2011年高考一輪數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) X1-2離散型隨機(jī)變量的期望與方差 理 同步練習(xí)（名師解析）

1、選修 第1章 第2節(jié) 知能訓(xùn)練·提升考點(diǎn)一：求離散型隨機(jī)變量的期望1如圖，A、B兩點(diǎn)由5條連線并聯(lián)，它們?cè)趩挝粫r(shí)間內(nèi)能通過的最大信息量依次為2、3、4、3、2.現(xiàn)記從中任取三條線且在單位時(shí)間內(nèi)都通過最大信息總量為.(1)寫出最大信息總量的分布列；(2)求最大信息總量的數(shù)學(xué)期望解：(1)由已知的取值為7、8、9、10.P(7)，P(8)，P(9)，P(10).的分布列為78910P(2)E()×7×8×9×108.4.2甲、乙、丙3人投籃，投進(jìn)的概率分別是，.(1)求3人都沒有投進(jìn)的概率；(2)用表示乙投籃3次的進(jìn)球數(shù)，求隨機(jī)變量的概率分布及數(shù)學(xué)

2、期望E.解：(1)記“甲投籃1次投進(jìn)”為事件A1，“乙投籃1次投進(jìn)”為事件A2，“丙投籃1次投進(jìn)”為事件A3，“3人都沒有投進(jìn)”為事件A，則P(A1)，P(A2)，P(A3).P(A)P(··)P()·P()·P()1P(A1)·1P(A2)·1P(A3)(1)(1)(1)，3人都沒有投進(jìn)的概率為.(2)解法一：隨機(jī)變量的可能值有0,1,2,3.則Enp3×.解法二：的分布列為0123PE0×1×2×3×.考點(diǎn)二：求離散型隨機(jī)變量的方差3某IT公司對(duì)其網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器開放的3個(gè)外網(wǎng)絡(luò)端口的安

3、全進(jìn)行監(jiān)控，以便在發(fā)現(xiàn)黑客入侵及時(shí)跟蹤鎖定今分析得知在今后某段時(shí)間段內(nèi)，這3個(gè)網(wǎng)絡(luò)端口各自將受到黑客入侵的概率均為0.1，在今后該時(shí)間段內(nèi)，(1)恰有2個(gè)網(wǎng)絡(luò)端口受到黑客入侵的概率是多少？(2)求被入侵的網(wǎng)絡(luò)端口個(gè)數(shù)的概率分布及的數(shù)學(xué)期望與方差解：(1)設(shè)一個(gè)網(wǎng)絡(luò)端口被入侵的事件為A，則P(A)0.1，P()0.9，各個(gè)網(wǎng)絡(luò)端口被入侵的概率均為0.1且相互獨(dú)立，故網(wǎng)絡(luò)端口被入侵的事件相當(dāng)于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰有2個(gè)網(wǎng)絡(luò)端口受到黑客入侵的概率為P3(2)C×0.12×0.90.027.(2)依題意得的(3,0.1)，其分布列為：0123P0.7290.2430.0270.001E3

4、×0.10.3，D3×0.1×0.90.27.4(2010·黃岡質(zhì)量檢測(cè))某大學(xué)畢業(yè)生響應(yīng)國家號(hào)召，到某村參加村委會(huì)主任應(yīng)聘考核考核依次分為筆試、面試、試用共三輪進(jìn)行，規(guī)定只有通過前一輪考核才能進(jìn)入下一輪考核，否則將被淘汰，三輪考核都通過才能被正式錄用設(shè)該大學(xué)畢業(yè)生通過三輪考核的概率分別為、，且各輪考核通過與否相互獨(dú)立(1)求該大學(xué)畢業(yè)生未進(jìn)入第三輪考核的概率；(2)設(shè)該大學(xué)畢業(yè)生在應(yīng)聘考核中考核次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望和方差解：(1)記“該大學(xué)畢業(yè)生通過筆試”為事件A，“該大學(xué)畢業(yè)生通過面試”為事件B，“該大學(xué)畢業(yè)生通過試用”為事件C.則P(A)，P(B)

