,2003. 3穆懷中, 鄒麗麗.基本養(yǎng)老保險統(tǒng)籌層析研究M.2009.（95732 .nh4中國知網(wǎng).余紫楊.江西省城鎮(zhèn)職工養(yǎng)老保險基金運營的模型與應用.J.( 21470.nh附表1：年份t職工年平均工資y11附表2:附件2:2009年山東省某企業(yè)各年齡段工資分布表年齡段月收入范圍(元121B'41希塚豪

28、官&3274SW14飾E他6T8f鹹gim孑E1L2UK10I4Z811丄：船12MRJ彌飛五處1WL14jm涉2bQtLB3149amIT1SM:R51*5jaw沾5BD9-6211im-L苗BM*6657"Zinn24iDOtr壬iir-iZK3Jt12W714332Wi201KHSbdftlSSWT238<13QH11244012W4411心廣11000-1 499 1500-199920092499250929993009349935093999400949995000000002924逛男74165222000 2529逛男368294426300 3934逛

29、男032839524620 3509逛男0117483361642 40-44歲職工數(shù)0043865521133 45-49歲職工數(shù)0332326441184 50-54歲職工數(shù)072329442183 55-59歲職工數(shù)06172737770附表 3:表一一:個人賬戶養(yǎng)老金計發(fā)月數(shù)表退休年齡計發(fā)月數(shù) 退休年齡 計發(fā)月數(shù)402335616441230571584222658152432235914544220601394521661132462126212547208631174820464109491996510150195669351190678452185687553180696554175705655170附表4:平均工資hat仁131.0e+004 * Columns 1 through 7 0.0709 0.0779 0.0859 0.0954 0.1066 0.12350.1423 Columns 8 through 14 0.161