機(jī)械故障診斷學(xué) 鐘秉林 第4章動(dòng)態(tài)系統(tǒng)特性的頻譜分析

1、第4章 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)特性的頻域分析 l 傅里葉變換l 隨機(jī)信號(hào)的功率譜l 極大熵譜、 倒譜2021-12-211機(jī)械故障診斷理論與方法特征分析的目的： 去偽存真（研究特征量的變化規(guī)律） 去粗取精（選擇對(duì)工況最敏感的特征量）特征分析的手段： 時(shí)域 頻域及其各種變換域頻域及其各種變換域 時(shí)頻域l 概述2021-12-212在數(shù)學(xué)中，為了把較復(fù)雜復(fù)雜的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單的運(yùn)算，常常采取一種變換手段變換手段。積分變換（傅氏變換、拉氏變換）也是如此。2021-12-213數(shù)量的乘積或商對(duì)數(shù)的和或差對(duì)數(shù)變換原數(shù)量的乘積或商反對(duì)數(shù)一、傅里葉級(jí)數(shù)及頻譜0001( )cossin2nnnax tantbnt 周期

2、信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)及幅值譜 22( )( ),( )( )jftjftX fx t edtx tX f edf傅里葉變換：2021-12-214一個(gè)周期為T(mén)0且滿足狄利克雷（Dirichlet）條件的周期函數(shù)x(t)可以展開(kāi)成如下的傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)（Fourier series）其中，狄利克雷（Dirichlet）條件：連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；只有有限個(gè)極值點(diǎn)。00/ 20/ 202( )TTax t dtT2/2/0000cos)(2TTndttntxTa2/2/0000sin)(2TTndttntxTb常 值 分 量：余弦分量幅值：正弦分量幅值：2021-12-2150001( )

3、cossin2nnnax tantbnt002T重 復(fù) 頻 率：（例題）方波信號(hào)0220)()()(000tTATtAtxnTtxtxT0T0T02T020tx(t)2021-12-216tnnAtttAtxn00000) 12sin(12145sin513sin31sin4)(002T4A 4A34A50A()03050003050 ()/2幅值譜相位譜2021-12-2174Anx(t)0tT02021-12-218方波信號(hào)可以看成一系列頻率不等的正弦波疊加而成。周期方波信號(hào)的時(shí)域、頻域（幅值、相位）描述 2021-12-219000/2/201( )TjntnTFx t edtTn =

4、0, 1, 2, 0( )jntnnx tF e其中，傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)：傅立葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式：njnnRnInFFjFF e幅頻譜圖幅頻譜圖：|Fn| 實(shí)頻譜圖實(shí)頻譜圖： FnR 虛頻譜圖虛頻譜圖： FnI 相頻譜圖相頻譜圖： n 2021-12-2110 非周期信號(hào)的傅里葉變換非周期信號(hào) 準(zhǔn)周期信號(hào) 信號(hào)中各簡(jiǎn)諧成分 的頻率比為無(wú)理數(shù) 具有離散頻譜 瞬變信號(hào) 在一定時(shí)間區(qū)間內(nèi) 存在或隨時(shí)間的增 長(zhǎng)衰減至零x(t)0t準(zhǔn)周期信號(hào)x(t)=Asin9t+ Asinsqrt(31)tx(t)0t瞬變信號(hào) Ix(t)=exp(-t)*sin t0tx(t)瞬變信號(hào) II2021-12-2111202

5、1-12-2112時(shí)域矩形周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)Fn時(shí)域矩形周期信號(hào)（周期增大）傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)Fn時(shí)域矩形周期信號(hào)（周期增大）Fn/ 0波形時(shí)域矩形周期信號(hào)（周期）周期時(shí)的頻譜2021-12-2113 從上圖可知，當(dāng)矩形脈沖的重復(fù)周期愈大，譜線愈靠近，即譜線間的間隔0=2/T0變小，當(dāng)T0時(shí)， 00，則離散譜就變成連續(xù)譜了。這是我們就不能再利用傅里葉級(jí)數(shù)的方法來(lái)說(shuō)明非周期信號(hào)頻譜，而必須采用頻譜密度頻譜密度的概念deXtxdtetxXtjtj)(21)()()(傅里葉變換公式：或：dfefXtxdtetxfXftjftj22)()()()(X(f) = 2X()2021-12-21140=n0

