（整理版）高三畢業(yè)班數(shù)學(xué)課本知識點(diǎn)整理歸納之十五

1、-高三畢業(yè)班數(shù)學(xué)課本知識點(diǎn)整理歸納之十五第十五章 復(fù)數(shù)一、根底知識1復(fù)數(shù)的定義：設(shè)i為方程x2=-1的根，i稱為虛數(shù)，由i與實(shí)數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除等運(yùn)算。便產(chǎn)生形如a+bia,br的數(shù)，稱為復(fù)數(shù)。所有復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合稱復(fù)數(shù)集。通常用c來表示。2復(fù)數(shù)的幾種形式。對任意復(fù)數(shù)z=a+bia,br，a稱實(shí)部記作re(z),b稱虛部記作im(z). z=ai稱為代數(shù)形式，它由實(shí)部、虛部兩局部構(gòu)成；假設(shè)將(a,b)作為坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么z與坐標(biāo)平面唯一一個點(diǎn)相對應(yīng)，從而可以建立復(fù)數(shù)集與坐標(biāo)平面內(nèi)所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合之間的一一映射。因此復(fù)數(shù)可以用點(diǎn)來表示，表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面，x軸稱為實(shí)軸，y軸去掉原

2、點(diǎn)稱為虛軸，點(diǎn)稱為復(fù)數(shù)的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標(biāo)，復(fù)數(shù)z又對應(yīng)唯一一個向量。因此坐標(biāo)平面內(nèi)的向量也是復(fù)數(shù)的一種表示形式，稱為向量形式；另外設(shè)z對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z，見圖15-1，連接oz，設(shè)xoz=,|oz|=r，那么a=rcos,b=rsin,所以z=r(cos+isin)，這種形式叫做三角形式。假設(shè)z=r(cos+isin)，那么稱為z的輻角。假設(shè)0<2，那么稱為z的輻角主值，記作=arg(z). r稱為z的模，也記作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用ei表示cos+isin，那么z=rei，稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)形式。3共軛與模，假設(shè)z=a+bi，a,br,那么a-bi稱為

3、z的共軛復(fù)數(shù)。模與共軛的性質(zhì)有：1；2；3；4；5；6；7|z1|-|z2|z1±z2|z1|+|z2|；8|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；9假設(shè)|z|=1，那么。4復(fù)數(shù)的運(yùn)算法那么：1按代數(shù)形式運(yùn)算加、減、乘、除運(yùn)算法那么與實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一致，運(yùn)算結(jié)果可以通過乘以共軛復(fù)數(shù)將分母分為實(shí)數(shù)；2按向量形式，加、減法滿足平行四邊形和三角形法那么；3按三角形式，假設(shè)z1=r1(cos1+isin1), z2=r2(cos2+isin2)，那么z1z2=r1r2cos(1+2)+isin(1+2)；假設(shè)cos(1-2)+isin(1-2)，用指數(shù)形式記為z1z2=r

4、1r2ei(1+2),5.棣莫弗定理：r(cos+isin)n=rn(cosn+isinn).6.開方：假設(shè)r(cos+isin)，那么，k=0,1,2,n-1。7根：假設(shè)wn=1，那么稱w為1的一個n次根，簡稱根，記z1=，那么全部根可表示為1,.根的根本性質(zhì)有這里記，k=1,2,n-1：1對任意整數(shù)k，假設(shè)k=nq+r,qz,0rn-1，有znq+r=zr；2對任意整數(shù)m，當(dāng)n2時，有=特別1+z1+z2+zn-1=0；3xn-1+xn-2+x+1=(x-z1)(x-z2)(x-zn-1)=(x-z1)(x-)(x-).8.復(fù)數(shù)相等的充要條件：1兩個復(fù)數(shù)實(shí)部和虛局部別對應(yīng)相等；2兩個復(fù)數(shù)的

