（整理版）函數(shù)的單調(diào)性與最值

1、2-2函數(shù)的單調(diào)性與最值根底穩(wěn)固強(qiáng)化1.(·陜西文)集合mx|lgx>0，nx|x24，那么mn()a(1,2) b1,2)c(1,2 d1,2答案c解析此題考查對數(shù)不等式、一元二次不等式的解法及集合的交集運(yùn)算mx|x>1，nx|2x2，所以mnx|1<x2(1,2點(diǎn)評對于對數(shù)方程或?qū)?shù)不等式的求解一定不要忽略要使函數(shù)有意義，應(yīng)有真數(shù)>0.2(·安徽省“江南十校高三聯(lián)考)函數(shù)f(x)是r上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù)，那么f(1)的值()a恒為正數(shù) b恒為負(fù)數(shù)c恒為0 d可正可負(fù)答案a解析f(x)在r上有意義，且f(x)為奇函數(shù)，f(0)0.f(x)為增函

2、數(shù)，f(1)>f(0)0.3(文)假設(shè)f(x)x36ax的單調(diào)遞減區(qū)間是(2,2)，那么a的取值范圍是()a(，0 b2,2c2 d2，)答案c解析f (x)3x26a，假設(shè)a0，那么f (x)0，f(x)單調(diào)增，排除a；假設(shè)a>0，那么由f (x)0得x±，當(dāng)x<和x>時(shí)，f (x)>0，f(x)單調(diào)增，當(dāng)<x<時(shí)，f(x)單調(diào)減，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(，)，從而2，a2.點(diǎn)評f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(2,2)和f(x)在(2，2)上單調(diào)遞減是不同的，應(yīng)加以區(qū)分本例亦可用x±2是方程f (x)3x26a0的兩根解得a2.(理)函

3、數(shù)f(x)ln(43xx2)的單調(diào)遞減區(qū)間是()a(， b，)c(1， d，4)答案d解析由43xx2>0得，函數(shù)f(x)的定義域是(1，4)，u(x)x23x4(x)2的減區(qū)間為，4)，e>1，函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為，4)點(diǎn)評可用篩選法求解，顯然x±100時(shí)，f(x)無意義，排除a、b；f(0)ln4，f(1)ln6，f(0)<f(1)，排除c，應(yīng)選d.4(文)(·天津文)a2，b()，c2log52，那么a、b、c的大小關(guān)系為()ac<b<a bc<a<bcb<a<c db<c<a答案a解析此題考查指

4、數(shù)、對數(shù)值的大小比擬a2>212，b()2<212，b2>201，c2log52log522log54<log551，所以c<b<a.(理)(·大綱全國理)xln，ylog52，ze，那么()ax<y<z bz<x<ycz<y<x dy<z<x答案d解析ylog52，ze且<2<log25，y<z<1，又ln>1，y<z<x，應(yīng)選d.點(diǎn)評比擬兩數(shù)的大小通常是利用中介值法或函數(shù)的單調(diào)性求解解題時(shí)，應(yīng)注意觀察判斷數(shù)的正負(fù)，正數(shù)區(qū)分大于1還是小于1，再找出同底數(shù)的、

5、同指數(shù)的、同真數(shù)的，區(qū)別不同情況采用不同函數(shù)的單調(diào)性或圖象與性質(zhì)進(jìn)行比擬，有時(shí)需要先進(jìn)行變形再比擬5給定函數(shù)yx，ylog(x1)，y|x1|，y2x1，其中在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減的函數(shù)的序號是()a bc d答案b解析yx為增函數(shù)，排除a、d；y2x1為增函數(shù)，排除c，應(yīng)選b.6偶函數(shù)yf(x)對任意實(shí)數(shù)x都有f(x1)f(x)，且在0,1上單調(diào)遞減，那么()af<f<fbf<f<fcf<f<fdf<f<f答案b解析由條件知f(x2)f(x1)f(x)，f(x)是周期為2的周期函數(shù)，f(x)為偶函數(shù)，ffff，fff，ffff，f(x)在0