5、，P(C).那么該大學(xué)生未進(jìn)入第三輪考核的概率是PP(A·)P()P(A)P()1×(1).(2)的可能取值為1,2,3.P(1)P()1P(A)，P(2)P(A·)P(A)(1P(B)，P(3)P(A·B)P(A)P(B)，或P(3)P(A·B·A·B·C).的數(shù)學(xué)期望E1×2×3×.的方差D(1)2×(2)2×(3)2×.考點(diǎn)三：期望與方差性質(zhì)的應(yīng)用5(1)設(shè)隨機(jī)變量的分布列為P(k)(k1,2，8)，求E和E(32)；(2)設(shè)隨機(jī)變量的分布列為P(k

6、)(k1,2，n)，求E和D.解：(1)E1×2×8×4.5，E(32)3E23×4.5215.5；(2)E(12n)，DE2(E)21222n2()2(n21)6最近，李師傅一家三口就如何將手中的10萬元錢進(jìn)行投資，提出了三種方案：第一種方案：李師傅的兒子認(rèn)為：根據(jù)股市收益大的特點(diǎn)，應(yīng)該將10萬元全部用來買股票據(jù)分析預(yù)測(cè)：投資股市一年可能獲利40%，也可能虧損20%(只有這兩種可能)，且獲利的概率為.第二種方案：李師傅認(rèn)為：現(xiàn)在股市風(fēng)險(xiǎn)大，基金風(fēng)險(xiǎn)小，應(yīng)將10萬元全部用來買基金據(jù)分析預(yù)測(cè)：投資基金一年后可能獲利20%，可能損失10%，也可能不賠不賺，且

7、這三種情況發(fā)生的概率分別為，.第三種方案：李師傅的妻子認(rèn)為：投入股市、基金均有風(fēng)險(xiǎn)，應(yīng)該將10萬元全部存入銀行一年，現(xiàn)在存款年利率為4%，存款利息稅率為5%.針對(duì)以上三種投資方案，請(qǐng)你為李師傅家選擇一種合理的理財(cái)方案，并說明理由解：若按方案一執(zhí)行，設(shè)收益萬元，則其分布列為42PE4×(2)×1萬元若按方案二執(zhí)行，設(shè)收益為萬元，則其分布列為：201PE2×0×(1)×1萬元若按方案三執(zhí)行，收益y10×4%×(15%)0.38萬元由EEy.DE2(E)216×4×129.DE2(E)24×()0&#

8、215;1×1.由上知DD.這說明雖然方案一、二收益相等，但方案二更穩(wěn)妥所以，建議李師傅家選擇方案二投資較為合理7某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都是經(jīng)過第一和第二工序加工而成，兩道工序加工結(jié)果相互獨(dú)立，每道工序的加工結(jié)果均有A、B兩個(gè)等級(jí)，對(duì)每種產(chǎn)品，兩道工序加工結(jié)果都為A級(jí)時(shí)，產(chǎn)品為一等品，其余為二等品(1)已知甲、乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)果為A級(jí)的概率如表一所示，分別求生產(chǎn)出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率P甲、P乙；表1工序效率產(chǎn)品一工序第二工序甲0.80.85乙0.750.8(2)已知一件產(chǎn)品的利潤如表二所示，用、分別表示一件甲、乙產(chǎn)品的利潤，在(1)條件下，求、的分布列及

9、E、E：表2等級(jí)利潤產(chǎn)品一等二等甲5(萬元)2.5(萬元)乙2.5(萬元)1.5(萬元)(3)已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需用的工人數(shù)和資金額如表3所示，該工廠有工人40名，可用資金60萬元設(shè)x、y分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量，在(2)條件下，x，y為何值時(shí)，zxEyE最大？最大值是多少？(解答時(shí)須給出圖示)表3項(xiàng)目用量產(chǎn)品工人(名)資金(萬元)甲85乙210解：(1)P甲0.8×0.850.68.P乙0.75×0.80.6.(2)隨機(jī)變量，的分布列是52.5P0.680.322.51.5P0.60.4E5×0.682.5×0.324.2，E2.5×0.6