5、模和輻角主值分別相等。9復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件是z=;z是純虛數(shù)的充要條件是：z+=0且z0.10.代數(shù)根本定理：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，一元n次方程至少有一個根。11實(shí)系數(shù)方程虛根成對定理：實(shí)系數(shù)一元n次方程的虛根成對出現(xiàn)，即假設(shè)z=a+bi(b0)是方程的一個根，那么=a-bi也是一個根。12假設(shè)a,b,cr,a0，那么關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0，當(dāng)=b2-4ac<0時方程的根為二、方法與例題1模的應(yīng)用。例1 求證：當(dāng)nn+時，方程(z+1)2n+(z-1)2n=0只有純虛根。證明 假設(shè)z是方程的根，那么(z+1)2n=-(z-1)2n，所以|(z+1)2n|=|-(z-1)2n|,即|

6、z+1|2=|z-1|2,即(z+1)(+1)=(z-1)(-1)，化簡得z+=0，又z=0不是方程的根，所以z是純虛數(shù)。例2 設(shè)f(z)=z2+az+b,a,b為復(fù)數(shù)，對一切|z|=1，有|f(z)|=1，求a,b的值。解 因?yàn)?=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b)=|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)|f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4，其中等號成立。所以f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四個向量方向相同，且模相等。所以f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i)，解得a=b=0.2.復(fù)數(shù)相等。例3 設(shè)r，

7、假設(shè)二次方程(1-i)x2+(+i)x+1+i=0有兩個虛根，求滿足的充要條件。解 假設(shè)方程有實(shí)根，那么方程組有實(shí)根，由方程組得(+1)x+=-1，那么方程x2-x+1=0中<0無實(shí)根，所以-1。所以x=-1, 2時，方程無實(shí)根。所以方程有兩個虛根的充要條件為2。3三角形式的應(yīng)用。例4 設(shè)n,nn，且存在滿足(sin+icos)n=sinn+icosn，那么這樣的n有多少個？解 由題設(shè)得n，所以1k500，所以這樣的n有500個。4二項(xiàng)式定理的應(yīng)用。例5 計(jì)算：1；2解 (1+i)100=(1+i)250=(2i)50=-250,由二項(xiàng)式定理(1+i)100= =)+()i，比擬實(shí)部和虛

8、部，得=-250，=0。5復(fù)數(shù)乘法的幾何意義。例6 以定長線段bc為一邊任作abc，分別以ab，ac為腰，b，c為直角頂點(diǎn)向外作等腰直角abm、等腰直角acn。求證：mn的中點(diǎn)為定點(diǎn)。證明 設(shè)|bc|=2a，以bc中點(diǎn)o為原點(diǎn)，bc為x軸，建立直角坐標(biāo)系，確定復(fù)平面，那么b，c對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-a,a,點(diǎn)a，m，n對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1,z2,z3,，由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義得：，由+得z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.設(shè)mn的中點(diǎn)為p，對應(yīng)的復(fù)數(shù)z=,為定值，所以mn的中點(diǎn)p為定點(diǎn)。例7 設(shè)a，b，c，d為平面上任意四點(diǎn)，求證：abad+bcadacbd。證明 用a，b，c，d表示它們對

9、應(yīng)的復(fù)數(shù)，那么(a-b)(c-d)+(b-c)(a-d)=(a-c)(b-d)，因?yàn)閨a-b|c-d|+|b-c|a-d|(a-b)(c-d)+(b-c)(a-d).所以|a-b|c-d|+|b-c|a-d|a-c|b-d|, “=成立當(dāng)且僅當(dāng)，即=，即a，b，c，d共圓時成立。不等式得證。6復(fù)數(shù)與軌跡。例8 abc的頂點(diǎn)a表示的復(fù)數(shù)為3i，底邊bc在實(shí)軸上滑動，且|bc|=2，求abc的外心軌跡。解設(shè)外心m對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=x+yi(x,yr)，b，c點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是b,b+2.因?yàn)橥庑膍是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，而ab的垂直平分線方程為|z-b|=|z-3i|，bc的垂直平分線的方程為|z-