6、,1上單調(diào)遞減，f>f>f，f>f>f.7(·湖北八校聯(lián)考)假設(shè)函數(shù)f(x)loga(x2ax5)(a>0且a1)滿足對任意的x1、x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，f(x2)f(x1)<0，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為_答案1<a<2解析由題意知函數(shù)f(x)loga(x2ax5)在(，上遞減，又因?yàn)楹瘮?shù)yx2ax5在(，上遞減，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知a>1.又真數(shù)大于零，所以函數(shù)yx2ax5的最小值大于零，即()2a×5>0，所以2<a<2，綜上1<a<2.8(·德州月考)函數(shù)f(x)假設(shè)f(

7、x0)2，那么x0的取值范圍是_答案(，12，)解析當(dāng)x00時(shí)，f(x0)2化為()x02，即：()x0()1，x01，當(dāng)x00時(shí)，f(x0)2化為log2(x02)2，即log2(x02)log24，x024，x02，x0的取值范圍是(，12，)9(·淮南一模)函數(shù)f(x)(a是常數(shù)且a函數(shù)f(x)的最小值是1；函數(shù)f(x)在r上是單調(diào)函數(shù)；假設(shè)f(x)>0在，)上恒成立，那么a的取值范圍是a>1；對任意的x1<0，x2<0且x1x2，恒有f()<.答案解析(數(shù)形結(jié)合法)根據(jù)題意可畫出草圖，由圖象可知，顯然正確；函數(shù)f(x)在r上不是單調(diào)函數(shù)，故錯(cuò)誤；

8、假設(shè)f(x)>0在，)上恒成立，那么2a×1>0，a>1，故正確；由圖象可知在(，0)上對任意的x1>0，x2<0且x1x2，恒有f()<成立，故正確10(文)(·南通市調(diào)研)經(jīng)市場調(diào)查，某商品在過去100天內(nèi)的銷售量和價(jià)格均為時(shí)間t(天)的函數(shù)，且日銷售量近似地滿足g(t)t(1t100，tn)前40天價(jià)格為f(t)t22(1t40，tn)，后60天價(jià)格為f(t)t52(41t100，tn)，試求該商品的日銷售額s(t)的最大值和最小值解析當(dāng)1t40，tn時(shí)，s(t)g(t)f(t)(t)(t22)t22t(t12)2，所以768s(4

9、0)s(t)s(12)12.當(dāng)41t100，tn時(shí)，s(t)g(t)f(t)(t)(t52)t236t(t108)2，所以8s(100)s(t)s(41).所以，s(t)的最大值為，最小值為8.(理)(·安徽名校聯(lián)考)一家公司生產(chǎn)某種商品的年固定本錢為10萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬元設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該商品x千件并全部銷售完，假設(shè)每千件的銷售收入為r(x)萬元，且r(x)(1)寫出年利潤w(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該公司在這一商品的生產(chǎn)中所獲得利潤最大？(注：年利潤年銷售收入年總本錢)解析(1)當(dāng)0<x10時(shí)，wxr(xxx1

10、0；當(dāng)x>10時(shí)，wxr(xx)98x.w(2)當(dāng)0<x<10時(shí)，由w8.10，得x9，且當(dāng)x(0,9)時(shí)，w>0；當(dāng)x(9,10)時(shí)，w<0，當(dāng)x9時(shí)，w取極大值，且w8.1×9·931038.6.當(dāng)x>10時(shí)，w9898238，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x時(shí)，w38，故當(dāng)x時(shí)，w取極大值38.又當(dāng)x10時(shí)，w.綜合知當(dāng)x9時(shí)，w取最大值38.6萬元，故當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該公司在這一商品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大.能力拓展提升11.(·陜西)以下函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為()ayx1 byx3cy dyx|x|答案d解析此題考查了函數(shù)

