高二數學直線和圓的方程教案 人教版

1、高二數學直線和圓的方程教案一、知識框架二、重點難點重點：直線的傾斜角和斜率，直線方程的點斜式、兩點式，直線方程的一般式；兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線的夾角，點到直線的距離；用二元一次不等式表示平面區(qū)域，簡單的線性規(guī)劃問題；曲線與方程的概念，由已知條件列出曲線方程；圓的標準方程和一般方程，圓的參數方程；難點：解析幾何的基本量；對稱問題；直線與圓的位置關系；與圓和直線有關的軌跡問題；三、知識點解析1、直線（1）直線的方程： 1）直線的傾斜角、斜率及直線的方向向量： 直線的傾斜角：在平面直角坐標系中，對于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點按逆時針方向旋轉到和直線重合時所轉的最小正角記為，那么

2、就叫做直線的傾斜角；若直線和軸平行或重合時，則傾斜角為；直線傾斜角的取值范圍是； 直線的斜率：傾斜角不是的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，用來表示，即；傾斜角是的直線沒有斜率；傾斜角不是的直線都有斜率，其取值范圍是； 直線的方向向量：設是直線上不同的兩點，則向量稱為直線的方向向量；向量也是該直線的方向向量，是直線的斜率； 直線斜率的求法：（）定義法：依據直線的斜率定義求得；（）公式法：已知直線過兩點，且，則斜率；（）方向向量法：若為直線的方向向量，則直線的斜率；2）直線方程的五種形式：（）斜截式：；（）點斜式：；（）兩點式：；（）截距式：；（）一般式：。（2）點和直線、兩直線之間的位

3、置關系： 1）點和直線的位置關系：設點，直線，則若點在直線上，則滿足：；點到直線的距離：； 2）兩直線的位置關系：設直線，：兩直線平行：，且或；兩平行線，之間的距離為：；兩直線相交：（）到的角滿足，且；（）與的夾角滿足，且；（）：當、的斜率存在時，有；一般情況有：；兩直線重合：，且或。（3）簡單的線性規(guī)劃： 1）二元一次不等式表示平面區(qū)域： 在平面直角坐標系中，已知直線，坐標平面內的點：時，若，則點在直線的上方；若，則在下方；也就是說：時， 表示直線上方區(qū)域；表示其下方區(qū)域； 2）線性規(guī)劃： 定義：求線性目標函數在線性的約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃； 滿足線性約束條件的解叫

4、做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域，使目標函數取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解； 線性規(guī)劃問題一般用圖解法，步驟如下：（）根據題意，設出自變量；（）找出線性約束性條件；（）確定線性目標函數：；（）畫出可行域（幾個約束條件所示區(qū)域的公共區(qū)域）；（）利用線性目標函數作平行直線系（為參數）；（）觀察圖形，找到直線在可行域上使取得欲求最值的位置，以確定最優(yōu)解，給出答案。2、圓（1）曲線和方程： 1）一般地，在直角坐標系中，如果某曲線（看作是和某種條件的點的集合或軌跡）上的點與一個二元方程的實數解建立了如下關系：曲線上的點的坐標都是這個方程的解，以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點，那么這

5、個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線； 2）求曲線的方程一般有五個步驟：建立適當的坐標系，用有序實數對表示曲線上任意一點的坐標；寫出適合條件的點的集合；用坐標表示條件，列出方程；化方程為最簡式；證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點。（2）圓的方程： 1）圓的標準方程：圓心為，半徑為的圓的標準方程為； 2）圓的一般方程：二次方程（）是圓的一般方程，可以化簡為的標準方程，圓心為，半徑為，具有幾個特點：項系數相等且不為零，沒有項；當時，表示點；當時，方程不表示任何圖像；根據條件列出關于的三元一次方程組，可確定圓的一般方程； 3）圓的參數方程：圓心在，半徑為的圓的參數方程為（為參數）

6、；圓心在，半徑為的圓的參數方程為（為參數）； 4）二元二次方程表示圓的充要條件：。（3）直線與圓的位置關系：方程的觀點，利用判別式：，直線和圓相交；，直線和圓相切；，直線和圓相離；幾何的觀點，利用圓心到直線的距離和半徑的大?。海本€和圓相離；，直線和圓相切；，直線和圓相交。四、例題1、 直線例1 關于直線的傾斜角和斜率，下列哪些說法是正確的 （ ）。A、任一條直線都有傾斜角，也都有斜率； B、直線的傾斜角越大，它的斜率就越大；C、平行于x軸的直線的傾斜角是0或； D、兩直線的斜率相等，它們的傾斜角相等；E、兩直線的傾斜角相等，它們的斜率相等； F、直線斜率的范圍是。答 DF。oxy例2 如圖，