6、為重復(fù)頻率=2f（例題）求矩形窗函數(shù)w(t)的頻譜。 2021)(TtTttw1-T/2T/2tw(t)0fTTfTfTTfWsincsin)(fW(f )T01T1T3T3T2T2T(f )01T2T3T1T2T3Tf2021-12-2115二、隨機(jī)信號(hào)的功率譜 ttxxxEr為自相關(guān)函數(shù)q 自功率譜(自譜)密度函數(shù) dfefSrderfSfjxxfjxx22)()()()(定義Sx(f )為x(t)的自功率譜密度函數(shù)自功率譜密度函數(shù)（自譜自譜或自功率譜自功率譜）。2021-12-2116dffSdttxTrxxTTx)()(1)0(202lim注意到：即Sx(f )曲線與頻率軸所包圍的面積

7、等于信號(hào)的平均功率（均方值），因此，Sx(f )反映了信號(hào)平均功率對(duì)頻率的變化率，表達(dá)了信號(hào)在單位頻帶寬度內(nèi)的功率。故稱為自功率譜密度函數(shù)自功率譜密度函數(shù)。2021-12-2117可以證明：2)(1lim)(fXTfSTx即可以通過(guò)時(shí)域信號(hào)的傅氏變換獲得 Sx (f ) 。實(shí)際根據(jù)上式計(jì)算自譜時(shí)，只能在有限時(shí)間長(zhǎng)度上獲得Sx (f )的估計(jì)值，這種方法稱為周期圖周期圖法法。由于FFT的出現(xiàn)，使得該方法十分方便、快捷，甚至在計(jì)算信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)時(shí)通常也首先通過(guò)該方法獲得自譜，然后再經(jīng)由傅氏反變換獲得rx()，以提高rx()的計(jì)算速度。 2021-12-2118自譜的應(yīng)用： 線性系統(tǒng)幅頻特性辨識(shí)

8、)()()()()()(2fSfHfSfXfHfYxy 檢測(cè)信號(hào)中的周期成分 周期信號(hào)的頻譜是脈沖函數(shù)，但實(shí)際處理時(shí)，用矩形窗函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行了加窗截?cái)?，在頻域成為陡峭的sinc函數(shù)，從而可以根據(jù)自譜中 的 陡 峭 譜 峰 確 定 相 應(yīng) 的 周 期 信 號(hào) 。 2021-12-21192021-12-2120rE x yxyttq 互功率譜(互譜)密度函數(shù) derfSfjxyxy2)()(dfefSrfjxyxy2)()(為互相關(guān)函數(shù)由于互相關(guān)函數(shù)非偶函數(shù)，因而Sxy(f )為復(fù)數(shù)。對(duì)線性系統(tǒng)，Sxy(f )=H(f ) Sx(f )。 2021-12-2121q 相干函數(shù)（凝聚函數(shù)） )()

9、()()(22fSfSfSfyxxyxy1)(02fxy相干函數(shù)是在頻域內(nèi)鑒別兩信號(hào)相關(guān)程度兩信號(hào)相關(guān)程度的指標(biāo)。例如對(duì)于測(cè)試系統(tǒng)，可以通過(guò)相干函數(shù)評(píng)價(jià)其輸入信號(hào)與輸出信號(hào)間的因果性，即輸出信號(hào)的功率譜中有多少是由所測(cè)試輸入信號(hào)所引起的響應(yīng)。 2021-12-2122船用柴油機(jī)潤(rùn)滑油泵壓油管振動(dòng)和壓力脈動(dòng)間的相干分析 潤(rùn)滑油泵轉(zhuǎn)速為n=781rpm，油泵齒輪的齒數(shù)為z=14，測(cè)得油壓脈動(dòng)信號(hào)x(t)和壓油管振動(dòng)信號(hào)y(t)，壓油管壓力脈動(dòng)的基頻為f0=nz/60=182.24(Hz). 由圖c可以看到，當(dāng)f =f0 =182.24Hz時(shí)，2xy (f) =0.3；當(dāng)f =2f0 =361.12