11、的奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)的應(yīng)用a中yx1是非奇非偶函數(shù)；b中yx3是減函數(shù)；c中y在(，0)和(0，)上分別遞減，但在整個(gè)定義域上不是單調(diào)函數(shù)；d中函數(shù)yx|x|可化為y可畫出其圖象如下圖：顯然該函數(shù)為奇函數(shù)且為增函數(shù)12(文)假設(shè)函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象可能是()答案a解析導(dǎo)函數(shù)f (x)是增函數(shù)，切線的斜率隨著切點(diǎn)橫坐標(biāo)的增大，逐漸增大，應(yīng)選a.點(diǎn)評b圖中切線斜率逐漸減小，c圖中f (x)為常數(shù)，d圖中切線斜率先增大后減小(理)如果函數(shù)yax(a>0，且a1)是減函數(shù)，那么函數(shù)f(x)loga的圖象大致是()答案c解析解法一：

12、由函數(shù)yax(a>0，且a1)是減函數(shù)知a>1，0<<1，f(x)logaloga(x1)log(x1)函數(shù)f(x)的圖象可以看作由函數(shù)ylogx的圖象向左平移1個(gè)長度得到，又ylogx是減函數(shù)，f(x)為減函數(shù)，應(yīng)選c.解法二：由于f(0)0，故排除a、b；由yax，即yx是減函數(shù)知a>1，x>0時(shí)，f(x)<0，排除d，選c.13函數(shù)y2sin(x)為偶函數(shù)(0<<)，其圖象與直線y2某兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1、x2，假設(shè)|x2x1|的最小值為，那么該函數(shù)在區(qū)間()上是增函數(shù)()a. b.c. d.答案a解析y2sin(x)為偶函數(shù)，

13、0<<，y2cosx，由條件知，此函數(shù)的周期為，2，y2cos2x，由2k2x2k，(kz)得，kxk(kz)，令k0知，函數(shù)在上是增函數(shù)，故a正確14(文)假設(shè)函數(shù)f(x)x22ax與g(x)在區(qū)間1,2上都是減函數(shù)，那么a的取值范圍是_答案(0,1解析由f(x)x22ax得函數(shù)對稱軸為xa，又在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，所以a1，又g(x)在1,2上減函數(shù)，所以a>0，綜上a的取值范圍為(0,1(理)假設(shè)函數(shù)f(x)x22xalnx在(0,1)上單調(diào)遞減，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案a4解析函數(shù)f(x)x22xalnx在(0,1)上單調(diào)遞減，當(dāng)x(0,1)時(shí)，f (x)2x2

14、0，g(x)2x22xa0在x(0,1)時(shí)恒成立，g(x)的對稱軸x，x(0,1)，g(1)0，即a4.15函數(shù)f(x)loga(x1)loga(1x)，a>0且a1.(1)求f(x)的定義域；(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明；(3)當(dāng)a>1時(shí)，求使f(x)>0的x的取值范圍解析(1)要使f(x)loga(x1)loga(1x)有意義，那么解得1<x<1.故所求定義域?yàn)閤|1<x<1(2)由(1)知f(x)的定義域?yàn)閤|1<x<1，且f(x)loga(x1)loga(1x)loga(x1)loga(1x)f(x)，故f(x)為奇函數(shù)(3

15、)因?yàn)楫?dāng)a>1時(shí)，f(x)在定義域x|1<x<1內(nèi)是增函數(shù)，所以f(x)>0>1.解得0<x<1.所以使f(x)>0的x的取值范圍是x|0<x<116(文)函數(shù)f(x)對任意的a、br都有f(ab)f(a)f(b)1，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1.(1)求證：f(x)是r上的增函數(shù)；(2)假設(shè)f(4)5，解不等式f(3m2m2)<3.解析(1)證明：任取x1、x2r且x1<x2，x2x1>0.f(x2x1)>1.f(x2)fx1(x2x1)f(x1)f(x2x1)1>f(x1)，f(x)是r上的

