平行線被折線所截問題

1、平行線被折線所截問題的研究石筍中學(xué) 胡艷【案例背景】本人曾在初中拓展課的課堂使用，也可在數(shù)學(xué)興趣班的教學(xué)中使用.【預(yù)備知識(shí)】平行線的性質(zhì)【研究目標(biāo)】1.掌握平行線的性質(zhì)2.運(yùn)用化歸思想啟發(fā)學(xué)生構(gòu)造一條平行線.3.通過問題的研究，引起學(xué)生研究幾何圖形的興趣，提高識(shí)圖能力和說(shuō)理能力.4.在操作、觀察、思考、討論等一系列學(xué)習(xí)活動(dòng)中，感悟探索幾何圖形性質(zhì)的基本思維過程.【問題提出】?jī)蓷l平行線被第三條直線所截，得到同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ).將第三條夾在平行線間的線段改為折線，這時(shí)會(huì)出現(xiàn)一系列的角，那么這些角的大小之間有什么關(guān)系？【研究過程】一、對(duì)折線凹凸問題的探究探索1已知：AB/CD（如圖

2、1），折線是夾在AB與CD之間的一條折線，猜想、大小之間有什么關(guān)系？為什么？初看這三個(gè)角似乎沒有什么關(guān)系，建立它們的關(guān)系是關(guān)鍵.首先可以通過觀察、操作、測(cè)量、討論等一系列的學(xué)習(xí)活動(dòng)，猜想這三個(gè)角之間的關(guān)系，大概得出.但如何證明猜想的正確性呢？圖1要立足“兩條平行線被第三條直線所截”這一理念，啟發(fā)學(xué)生添加輔助線.學(xué)生可能想到構(gòu)造一條截線，于是延長(zhǎng)AP1（或延長(zhǎng)CP1、或聯(lián)結(jié)AC等）；或者把圖中的AP、BA作為截線，但這樣就缺少平行線.于是過點(diǎn)P作平行線.解：過點(diǎn)P1作（如圖2）圖2 解決這一問題的經(jīng)驗(yàn)與方法，是繼續(xù)探究的基礎(chǔ)，要讓學(xué)生充分體驗(yàn).探索2探索1中，折線只有一個(gè)折，如果增加一個(gè)折，如圖

3、3，猜想、之間有什么關(guān)系？為什么？把探索1的探究過程遷移，過點(diǎn)P1、P2分別作AB/P1E1,AB/P2E2，可推導(dǎo)出(如圖4)探究3：（如圖5）、猜想之間有什么關(guān)系？把探索1、探索2的探究過程遷移，可推導(dǎo)出.探究4：（如圖6）猜想、大小之間有什么關(guān)系？探索4是把具體的對(duì)1個(gè)折、2個(gè)折、3個(gè)折的研究，發(fā)展到對(duì)n個(gè)折的探索，是從特殊到一般的過程，分析過程如下表：折數(shù)各角之間的關(guān)系123n結(jié)論方向朝左的角的和等于方向朝右的角的和圖5圖6圖3圖4二.對(duì)折線凸出問題的探究探索1:已知：AB/CD（如圖7），折線是夾在AB與CD之間的一條折線，猜想、大小之間有什么關(guān)系？為什么？圖7由于有了前面探究知識(shí)的

4、鋪墊，學(xué)生很容易就會(huì)想到添加輔助線的方法.解：過點(diǎn)P1作（如圖2）圖8在探索1中，折線只有一個(gè)折，折線右側(cè)出現(xiàn)了3個(gè)角.如果再增加一個(gè)折，那么折線右側(cè)會(huì)出現(xiàn)幾個(gè)角？這幾個(gè)角之間有什么關(guān)系呢？探索2：已知AB/CD，（如圖9）猜想、之間有什么關(guān)系？并說(shuō)明理由.把探索1的探究過程遷移，過點(diǎn)P1、P2分別作AB/P1E1,AB/P2E2，可推導(dǎo)出（如圖10）探究3：（如圖11）猜想、之間有什么關(guān)系？把探索1、探索2的探究過程遷移，可推導(dǎo)出.探究4：猜想、之間有什么關(guān)系？探索4是把是把具體的對(duì)1個(gè)折、2個(gè)折、3個(gè)折的研究，發(fā)展到對(duì)n個(gè)折的探索，是從特殊到一般的過程，分析過程如下表：折點(diǎn)折線右側(cè)出現(xiàn)的角

5、的個(gè)數(shù)各角之間的關(guān)系結(jié)果的構(gòu)成132×180=360243×180=540354×180=720nn+2（n+1）×180n為大于或等于1的整數(shù)結(jié)論折線右側(cè)的各角之和等于折數(shù)與1的和乘以180°.圖12圖11圖10圖9三、對(duì)折線凹進(jìn)問題的探究圖13探究1如圖13：已知AB/CD，猜想、和之間的關(guān)系.并說(shuō)明理由.對(duì)探究1的研究延續(xù)上面已經(jīng)得到的結(jié)論，探究2如圖14：已知AB/CD，猜想、之間的關(guān)系.并說(shuō)明理由.解：過點(diǎn)P1、P2分別作AB/P1E1,AB/P2E2.如圖15圖17圖16圖15圖14折線向右凹進(jìn)2折，折線左右兩側(cè)各出現(xiàn)2個(gè)角，折線左

6、側(cè)兩角和減去右側(cè)兩角和等于180°，根據(jù)這一思路，繼續(xù)探究：探究3如圖16，、之猜想之間的關(guān)系.并說(shuō)明理由.把探索1、探索2的探究過程遷移，可推導(dǎo)出.探究4：如圖17，猜想、之間的關(guān)系.并說(shuō)明理由.探索4是把具體的對(duì)凹進(jìn)1個(gè)折、2個(gè)折、3個(gè)折的研究，發(fā)展到對(duì)凹進(jìn)n個(gè)折的探索，是從特殊到一般的過程，分析過程如下表：折點(diǎn)折線左側(cè)出現(xiàn)角數(shù)折線右側(cè)出現(xiàn)角數(shù)各角之間的關(guān)系結(jié)果的構(gòu)成1120×180=02221×180=1803322×180=360nn2（n-1）×180n為大于或等于1的整數(shù)結(jié)論折線左側(cè)各角的和減去折線右側(cè)的各角的差等于折數(shù)與1的差乘以180°.【相關(guān)研究】折線位置變化問題的探究（1）已知AB/CD，猜想、和之間的關(guān)系.并說(shuō)明理由.（圖18）（2）已知AB/CD，猜