最值問題練習(xí)

1、 最值問題 一、線段的最值：1.已知：AB與直線相交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為直線上一動(dòng)點(diǎn).（1）如圖1,AP+BP_AB(填不等號), 理由_.(2)點(diǎn)P在_時(shí)，能使AP+BP最小.（3）如圖2，已知點(diǎn)是點(diǎn)B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則P+AP=_+AP, 所以,當(dāng)點(diǎn)P在_時(shí)，也能使BP+AP最小.2.已知：如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PQ，則：PBQ周長的最小值為_.3.已知：點(diǎn)A是半圓上的一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)B是弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是半徑ON上的動(dòng)點(diǎn)，若O的半徑長為1，則AP+BP的最小值為_.4.如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4,8），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2

2、，2）,(1) 請?jiān)趚軸上找到一點(diǎn)P，使PA+PB最小，并求出最小值；(2) 請求出（1）中點(diǎn)P的坐標(biāo).（3）請?jiān)趛軸上找到一點(diǎn)P，使PA+PB最小，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo).（4）請?jiān)趛軸上找到一點(diǎn)P，使最大，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo).二：與絕對值有關(guān)的最值問題：例1.先閱讀下面的材料，然后回答問題：在一條直線上有依次排列的n（n>1）臺機(jī)床在工作，我們要設(shè)置一個(gè)零件供應(yīng)站P，使這n臺機(jī)床到供應(yīng)站P的距離總和最小，要解決這個(gè)問題，先“退”到比較簡單的情形：如圖，如果直線上有2臺機(jī)床時(shí)，很明顯設(shè)在A1和A2之間的任何地方都行，因?yàn)榧缀鸵宜叩木嚯x之和等于A1到A2的距離 圖 圖如圖，如果直線上有

3、3臺機(jī)床時(shí)，不難判斷，供應(yīng)站設(shè)在中間一臺機(jī)床A2處最合適因?yàn)槿绻鸓放在A2處，甲和丙所走的距離之和恰好為A1到A3的距離而如果把P放在別處，例如D處，那么甲和丙所走的距離之和仍是A1到A3的距離，可是乙還得從A2到D的這一段，這是多出來的因此P放在A2處是最佳選擇不難知道，如果直線上有4臺機(jī)床，P應(yīng)設(shè)在第2臺與第3臺之間的任何地方；有5臺機(jī)床，P應(yīng)設(shè)在第3臺位置（1）：有n臺機(jī)床時(shí)，P應(yīng)設(shè)在何處？（2）：根據(jù)問題（1）中的結(jié)論，求 的最小值（3）： 求：函數(shù)的最大值.三、由不等關(guān)系確定的最值問題：利用不等式：例1：某加工廠以每噸3000元的價(jià)格購進(jìn)50噸原料進(jìn)行加工。若進(jìn)行粗加工，每噸加工費(fèi)用

4、為600元，需天，每噸售價(jià)4000元；若進(jìn)行精加工，每噸加工費(fèi)用為900元，需天，每噸售價(jià)4500元，現(xiàn)將這50噸原料全部加工完.（1） 設(shè)其中粗加工x噸，獲利y元，求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫自變量的范圍）；（2） 如果必須在20天內(nèi)完成，如何安排生產(chǎn)才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？利用均值不等式：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.例2. 已知正實(shí)數(shù)滿足，那么的最小值為 . 用“夾逼法”求最值：在解某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，通過轉(zhuǎn)化、變形和估計(jì)，將有關(guān)的量限制在某一數(shù)值范圍內(nèi)，再通過解不等式獲取問題的答案，這一方法稱為“夾逼法”.例3. 不等邊三角形的兩邊上的高分別為4和12且第三邊上的高為整數(shù)，那么：此高

5、的最大值可能為_. 利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，顯然有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，即 的最小值為k.例4. 設(shè)a、b為實(shí)數(shù)，求：的最小值為_.四、數(shù)形結(jié)合求最值問題：例1 、求：函數(shù)y=的最小值.五、由垂線段確定的最值問題  ：例1：臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力如圖12，據(jù)氣象觀測，距沿海某城市A的正南方向220千米B處有一臺風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級，每遠(yuǎn)離臺風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就會(huì)減弱一級，該臺風(fēng)中心現(xiàn)正以15千米時(shí)的速度沿北偏東30°方向往C移動(dòng)，且臺風(fēng)中心風(fēng)力不變?nèi)舫鞘兴茱L(fēng)力達(dá)到或超過四級，則