16、增函數(shù)(2)解：f(4)f(2)f(2)15，f(2)3.f(3m2m2)<3化為f(3m2m2)<f(2)又由(1)的結(jié)論知f(x)是r上的增函數(shù)，3m2m2<2，1<m<.原不等式的解集為x|1<x<(理)設(shè)函數(shù)f(x)ax2bxc(a、b、c為實(shí)數(shù)，且a0)，f(x)(1)假設(shè)f(1)0，曲線yf(x)通過點(diǎn)(0,2a3)，且在點(diǎn)(1，f(1)處的切線垂直于y軸，求f(x)的表達(dá)式；(2)在(1)的條件下，當(dāng)x1,1時(shí)，g(x)kxf(x)是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(3)設(shè)mn<0，mn>0，a>0，且f(x)為偶函數(shù)，證

17、明f(m)f(n)>0.解析(1)因?yàn)閒(x)ax2bxc，所以f (x)2axb.又曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線垂直于y軸，故f (1)0，即2ab0，因此b2a.因?yàn)閒(1)0，所以bac.又因?yàn)榍€yf(x)通過點(diǎn)(0,2a3)，所以c2a3.解由，組成的方程組得，a3，b6，c3.從而f(x)3x26x3.所以f(x)(2)由(1)知f(x)3x26x3，所以g(x)kxf(x)3x2(k6)x3.由g(x)在1,1上是單調(diào)函數(shù)知：1或1，得k12或k0.(3)因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，可知b0.因此f(x)ax2c.又因?yàn)閙n<0，mn>0，可知m、n異號假

18、設(shè)m>0，那么n<0.那么f(m)f(n)f(m)f(n)am2can2ca(mn)(mn)>0.假設(shè)m<0，那么n>0.同理可得f(m)f(n)>0.綜上可知f(m)f(n)>0.1(·新課標(biāo)全國文)當(dāng)0<x時(shí)，4x<logax，那么a的取值范圍是()a(0，) b(，1)c(1，) d(，2)答案b解析0<x時(shí)，logax>4x>0，0<a<1，排除c、d；當(dāng)x時(shí)，loga>42logaa2，或a>，排除a，選b.2(·山東聊城模擬)設(shè)函數(shù)yf(x)在r上有定義，對于給定的正

19、數(shù)k，定義函數(shù)fk(x)假設(shè)函數(shù)f(x)那么函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()a(，1 b(，0c0，) d1，)答案d解析由題意知，f(x)f(x)作圖不難發(fā)現(xiàn)，函數(shù)f(x)在區(qū)間1，)上單調(diào)遞減應(yīng)選d.3定義在r上的偶函數(shù)f(x)滿足：對任意的x1、x2(，0(x1x2)，有(x2x1)(f(x2)f(x1)>0，那么當(dāng)nn*時(shí)，有()af(n)<f(n1)<f(n1)bf(n1)<f(n)<f(n1)cf(n1)<f(n)<f(n1)df(n1)<f(n1)<f(n)答案c解析由(x2x1)(f(x2)f(x1)>0得f(x)在(

20、，0上為增函數(shù)又f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)在0，)上為減函數(shù)又f(n)f(n)且0n1<n<n1，f(n1)<f(n)<f(n1)，即f(n1)<f(n)<f(n1)應(yīng)選c.4函數(shù)f(x)圖象的兩條對稱軸x0和x1，且在x1,0上f(x)單調(diào)遞增，設(shè)af(3)，bf()，cf(2)，那么a、b、c的大小關(guān)系是()aa>b>c ba>c>bcb>c>a dc>b>a答案d解析f(x)在1,0上單調(diào)增，f(x)的圖象關(guān)于直線x0對稱，f(x)在0,1上單調(diào)減；又f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，f(x)在1,2上單調(diào)增，在2,3上單調(diào)減由對稱性f(3)f(1)f(1)<f()<f(2)，即c>b>a.5函數(shù)yf(x)(xr)的圖象如右圖所示，那么函數(shù)g(x)f(logx)的單調(diào)減區(qū)間是()a1，b，1c(0,1和，)d(，1和，)答案c解析令tlogx，那么此函數(shù)為減函數(shù)，由圖知y