10、Hz時(shí)， 2xy (f)=0.37；當(dāng)f =3f0 =546.54 Hz時(shí)， 2xy (f)=0.4；當(dāng)f =4f0 =722.24Hz時(shí)； 2xy (f)=0.75.，齒輪引起的各次諧頻對(duì)應(yīng)的相干函數(shù)值都比較大，而其它頻率對(duì)應(yīng)的相干函數(shù)值很小，由此可見(jiàn)，油管的振動(dòng)主要是由油壓脈動(dòng)引起的。從x(t)和y(t)的自譜圖也明顯可見(jiàn)油壓脈動(dòng)的影響(圖a,b所示）。2021-12-2123潤(rùn)滑油泵轉(zhuǎn)速n=781rpm，油泵齒輪齒數(shù)z=14。油壓脈動(dòng)的基頻為f0=nz/60=182.24Hz。 結(jié)論：油管振動(dòng)由油壓脈動(dòng)引起。船用柴油機(jī)潤(rùn)滑油泵壓油管振動(dòng)和壓力脈動(dòng)間的相干分析: 三、極大熵譜傳統(tǒng)的功率譜估

11、計(jì)是從已知的 等n+1 個(gè)自協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)值作傅里葉變換求得，此法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單便于實(shí)現(xiàn)，缺點(diǎn)是估計(jì)的方差較大，譜的分辨率與數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的倒數(shù)有關(guān)，不適宜于短數(shù)據(jù)段。這些缺點(diǎn)都來(lái)自于窗函數(shù)之外的數(shù)據(jù)為零，在窗函數(shù)之外的自協(xié)方差函數(shù) 也假定為零。 nrrr , , ,10 , ,21nnrr2021-12-21251967年Burg提出了這個(gè)問(wèn)題，他的解決思路是用外推法計(jì)算 ，因?yàn)槭俏粗模覀儾](méi)有任何先驗(yàn)信息，因此它們的取值是最隨機(jī)的，即對(duì) 的熵或熵率，應(yīng)取最大值，若從數(shù)學(xué)上描述，其必要條件為： , ,21nnrr , ,21nnrr , ,21nnrrnkrhkx , 02021-12-212

12、62121)(nkkikaxeS極大熵譜：ARMA模型的自譜函數(shù) kikjkjjakkixxeGGekrS )()(022021-12-2127因?yàn)閖0時(shí)，Gj=0，故有： SG Gexajj ki kjk( )2 kkjikjjjijaeGeG)(2kjkjikjjjijaeGeG)(22021-12-2128SHHHxaxxax( )( )( )( )*222jjijxeGH)(注意到： 因此有： 即ARMA(n,m)模型的自譜函數(shù)為：SeexARMAavi vvmui uun( )2121211 2021-12-2129AR譜：SexARaui uun( )2121 2121)(nkki

13、kaxeS極大熵譜：若AR模型適用，則AR譜與極大熵譜等價(jià)。2021-12-2130 CS fpF1ln倒譜分析也稱為二次頻譜分析，是檢測(cè)復(fù)雜譜圖中周期分量的有力工具 工程上實(shí)測(cè)的振動(dòng)、噪聲信號(hào)往往不是振源信號(hào)本身，而是振源/音源信號(hào) 經(jīng)傳遞系統(tǒng) 到測(cè)點(diǎn)輸出信號(hào) 。 x t h t y t四、倒譜2021-12-2131 2lnlnlnfHfSfSxyCCCyxh 2fHfSfSxyy tx th txh td0上式表明，時(shí)域中信號(hào)的卷積關(guān)系在倒譜上表現(xiàn)為信號(hào)迭加信號(hào)迭加。 2021-12-2132鋼帶速度的檢測(cè)ddv/2021-12-2133mvS21地下管道泄漏的檢測(cè)漏損處K視為向兩側(cè)傳播聲響的聲源,漏油的音響傳至兩傳感器就有時(shí)差,在互相關(guān)圖上時(shí)差處有最大值.2021-12-2134發(fā)動(dòng)機(jī)與司機(jī)座的振動(dòng)相關(guān)性較差，而后橋與司機(jī)座振動(dòng)互相關(guān)較大，即：司機(jī)座的振動(dòng)主要由汽車后輪的振動(dòng)引起的。 司機(jī)坐振動(dòng)源分析2021-12-2135主管路上測(cè)點(diǎn)A的壓力正常，分