10、b|=|z-b-2|，所以點(diǎn)m對應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去b解得所以abc的外心軌跡是軌物線。7復(fù)數(shù)與三角。例9 cos+cos+cos=sin+sin+sin=0，求證：cos2+cos2+cos2=0。證明 令z1=cos+isin,z2=cos+isin,z3=cos+isin，那么z1+z2+z3=0。所以又因?yàn)閨zi|=1,i=1,2,3.所以zi=1，即由z1+z2+z3=0得 又所以所以cos2+cos2+cos2+i(sin2+sin2+sin2)=0.所以cos2+cos2+cos2=0。例10 求和：s=cos200+2cos400+18c

11、os18×200.解 令w=cos200+isin200,那么w18=1，令p=sin200+2sin400+18sin18×200,那么s+ip=w+2w2+18w18. 由×w得w(s+ip)=w2+2w3+17w18+18w19，由-得(1-w)(s+ip)=w+w2+w18-18w19=，所以s+ip=，所以8復(fù)數(shù)與多項(xiàng)式。例11 f(z)=c0zn+c1zn-1+cn-1z+cn是n次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式(c00).求證：一定存在一個復(fù)數(shù)z0,|z0|1，并且|f(z0)|c0|+|cn|.證明 記c0zn+c1zn-1+cn-1z=g(z),令=arg(cn)

12、-arg(z0)，那么方程g(z)-c0ei=0為n次方程，其必有n個根，設(shè)為z1,z2,zn，從而g(z)-c0ei=(z-z1)(z-z2)(z-zn)c0，令z=0得-c0ei=(-1)nz1z2znc0，取模得|z1z2zn|=1。所以z1,z2,，zn中必有一個zi使得|zi|1,從而f(zi)=g(zi)+cn=c0ei=cn，所以|f(zi)|=|c0ei+cn|=|c0|+|cn|.9.根的應(yīng)用。例12 證明：自o上任意一點(diǎn)p到正多邊形a1a2an各個頂點(diǎn)的距離的平方和為定值。證明 取此圓為圓，o為原點(diǎn)，射線oan為實(shí)軸正半軸，建立復(fù)平面，頂點(diǎn)a1對應(yīng)復(fù)數(shù)設(shè)為，那么頂點(diǎn)a2a3

13、an對應(yīng)復(fù)數(shù)分別為2，3，n.設(shè)點(diǎn)p對應(yīng)復(fù)數(shù)z,那么|z|=1,且=2n- =2n-10復(fù)數(shù)與幾何。例13 如圖15-2所示，在四邊形abcd內(nèi)存在一點(diǎn)p，使得pab，pcd都是以p為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形。求證：必存在另一點(diǎn)q，使得qbc，qda也都是以q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形。證明 以p為原點(diǎn)建立復(fù)平面，并用a，b，c，d，p，q表示它們對應(yīng)的復(fù)數(shù)，由題設(shè)及復(fù)數(shù)乘法的幾何意義知d=ic,b=ia；取，那么c-q=i(b-q)，那么bcq為等腰直角三角形；又由c-q=i(b-q)得，即a-q=i(d-q)，所以例14 平面上給定a1a2a3及點(diǎn)p0，定義as=as-3,s4，構(gòu)造點(diǎn)列p

14、0,p1,p2,使得pk+1為繞中心ak+1順時針旋轉(zhuǎn)1200時pk所到達(dá)的位置，k=0,1,2,假設(shè)p1986=p0.證明：a1a2a3為等邊三角形。證明 令u=，由題設(shè)，約定用點(diǎn)同時表示它們對應(yīng)的復(fù)數(shù)，取給定平面為復(fù)平面，那么p1=(1+u)a1-up0,p2=(1+u)a2-up1,p3=(1+u)a3-up2,×u2+×(-u)得p3=(1+u)(a3-ua2+u2a1)+p0=w+p0,w為與p0無關(guān)的常數(shù)。同理得p6=w+p3=2w+p0,p1986=662w+p0=p0，所以w=0，從而a3-ua2+u2a12=u-1得a3-a1=a2-a1u，這說明a1a2