7、直線的斜率分別為，則：（ ）A、 B、 C、 D、答 B。例3 填空（1） 若則 ；若則 ；（2） 若，則 ；若 ；（3） 若則的取值范圍 ；若,則的取值范圍 。答 （1），；（2），；（3），。例4 一條直線經過點，傾斜角，求這條直線方程，并畫出圖象。分析 此題可直接應用直線方程的點斜式，意在使學生逐步熟悉直線方程的點斜式。解 這條直線經過點，斜率是，代入點斜式方程，得，即，這就是所求直線方程。圖形如下：例5 一直線過點，其傾斜角等于直線的傾斜角的2倍，求直線的方程。分析 此題已知所求直線上一點坐標，所以只要求得所求直線的斜率即可。根據已知條件，先求出直線的傾斜角，再求出所求直線的傾斜角，進

8、而求出斜率。解 設所求直線的斜率為，直線的傾斜角為，則，代入點斜式得：，即：。說明：通過此題要求學生注意正切兩倍角公式的正確運用。例6 已知直線的斜率為，與軸的交點是，求直線的方程。解 將點，代入直線方程的點斜式得：，即。說明 (1)上述方程是由直線的斜率和它在軸上的截距確定的，叫做直線方程的斜截式；(2)我們稱為直線在軸上的截距；(3)截距可以大于0，也可以等于或小于0。例7 已知直線與軸的交點為，與軸的交點為，其中，求直線的方程。分析 此題條件符合兩點式的適用范圍，可以直接代入。解 由兩點式得，即1。說明 (1)這一直線方程由直線在軸和軸上的截距確定，所以叫做直線方程的截距式；(2)截距式

9、適用于橫、縱截距都存在且都不為0的直線。例8 三角形的頂點是，這個三角形三邊所在的直線方程。解法一 (用兩點式)直線經過點，由兩點式得，整理得：，這就是直線的方程。直線經過點，由兩點式得，整理得，這就是直線的方程。直線經過點，由兩點式得，整理得，這就是直線的方程。解法二 (用斜截式求所在直線方程)，由斜截式得，整理得，這就是直線的方程。解法三 (用截距式求直線的方程)直線的橫、縱截距分別為5，2，由截距式得1，整理得，這就是直線的方程。例9 為何值時，直線與，(1)平行；(2)垂直。解 當或1時，兩直線既不平行，也不垂直；當且時，直線的斜率為，；直線的斜率為，。（1）當，即，解得或，所以當或時

10、，兩直線平行；（2）當，即·1，解得，所以當時，兩直線垂直。例10 直線與直線的平行，則的值為（ ）A、2 B、-3 C、2或-3 D、-2或-3解法一 ，當時，顯然不平行于；當時，若，須。由式有,解得或。顯然或滿足。應選C。解法二 若，須,解得或。當或時，或為所求。 應選C。例11 與互相垂直，則為（ ）A、-1 B、1 C、±1 D、-解：。兩直線垂直，整理，得，應選C。例12 求與直線平行且過點的直線的方程。分析 本題己知一點坐標，故可考慮用直線方程的點斜式求解，而互相平行的兩直線斜率相等；或者可設出與L平行的直線系方程，再利用題設求解。解法一 設直線的斜率為，與直線

11、平行，。又經過點可得所求直線方程為，即。解法二 設與直線 平行的直線的方程為，過點，所以有：，解得，所求直線方程為。例13 已知的頂點坐標為，求邊上的高所在的直線方程。分析 邊上的高所在直線的斜率與直線的斜率互為負倒數，然后用點斜式求解。解 設邊上的高所在直線斜率為，則，又，由點斜式得：，即：。例14 求與直線平行，且在兩坐標軸上截距之和為的直線的方程。分析 由與直線為。平行聯想，可設直線的方程為,也可由兩截距之和為，設直線的方程為。解法一 設直線的方程為。令，得y軸上截距；令，得x軸上截距， -+（-）=，解得，所求直線的方程為。 解法二 設直線方程為，解得，所求直線方程為。例15 求直線的