6、稱為受臺風(fēng)影響（1）該城市是否會(huì)受到這次臺風(fēng)的影響?請說明理由（2）若會(huì)受到臺風(fēng)影響，那么臺風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間有多長?（3）該城市受到臺風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級? 變式：在銳角三角形ABC中，BC=，ABC=45°，BD平分ABC，M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是 .六、利用函數(shù)的性質(zhì)求最值問題：例1 某房地產(chǎn)開發(fā)公司計(jì)劃建A、B兩種戶型的住房共80套，該公司所籌資金不少于2090萬元，但不超過2096萬元，且所籌資金全部用于建房，兩種戶型的建房成本和售價(jià)如下表：AB成本(萬元/套)2528售價(jià)(萬元/套)3034 (1)該公司對這兩種戶型住房有哪幾種建房方案

7、? (2)該公司如何建房獲得利潤最大? (3)根據(jù)市場調(diào)查，每套B型住房的售價(jià)不會(huì)改變，每套A型住房的售價(jià)將會(huì)提高a萬元(a>0)，且所建的兩種住房可全部售出，該公司又將如何建房獲得利潤最大? 注：利潤=售價(jià)-成本例2：某機(jī)械租賃公司有同一型號的機(jī)械設(shè)備40套。經(jīng)過一段時(shí)間的經(jīng)營發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每套機(jī)械設(shè)備的月租金為270元時(shí)，恰好全部租出。在此基礎(chǔ)上，當(dāng)每套設(shè)備的月租金每提高10元時(shí)，這種設(shè)備就少租出一套，且沒租出的一套設(shè)備每月需支出費(fèi)用（維護(hù)費(fèi)、管理費(fèi)等）20元。設(shè)每套設(shè)備的月租金為x（元），租賃公司出租該型號設(shè)備的月收益（收益租金收入支出費(fèi)用）為y（元）。（1）用含x的代數(shù)式表示未出租的設(shè)

8、備數(shù)（套）以及所有未出租設(shè)備（套）的支出費(fèi)（2）求y與x之間的二次函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)月租金分別為300元和350元式，租賃公司的月收益分別是多少元？此時(shí)應(yīng)該出租多少套機(jī)械設(shè)備？請你簡要說明理由；（4）請把（2）中所求出的二次函數(shù)配方成 的形式，并據(jù)此說明：當(dāng)x為何值時(shí)，租賃公司出租該型號設(shè)備的月收益最大？最大月收益是多少？七. 利用判別式與不等式求解：例1. 求：的最大值與最小值.變式：已知：x、y為實(shí)數(shù)，且滿足，求：實(shí)數(shù)m最大值與最小值.八. 構(gòu)造函數(shù)法：“最值”問題中一般都存在某些變量變化的過程，因此它們的解往往離不開函數(shù). 例1. 求：代數(shù)式的最大值和最小值。 變式. 求函數(shù)的最值.&

9、#160; 九、其它最值問題： 有一圓錐如下圖，A、B在同一母線上，B為AO的中點(diǎn)，試求以A為起點(diǎn)，以B為終點(diǎn)且繞圓錐側(cè)面一周的最短路線 變式：1.如圖，圓柱底面半徑為，高為，點(diǎn)A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A、B在同一母線上，用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B，求棉線最短為 。2點(diǎn)A、均在由面積為1的相同小矩形組成的網(wǎng)格的格點(diǎn)上，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示若P是x軸上使得的值最大的點(diǎn)，Q是y軸上使得QA十QB的值最小的點(diǎn)，則：3.如圖，ABC中，BAC=60°，ABC=45°，AB=2，D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則

10、：線段EF長度的最小值為 4.如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120°，AEF為正三角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BCCD上滑動(dòng)，且E、F不與BCD重合（1）證明不論E、F在BCCD上如何滑動(dòng)，總有BE=CF；（2）當(dāng)點(diǎn)E、F在BCCD上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形AECF和CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出最大（或最?。┲?.ABOMNP如圖，AOB30°，點(diǎn)M、N分別是射線OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，OP平分AOB，且OP6，當(dāng)PMN的周長取最小值時(shí)，四邊形PMON的面積為 【課后練習(xí)】：1.如圖，菱形ABCD中，AB=2，A=120