15、a3為正三角形。三、根底訓(xùn)練題1滿足(2x2+5x+2)+(y2-y-2)i=0的有序?qū)崝?shù)對(x,y)有_組。2假設(shè)zc且z2=8+6i,且z3-16z-=_。3.復(fù)數(shù)z滿足|z|=5，且(3+4i)z是純虛數(shù)，那么_。4，那么1+z+z2+z1992=_。的一個輻角的絕對值為，那么z輻角主值的取值范圍是_。6設(shè)z,w,c,|1，那么關(guān)于z的方程-z=w的解為z=_。7.設(shè)0<x<1，那么2arctan_。，是方程ax2+bx+c=0a,b,cr的兩個虛根且，那么_。9假設(shè)a,b,cc,那么a2+b2>c2是a2+b2-c2>0成立的_條件。10關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2-

16、2x+2=0和x2+2mx+1=0的四個不同的根在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)共圓，那么m取值的集合是_。11二次方程ax2+x+1=0的兩根的模都小于2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。12復(fù)平面上定點(diǎn)z0，動點(diǎn)z1對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z0,z1，其中z00，且滿足方程|z1-z0|=|z1|，另一個動點(diǎn)z對應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足z1z=-1，求點(diǎn)z的軌跡，并指出它在復(fù)平面上的形狀和位置。13n個復(fù)數(shù)z1,z2,zn成等比數(shù)列，其中|z1|1，公比為q,|q|=1且q±1,復(fù)數(shù)w1,w2,wn滿足條件：wk=zk+h，其中k=1,2,n,h為實(shí)數(shù)，求證：復(fù)平面內(nèi)表示w1,w2,wn的點(diǎn)p1,p2,pn都在一個焦距為4

17、的橢圓上。四、高考水平訓(xùn)練題1復(fù)數(shù)z和cos+isin對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線|iz+1|=|z+i|對稱，那么z=_。2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+|z|=2+i，那么z=_。3有一個人在草原上漫步，開始時從o出發(fā)，向東行走，每走1千米后，便向左轉(zhuǎn)角度，他走過n千米后，首次回到原出發(fā)點(diǎn)，那么n=_。，那么|z|=_。k0,k=1,2,n，并規(guī)定an+1=a1，使不等式恒成立的實(shí)數(shù)的最大值為_。6點(diǎn)p為橢圓上任意一點(diǎn)，以op為邊逆時針作正方形opqr，那么動點(diǎn)r的軌跡方程為_。7p為直線x-y+1=0上的動點(diǎn)，以op為邊作正opq(o，p，q按順時針方向排列)。那么點(diǎn)q的軌跡方程為_。8z“z是純虛數(shù)“的_條件

18、。9假設(shè)nn，且n3,那么方程zn+1+zn-1=0的模為1的虛根的個數(shù)為_。10設(shè)(x+x+3)=a0+a1x+a2x2+anxn，那么+a3k-_。1,z2滿足z1,其中a0，ac。證明：1|z1+a|z2+a|=|a|2； 212假設(shè)zc,且|z|=1,u=z4-z3-3z2i-z+1.求|u|的最大值和最小值，并求取得最大值、最小值時的復(fù)數(shù)z.13.給定實(shí)數(shù)a,b,c,復(fù)數(shù)z1,z2,z3滿足求|az1+bz2+cz3|的值。三、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1復(fù)數(shù)z滿足那么z的輻角主值的取值范圍是_。2設(shè)復(fù)數(shù)z=cos+isin(0)，復(fù)數(shù)z,(1+i)z，2在復(fù)平面上對應(yīng)的三個點(diǎn)分別是p，q，r，當(dāng)p，q，r不共線時，以pq，pr為兩邊的平行四邊形第四個頂點(diǎn)為s，那么s到原點(diǎn)距離的最大值為_。3設(shè)復(fù)平面上圓內(nèi)接正20邊形的20個頂點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為z1,z2,z20,那么復(fù)數(shù)所對應(yīng)的不同點(diǎn)的個數(shù)是_。4復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，那么|z+iz+1|的最小值為_。5設(shè)，z1=w-z,z2=w+z,z1,z2對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)a，b，點(diǎn)o為原點(diǎn)，aob=900，|ao|=|bo|，那么oab面積是_。6設(shè)，那么(x-w)(x-w3)(x-w7)(x-w9)的展開式為_。7()m=(1+i)n(m,nn+)，那