12、夾角(用角度制表示)。解：由兩條直線的斜率得，。例16 等腰三角形一腰所在直線的方程是，底邊所在直線的方程是，點(2，0)在另一腰上，求這條腰所在直線的方程。分析 已經已知上一點，故求出的斜率即可，如圖，根據等腰三角形的性質，可得到，即，而分別為直線到與到的角，而根據公式這兩角都可用斜率表示，由此可建立關于的方程。解 設的斜率分別為3，到的角是，到的角是，則，。因為所圍成的三角形是等腰三角形，所以，即3，將代入得3，解得。因為經過點(2，0），斜率為2，寫出其點斜式方程為，即：，這就是直線的方程。評述 此題應用了到的角的公式及等腰三角形有關知識，并結合了直線方程的點斜式，要求學生注意解答的層次

13、。例17 當為何值時，直線過直線與的交點?解法一 解方程組，得交點(4，9)。將代入得，解得。解法二 過直線與的交點的直線系方程為，整理得：y與直線比較系數，得，即。例18 求點到下列直線的距離：(1) ；(2) 。解 （1）根據點到直線的距離公式得；（2）因為直線平行于軸，所以。評述 此例題（1）直接應用了點到直線的距離公式，要求學生熟練掌握；（2）體現了求點到直線距離的靈活性，并沒局限于公式。例19 求兩平行線，的距離。解法一 令代入的方程，得，所以直線在軸上的截距為，同理可求得直線在軸上的截距為。又，所以原點在直線與同一側；又由已知，可求出原點到直線與的距離為，。所以平行線與的距離。解法

14、二 ，又，由兩平行線間的距離公式：若，（不全為0)，則與之間的距離，于是得。例20 已知直線與夾角的平分線為，如果的方程是，那么的方程是 ( ) A、 B、 C、 D、解 設直線與直線的交點為。由，解得，點的坐標為()。又的斜率為，由直線到直線的角等于直線到的角，得，根據直線的點斜式得的方程為 即。答 A。例21 已知、滿足約束條件，分別求、的值，使下列目標函數取得最值：(1)；(2)解 (1)作出約束條件所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖一，可行域為凸五邊形，目標函數為，作一組平行直線(為參數)，由圖可知，當直線經過原點時，取得最小值；當直線通過點時，直線離原點最遠，此時取得最大值，解方程組，

15、得點的坐標為(2,3)。綜上所述，當，時，取得最小值；當，時，取得最大值。 圖一 圖二 (2)目標函數，作一組平行線，如圖二所示。由圖象知，當直線經過原點時，取得最小值；當直線與邊重合時，取最大值。綜上所述，當，時，取得最小值；當，且時，取得最大值。 例22 某木器廠生產圓桌和衣柜兩種產品，現有兩種木料，第一種有72，第二種有56，假設生產每種產品都需要用兩種木料，生產一只圓桌和一個衣柜分別所需木料如下表所示。每生產一只圓桌可獲利6元,生產一個衣柜可獲利10元。木器廠在現有木料條件下,圓桌和衣柜各生產多少,才使獲得利潤最多?產 品木料(單位)第 一 種第 二 種圓 桌018008衣 柜0090

16、28解 設生產圓桌只,生產衣柜個,利潤總額為元,那么 而。如上圖所示,作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域,即可行域。作直線,即,把直線向右上方平移至的位置時,直線經過可行域上點,且與原點距離最大,此時取最大值解方程組,得點坐標(350,100)。答 應生產圓桌350只,生產衣柜100個,能使利潤總額達到最大。例24 某養(yǎng)雞場有1萬只雞,用動物飼料和谷物飼料混合喂養(yǎng)。每天每只雞平均吃混合飼料0.5kg，其中動物飼料不能少于谷物飼料的。動物飼料每千克0.9元,谷物飼料每千克0.28元,飼料公司每周僅保證供應谷物飼料50000kg，問飼料應怎樣混合,才使成本最低。解 設每周需用谷物飼料kg,動物飼料k

17、g,每周總的飼料費用為元,那么,而如下圖所示,作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域,即可行域。作一組平行直線,其中經過可行域內的點且和原點最近的直線,經過直線和直線的交點,即,時,飼料費用最低。所以,谷物飼料和動物飼料應按5:1的比例混合,此時成本最低。 例25 下表給出甲、乙、丙三種食物的維生素A、B的含量及成本:甲乙丙維生素A(單位/千克)維生素B(單位/千克)成本(元/千克)400800760020064004005營養(yǎng)師想購這三種食物共10千克,使之所含維生素A不少于4400單位,維生素B不少于4800單位,問三種食物各購多少時,成本最低?最低成本是多少?解 設所購甲、乙兩種食物分別為千克