10、1.5×0.42.1.(3)由題設(shè)知目標(biāo)函數(shù)為zxEyE4.2x2.1y.作出可行域(如圖)：作直線l：4.2x2.1y0.將l向右上方平移至l1位置時(shí)，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M且與原點(diǎn)距離最大，此時(shí)z4.2x2.1y有最大值解方程組得x4，y4，即x4，y4時(shí)，z取最大值，z的最大值為25.2.8設(shè)排球隊(duì)A與B進(jìn)行比賽，若有一隊(duì)勝四場則比賽結(jié)束(不出現(xiàn)平局)通常，若兩隊(duì)技術(shù)水平相差懸殊，則比賽需要的場數(shù)較少；若兩隊(duì)技術(shù)水平相當(dāng)，則比賽需要場數(shù)較多試用你學(xué)過的概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解釋這一現(xiàn)象解：設(shè)在每場比賽中，A勝B的概率為p，B勝A的概率為q1p(0p1)，進(jìn)行n場比賽，可看作是進(jìn)行n次獨(dú)立

11、重復(fù)試驗(yàn)，其中，A勝Bk場的概率為Cpkqnk.設(shè)比賽結(jié)束時(shí)，比賽場數(shù)為隨機(jī)變量，比賽至少要進(jìn)行4場，4.又如果比賽進(jìn)行了7場，兩隊(duì)中總有一隊(duì)要?jiǎng)?場，比賽結(jié)束，7，即的取值集合為4,5,6,7“k”表示比賽k場即決出勝負(fù)，即A在第k場取勝，在前k1場中又勝了3場，或者B在第k場取勝，在前k1場中又勝了3場，P(k)Cp4qk4Cq4pk4(k4,5,6,7).4567pp4q44pq(p3q3)10p2q2(p2q2)20p3q3(pq)E4(p4q4)20pq(p3q3)60p2q2(p2q2)140p3q3(pq)，又pq1，p2q212pq，p3q313pq，p4q414pq2p2q2

12、，E20p3q38p2q24pq4.設(shè)tpqp(1p)(p)2,0t.當(dāng)t接近于0時(shí)，說明雙方水平相差懸殊，當(dāng)t接近于時(shí)，說明雙方水平相當(dāng)令Ef(t)20t3t24t4(t0，)，則f(t)60t216t40(t0，)，f(t)在0，上是增函數(shù)故當(dāng)雙方水平差距逐漸縮小時(shí)，比賽的平均場數(shù)逐漸增多特別地，當(dāng)某隊(duì)占絕對(duì)優(yōu)勢(shì)即t0時(shí)，E4，平均只需比賽4場；當(dāng)兩隊(duì)水平一樣時(shí)，即t，E5.813，平均需要比賽6場.高考鏈接1.(2009·湖南)為拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長，某市決定新建一批重點(diǎn)工程，分為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類這三類工程所含項(xiàng)目的個(gè)數(shù)分別占總數(shù)的、.現(xiàn)有3名工人獨(dú)立地從中任選

13、一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè)(1)求他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率；(2)記為3人中選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望解：記第i名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件Ai，Bi，Ci，i1,2,3，由題意知A1，A2，A3相互獨(dú)立，B1，B2，B3相互獨(dú)立，C1，C2，C3相互獨(dú)立，Ai，Bj，Ck(i，j，k1,2,3，且i，j，k互不相同)相互獨(dú)立，且P(Ai)，P(Bi)，P(Ci).(1)他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率P3！P(A1B2C3) 6P(A1)P(B2)P(C3)6×××.(2)解法