11、6;，點(diǎn)P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為（ ）A1 B C 2 D12.如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為 cm3.如圖，四邊形ABCD中，BAD120°，BD90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使AMN周長最小時(shí)，則AMNANM的度數(shù)為（ ）A130° B120° C110° D100°4.如圖，MN為O的直徑，A、B是O上的兩點(diǎn)，過A作ACMN于點(diǎn)

12、C，過B作BDMN于點(diǎn)D，P為DC上的任意一點(diǎn)，若MN20，AC8，BD6，則PAPB的最小值是。5.如圖，正方形ABCD的邊長是4，DAC的平分線交DC于點(diǎn)E，若點(diǎn)P、Q分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值是 OyxACB6. 正方形ABCD的邊長為1cm，M、N分別是BCCD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持AMMN，當(dāng)BM= cm時(shí)，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為 cm27. 如圖，在邊長為2的菱形中，=60°，是邊的中點(diǎn)，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿所在的直線翻折得到，連接,則長度的最小值是_.8已知邊長為的正三角形，兩頂點(diǎn)分別在平面直角坐標(biāo)系的軸、軸的正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C在第一象限

13、，連結(jié)OC，則OC的長的最大值是 9如圖6，在中，經(jīng)過點(diǎn)且與邊相切的動(dòng)圓與分別相交于點(diǎn)，則線段長度的最小值是（ ）ABC5D48BCEFA圖69如圖，AOB=30°，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM=1，ON=3，點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是11如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2，0)、(0，2)，C的圓心坐標(biāo)為(1，0)，半徑為1若D是C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸交于點(diǎn)E，則ABE面積的最小值是（ ） A2 B1 C D12如圖，面積為6的平行四邊形紙片ABCD中，AB3，BAD45°,按下列步驟進(jìn)行裁剪和拼圖.第一步：如圖，將平行四

14、邊形紙片沿對角線BD剪開，得到ABD和BCD紙片，再將ABD紙片沿AE剪開（E為BD上任意一點(diǎn)），得到ABE和ADE紙片；第二步：如圖，將ABE紙片平移至DCF處，將ADE紙片平移至BCG處；第三步：如圖，將DCF紙片翻轉(zhuǎn)過來使其背面朝上置于PQM處（邊PQ與DC重合，PQM與DCF在CD同側(cè)），將BCG紙片翻轉(zhuǎn)過來使其背面朝上置于PRN處（邊PR與BC重合，PRN與BCG在BC同側(cè)）。則由紙片拼成的五邊形PMQRN中，對角線MN長度的最小值為_.13.銳角ABC中，BC6,兩動(dòng)點(diǎn)M、N分別在邊AB、AC上滑動(dòng)，且MNBC，以MN為邊向下作正方形MPQN，設(shè)其邊長為x，正方形MPQN與ABC公

15、共部分的面積為y（y 0）,當(dāng)x ，公共部分面積y最大，y最大值 ,14如圖，已知正方形ABCD邊長為3，點(diǎn)E在AB邊上且BE=1，點(diǎn)P，Q分別是邊BC，CD的動(dòng)點(diǎn)（均不與頂點(diǎn)重合），當(dāng)四邊形AEPQ的周長取最小值時(shí)，四邊形AEPQ的面積是 15、如圖 ，在矩形ABCD中 ，AB=10 , BC=5 . 若點(diǎn)M、N分別是線段ACAB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) ， 則BM+MN的最小值為（ ）A. 10 B. 8 C. 5 D. 616如圖，已知直線ab，且a與b之間的距離為4，點(diǎn)A到直線a的距離為2，點(diǎn)B到直線b的距離為3，AB=試在直線a上找一點(diǎn)M，在直線b上找一點(diǎn)N，滿足MNa且AM+MN+NB的長度和

16、最短，則此時(shí)AM+NB=（）17如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是 18.在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在軸、軸的正半軸上，D為邊OB的中點(diǎn).（）若為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；第（18）題yBODCAxEyBODCAx（）若、為邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)四邊形的周長最小時(shí)，求點(diǎn)、的坐標(biāo).19.如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合）將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交

17、DC于H，折痕為EF，連接BP、BH（1）求證：APB=BPH；（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請說明理由20.如圖，拋物線y = ax2 + bx + 4與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（4，0）、B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為DE（1，2）為線段BC的中點(diǎn)，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）在直線EF上求一點(diǎn)H，使CDH的周長最小，并求出最小周長及點(diǎn)H的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)K在