18、、千克,則丙種食物為(10-)千克。 、應滿足線性條件為 ,化簡得。作出可行域如上圖中陰影部分目標函數為,令,作直線,則直線經過可行域中時,最小,即,答 甲、乙、丙三種食物各購3千克、2千克、5千克時成本最低,最低成本為58元。例26 某運輸公司接受了向抗洪搶險地區(qū)每天至少運送180噸支援物資的任務,該公司有8輛載重為6噸的A型卡車與4輛載重為10噸的B型卡車,有10名駕駛員,每輛卡車每天往返的次數為A型卡車4次,B型卡車3次,每輛卡車每天往返的成本費用為A型卡車320元,B型卡車504元,請你給該公司調配車輛,使公司所花的成本費用最低。解 設每天調出A型卡車輛,B型卡車輛,公司所花成本為元,

19、則據題設可得如下約束條件:，即 作出可行域如下圖中的陰影部分,作直線,把直線向右上方作平行移動,經過點時取最小值,但不是整數,所以(,0)不是最優(yōu)解。繼續(xù)平移直線,直線上的整點(5,2)應是首先經過的,使取最小值,。答 每天調出A型卡車5輛,B型卡車2輛,公司所花成本最低。2、 圓例1 已知兩定點、間的距離為2,求動點到兩定點、的距離之比為：的點的軌跡方程。分析 先合理建系,再對與分別進行討論。解 先建系,設,當時,動點為、兩點連線的中垂線,即；當時,由,即即例2 在中,若邊上的高長為2,求垂心的軌跡方程。解 頂點在上方或下方。當在上方時,設垂心,則當時,邊上高的斜率,由,即,即。當時,垂心與

20、點重合;當時, 垂心與點重合,而這兩點坐標均適合軌跡方程,點在軸上方時,的軌跡方程是。當點在軸下方時,垂心的軌跡方程是。例3 過點作互相垂直的直線、,分別交軸正向于,交軸正向于,求線段中點的軌跡方程。分析 思路一:設中點為。若能把點坐標轉移到、兩點,再利用,問題便可解決；思路二:若設斜率為,則斜率為,再建立、方程,求得、兩點坐標,繼而得點坐標用表示,最后消去便可達到目的,在上述考慮中,要注意斜率存在與不存在兩種情況；思路三:因為、四點共圓,所以,用直接法最簡捷。解 方法一:設中點為,則、()。當不垂直于軸時,由,即,化簡得。當軸時,點坐標為(3,4),滿足上述方程。故點軌跡方程為()。 方法二

21、:當不垂直于軸時時,設斜率為,則斜率為,得方程為,方程為,從而得,。由,消參數,得。當軸時,點坐標為(3,4),滿足上述方程,故點軌跡方程為()。例4 已知兩點和,求以為直徑的圓的方程。分析一 從確定圓的條件考慮，需要求圓心和半徑。解 設圓心,則,圓的半徑，所求圓的方程為。 分析二 從圖形上動點的性質考慮,根據圓周角是直角可知。 解 設是圓上任意一點,即,化簡并整理得例5 求過兩點,且圓心在直線上的圓的標準方程。分析一 因為、是圓上的兩點,所以圓心在弦的垂直平分線上,又圓心在已知直線:上,故圓心是直線、的交點。解 由題可得線段的中點坐標為(2,5),直線的斜率為,線段的垂直平分線的斜率為,故線

22、段的垂直平分線方程為,即,由解得圓心的坐標為(4,1),半徑,所求的圓的方程為。分析二 確定一個圓需且只需三個條件,本題亦可用待定系數法求解。分析三 因為圓心在直線上,可設,又、在圓上,故,可求出,即(4,1),所求的圓的方程為。例6 已知直線:與圓:。(1)判斷直線與圓的位置關系；(2)求直線被圓所截得的弦長。 解 (1)分析一 聯立方程組,消去后整理得到,方程組有兩組不同的實數解,即直線與圓相交。分析二 圓心(7,1)到直線的距離為,故直線與圓相交。(2)分析一 解方程組、的坐標求。分析二 由方程組（利用弦長公式）。分析三 解由弦心距,弦長之半,半徑構成的直角三角形可得。例7 過點(2,4)作圓的切線,試求切線的方程。解 分析一 設點斜式方程利用切線性質求。點不在圓上,設方程的方程為,即。圓心(0,0)到切線的距離等于半徑,解之得,切線的方程為。當斜率不存在時,方程為,此時直線也和圓相切。故所求的切線方程為和。分析