14、一：設(shè)3名工人中選擇的項(xiàng)目屬于民生工程的人數(shù)為，由已知，B(3，)，且3，所以P(0)P(3)C()3，P(1)P(2)C()2()，P(2)P(1)C()()2，P(3)P(0)C()3.故的分布列是0123P的數(shù)學(xué)期望E0×1×2×3×2.解法二：記第i名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件Di，i1,2,3.由已知，D1，D2，D3相互獨(dú)立，且P(Di)P(AiCi)P(Ai)P(Ci).所以B(3，)，即P(k)C()k()3k，k0,1,2,3.故的分布列是0123P的數(shù)學(xué)期望E3×2.2(2009·湖北)

15、一個(gè)盒子里裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)2,3,4,5；另一個(gè)盒子也裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)3,4,5,6.現(xiàn)從一個(gè)盒子中任取一張卡片，其上面的數(shù)記為x；再從另一盒子里任取一張卡片，其上面的數(shù)記為y，記隨機(jī)變量xy，求的分布列和數(shù)學(xué)期望解：依題意，可取5,6,7,8,9,10,11，則有P(5)，P(6)，P(7)，P(8)，P(9)，P(10)，P(11).的分布列為567891011PE5×6×7×8×9×10×11×8.3(2009·全國卷)某車間甲組有10名工人，其中有4名女工

16、人；乙組有5名工人，其中有3名女工人，現(xiàn)采用分層抽樣方法(層內(nèi)采用不放回簡單隨機(jī)抽樣)從甲、乙兩組中共抽取3名工人進(jìn)行技術(shù)考核(1)求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)；(2)求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率；(3)記表示抽取的3名工人中女工人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望解：(1)由于甲組有10名工人，乙組有5名工人，根據(jù)分層抽樣原理，若從甲、乙兩組中共抽取3名工人進(jìn)行技術(shù)考核，則從甲組抽取2名工人，乙組抽取1名工人(2)記A表示事件：從甲組抽取的工人中恰有1名女工人，則P(A).(3)的可能取值為0,1,2,3.Ai表示事件：從甲組抽取的2名工人中恰有i名男工人，i0,1,2.B表示事件：從乙組抽

17、取的是1名男工人Ai與B獨(dú)立，i0,1,2.P(0)P(A0·)P(A0)·P()·，P(1)P(A0·BA1·)P(A0)·P(B)P(A1)·P()··，P(3)P(A2B)P(A2)·P(B)·，P(2)1P(0)P(1)P(3).故的分布列為0123PE0×P(0)1×P(1)2×P(2)3×P(3).1.某車間在兩天內(nèi)，每天生產(chǎn)10件某產(chǎn)品，其中第一天、第二天分別生產(chǎn)出了1件 、2件次品，而質(zhì)檢部門每天要從生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中隨意抽取4件

18、進(jìn)行檢查，若發(fā)現(xiàn)有次品，則當(dāng)天的產(chǎn)品不能通過(1)求第一天產(chǎn)品通過檢查的概率；(2)若廠內(nèi)對(duì)車間生產(chǎn)的產(chǎn)品采用記分制：兩天全不通過檢查得0分；通過1天、2天分別得1分、2分求該車間這兩天的所得分的數(shù)學(xué)期望解：(1)隨意抽取4件產(chǎn)品檢查是隨機(jī)事件，而第一天有9件正品，第一天通過檢查的概率為P1.(2)第二天通過檢查的概率為P2.兩天的所得分的可取值分別為0,1,2.P(0)×，P(1)××，P(2)×.E0×1×2×2高三(1)班和高三(2)班各已選出3名學(xué)生組成代表隊(duì)，進(jìn)行乒乓球?qū)官?，比賽?guī)則是：按“單打、雙打、單打”順序進(jìn)行三盤比賽；代表隊(duì)中每名對(duì)員至少參加一盤比賽，但不得參加兩盤單打比賽；先勝兩盤的隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束已知每盤比賽雙方勝出的概率均為.(1)根據(jù)比賽規(guī)則 ，高三(1)班代表隊(duì)共可排出多少種不同的出場陣容？(2)高三(1)班代表隊(duì)連勝